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17.阅读探索.
材料:解方程组$\begin{cases}(a-1)+2(b+2)=6, \\2(a-1)+(b+2)=6\end{cases}$时,采用了一种“换元法”的解法.
解:设$a-1=x,b+2=y$,原方程组可化为$\begin{cases}x+2y=6, \\2x+y=6,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=2, \\y=2,\end{cases}$即$\begin{cases}a-1=2, \\b+2=2,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=3, \\b=0.\end{cases}$
∴这个方程组的解为$\begin{cases}a=3, \\b=0.\end{cases}$
根据上述材料,解决下列问题:
(1)运用换元法,求解关于$a,b$的方程组
(2)若关于$x,y$的方程组$\begin{cases}a_1x+b_1y=c_1, \\a_2x+b_2y=c_2\end{cases}$的解为$\begin{cases}x=10, \\y=6,\end{cases}$求关于$m,n$的方程组$\begin{cases}5a_1(m-3)+3b_1(n+2)=c_1, \\5a_2(m-3)+3b_2(n+2)=c_2\end{cases}$的解.
材料:解方程组$\begin{cases}(a-1)+2(b+2)=6, \\2(a-1)+(b+2)=6\end{cases}$时,采用了一种“换元法”的解法.
解:设$a-1=x,b+2=y$,原方程组可化为$\begin{cases}x+2y=6, \\2x+y=6,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=2, \\y=2,\end{cases}$即$\begin{cases}a-1=2, \\b+2=2,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=3, \\b=0.\end{cases}$
∴这个方程组的解为$\begin{cases}a=3, \\b=0.\end{cases}$
根据上述材料,解决下列问题:
(1)运用换元法,求解关于$a,b$的方程组
(2)若关于$x,y$的方程组$\begin{cases}a_1x+b_1y=c_1, \\a_2x+b_2y=c_2\end{cases}$的解为$\begin{cases}x=10, \\y=6,\end{cases}$求关于$m,n$的方程组$\begin{cases}5a_1(m-3)+3b_1(n+2)=c_1, \\5a_2(m-3)+3b_2(n+2)=c_2\end{cases}$的解.
答案
17.解:(1)设$\dfrac{a}{4}-1=x$,$\dfrac{b}{3}+2=y$,$\therefore$原方程组可以化为$\begin{cases} x+2y=4,① \\ 2x+y=5,② \end{cases}$
用②$-$①$×2$,得$-3y=-3$,$y=1$.
把$y=1$代入①,得$x+2=4$,$x=2$.
$\therefore$方程组的解为$\begin{cases} x=2, \\ y=1, \end{cases}$即$\begin{cases} \dfrac{a}{4}-1=2, \\ \dfrac{b}{3}+2=1. \end{cases}$ 解得$\begin{cases} a=12, \\ b=-3. \end{cases}$
$\therefore$这个方程组的解为$\begin{cases} a=12, \\ b=-3. \end{cases}$
(2)设$5(m-3)=x$,$3(n+2)=y$,则原方程组可化为
$\begin{cases} a_1x+b_1y=c_1, \\ a_2x+b_2y=c_2, \end{cases}$ $\therefore \begin{cases} 5(m-3)=10, \\ 3(n+2)=6. \end{cases}$ 解得$\begin{cases} m=5, \\ n=0. \end{cases}$
$\therefore$这个方程组的解为$\begin{cases} m=5, \\ n=0. \end{cases}$
用②$-$①$×2$,得$-3y=-3$,$y=1$.
把$y=1$代入①,得$x+2=4$,$x=2$.
$\therefore$方程组的解为$\begin{cases} x=2, \\ y=1, \end{cases}$即$\begin{cases} \dfrac{a}{4}-1=2, \\ \dfrac{b}{3}+2=1. \end{cases}$ 解得$\begin{cases} a=12, \\ b=-3. \end{cases}$
$\therefore$这个方程组的解为$\begin{cases} a=12, \\ b=-3. \end{cases}$
(2)设$5(m-3)=x$,$3(n+2)=y$,则原方程组可化为
$\begin{cases} a_1x+b_1y=c_1, \\ a_2x+b_2y=c_2, \end{cases}$ $\therefore \begin{cases} 5(m-3)=10, \\ 3(n+2)=6. \end{cases}$ 解得$\begin{cases} m=5, \\ n=0. \end{cases}$
$\therefore$这个方程组的解为$\begin{cases} m=5, \\ n=0. \end{cases}$
解析
【分析】
(1)观察待解方程组，两个方程中均重复出现$\dfrac{a}{4}-1$和$\dfrac{b}{3}+2$两个整体，参考材料的换元法，将这两个整体设为新未知数$x$、$y$，即可将原方程组转化为关于$x$、$y$的简单二元一次方程组，解出$x$、$y$后再代回换元式，就能求出$a$、$b$的值。
(2)对比所求方程组和已知解的方程组的结构，将$5(m-3)$看作$x$、$3(n+2)$看作$y$，所求方程组就和已知解的方程组形式完全相同，直接对应已知的$x=10$、$y=6$，解两个一元一次方程即可得到$m$、$n$的值。
【解析】
(1)设$\dfrac{a}{4}-1=x$，$\dfrac{b}{3}+2=y$，原方程组可化为：
$\begin{cases} x+2y=4&① \\ 2x+y=5&② \end{cases}$
将$①×2$得：$2x+4y=8$ ③
用$③-②$得：$3y=3$，解得$y=1$
把$y=1$代入①得：$x+2×1=4$，解得$x=2$
即$\begin{cases} \dfrac{a}{4}-1=2 \\ \dfrac{b}{3}+2=1 \end{cases}$，分别解这两个方程：
$\dfrac{a}{4}=3$，得$a=12$；$\dfrac{b}{3}=-1$，得$b=-3$。
(2)设$5(m-3)=x$，$3(n+2)=y$，则原方程组可化为：
$\begin{cases} a_1x+b_1y=c_1 \\ a_2x+b_2y=c_2 \end{cases}$
已知该方程组的解为$\begin{cases} x=10 \\ y=6 \end{cases}$，因此可得：
$\begin{cases} 5(m-3)=10 \\ 3(n+2)=6 \end{cases}$
分别解方程：
$m-3=2$，得$m=5$；$n+2=2$，得$n=0$。
【答案】
(1)$\begin{cases} a=12 \\ b=-3 \end{cases}$
(2)$\begin{cases} m=5 \\ n=0 \end{cases}$
【知识点】
换元法解方程组，二元一次方程组解法，整体代换思想
【点评】
本题重点考查换元法的灵活运用，通过将重复出现的整体式子替换为新未知数，可将结构复杂的方程组转化为已经掌握的简单方程组，大幅降低计算难度，熟练掌握整体思想和换元技巧，能有效提升解方程组的效率。
【难度系数】
0.7
(1)观察待解方程组，两个方程中均重复出现$\dfrac{a}{4}-1$和$\dfrac{b}{3}+2$两个整体，参考材料的换元法，将这两个整体设为新未知数$x$、$y$，即可将原方程组转化为关于$x$、$y$的简单二元一次方程组，解出$x$、$y$后再代回换元式，就能求出$a$、$b$的值。
(2)对比所求方程组和已知解的方程组的结构，将$5(m-3)$看作$x$、$3(n+2)$看作$y$，所求方程组就和已知解的方程组形式完全相同，直接对应已知的$x=10$、$y=6$，解两个一元一次方程即可得到$m$、$n$的值。
【解析】
(1)设$\dfrac{a}{4}-1=x$，$\dfrac{b}{3}+2=y$，原方程组可化为：
$\begin{cases} x+2y=4&① \\ 2x+y=5&② \end{cases}$
将$①×2$得：$2x+4y=8$ ③
用$③-②$得：$3y=3$，解得$y=1$
把$y=1$代入①得：$x+2×1=4$，解得$x=2$
即$\begin{cases} \dfrac{a}{4}-1=2 \\ \dfrac{b}{3}+2=1 \end{cases}$，分别解这两个方程：
$\dfrac{a}{4}=3$，得$a=12$；$\dfrac{b}{3}=-1$，得$b=-3$。
(2)设$5(m-3)=x$，$3(n+2)=y$，则原方程组可化为：
$\begin{cases} a_1x+b_1y=c_1 \\ a_2x+b_2y=c_2 \end{cases}$
已知该方程组的解为$\begin{cases} x=10 \\ y=6 \end{cases}$，因此可得：
$\begin{cases} 5(m-3)=10 \\ 3(n+2)=6 \end{cases}$
分别解方程：
$m-3=2$，得$m=5$；$n+2=2$，得$n=0$。
【答案】
(1)$\begin{cases} a=12 \\ b=-3 \end{cases}$
(2)$\begin{cases} m=5 \\ n=0 \end{cases}$
【知识点】
换元法解方程组，二元一次方程组解法，整体代换思想
【点评】
本题重点考查换元法的灵活运用，通过将重复出现的整体式子替换为新未知数，可将结构复杂的方程组转化为已经掌握的简单方程组，大幅降低计算难度，熟练掌握整体思想和换元技巧，能有效提升解方程组的效率。
【难度系数】
0.7
