登录
15. 解关于$x,y$的二元一次方程组$\begin{cases}ax+by=2, \\ cx-7y=6\end{cases}$时，一学生把$c$看错得到$\begin{cases}x=-2, \\ y=2,\end{cases}$已知正确的解是$\begin{cases}x=4, \\ y=-2,\end{cases}$则$a,b,c$的值分别是（ ）
A.$a=2,b=3,c=-2$
B.$a=-2,b=-5,c=-10$
C.$a,b$不能确定，$c=-2$
D.$a,b$不能确定，$c=-10$
A.$a=2,b=3,c=-2$
B.$a=-2,b=-5,c=-10$
C.$a,b$不能确定，$c=-2$
D.$a,b$不能确定，$c=-10$
答案
15.A
解析
【分析】
解题时首先明确：学生仅看错了系数c，系数a、b是正确的，因此看错c得到的解虽然不满足第二个方程，但一定满足第一个方程$ax+by=2$；而方程组的正确解同时满足两个方程。我们可以分三步求解：第一步，将正确解代入第二个方程，直接算出c的值；第二步，将看错c得到的解和正确解分别代入第一个方程，得到关于a、b的二元一次方程组；第三步，解这个方程组得到a、b的值，最后匹配选项即可。
【解析】
1. 求c的值：
将正确解$\begin{cases}x=4 \\ y=-2\end{cases}$代入方程$cx-7y=6$，得：
$4c - 7×(-2) = 6$
$4c +14 =6$
$4c = 6-14=-8$
解得$c=-2$。
2. 求a、b的值：
因为看错c得到的解$\begin{cases}x=-2 \\ y=2\end{cases}$和正确解$\begin{cases}x=4 \\ y=-2\end{cases}$都满足方程$ax+by=2$，分别代入得：
$\begin{cases}-2a +2b =2 \\4a -2b =2\end{cases}$
将方程组化简，两个方程分别除以2得：
$\begin{cases}-a +b =1 ①\\2a -b =1 ②\end{cases}$
①+②得：$a=2$
将$a=2$代入①得：$-2 +b=1$，解得$b=3$。
综上，$a=2$，$b=3$，$c=-2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程组解的定义；解二元一次方程组
【点评】
本题的关键是理解“看错c得到的解仍满足不含c的第一个方程”，不要被“看错系数”的条件迷惑，结合解的定义构造方程组即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确：学生仅看错了系数c，系数a、b是正确的，因此看错c得到的解虽然不满足第二个方程，但一定满足第一个方程$ax+by=2$；而方程组的正确解同时满足两个方程。我们可以分三步求解：第一步，将正确解代入第二个方程，直接算出c的值；第二步，将看错c得到的解和正确解分别代入第一个方程，得到关于a、b的二元一次方程组；第三步，解这个方程组得到a、b的值，最后匹配选项即可。
【解析】
1. 求c的值：
将正确解$\begin{cases}x=4 \\ y=-2\end{cases}$代入方程$cx-7y=6$，得：
$4c - 7×(-2) = 6$
$4c +14 =6$
$4c = 6-14=-8$
解得$c=-2$。
2. 求a、b的值：
因为看错c得到的解$\begin{cases}x=-2 \\ y=2\end{cases}$和正确解$\begin{cases}x=4 \\ y=-2\end{cases}$都满足方程$ax+by=2$，分别代入得：
$\begin{cases}-2a +2b =2 \\4a -2b =2\end{cases}$
将方程组化简，两个方程分别除以2得：
$\begin{cases}-a +b =1 ①\\2a -b =1 ②\end{cases}$
①+②得：$a=2$
将$a=2$代入①得：$-2 +b=1$，解得$b=3$。
综上，$a=2$，$b=3$，$c=-2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程组解的定义；解二元一次方程组
【点评】
本题的关键是理解“看错c得到的解仍满足不含c的第一个方程”，不要被“看错系数”的条件迷惑，结合解的定义构造方程组即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
16. 编钟是中国古代一种极具代表性的打击乐器，也是国家非物质文化遗产之一.在一场非遗展示活动中，演奏的编钟由大号钟和小号钟组成，它们在音阶上存在特定关系，从而演奏出美妙的乐曲.
(1)若大号编钟的频率是小号编钟频率的一半，两者频率之和为150 Hz，大、小号编钟的频率分别是多少(用二元一次方程组的知识解答)?
(2)为筹备编钟演奏活动，工作人员要采购A,B两种不同材质的编钟配件，A配件每个30元，B配件每个50元，采购这两种配件的预算为500元，在预算全部用完且两种配件都要采购的情况下，共有哪几种采购方案?
(1)若大号编钟的频率是小号编钟频率的一半，两者频率之和为150 Hz，大、小号编钟的频率分别是多少(用二元一次方程组的知识解答)?
(2)为筹备编钟演奏活动，工作人员要采购A,B两种不同材质的编钟配件，A配件每个30元，B配件每个50元，采购这两种配件的预算为500元，在预算全部用完且两种配件都要采购的情况下，共有哪几种采购方案?
答案
16.解:(1)设大号编钟的频率为$x$ Hz,小号编钟的频率为$y$ Hz,
由题意,得$\begin{cases} x=\dfrac{1}{2}y, \\ x+y=150. \end{cases}$ 解得$\begin{cases} x=50, \\ y=100. \end{cases}$
答:大号编钟的频率为50 Hz,小号编钟的频率为100 Hz.
(2)设A配件要买$m$个,B配件要买$n$个,由题意,得$30m+50n=500$,
整理,得$3m+5n=50$,即$n=10-\dfrac{3}{5}m$.
$\because m$和$n$都为正整数,
$\therefore \begin{cases} m=5, \\ n=7 \end{cases}$或$\begin{cases} m=10, \\ n=4 \end{cases}$或$\begin{cases} m=15, \\ n=1. \end{cases}$
$\therefore$有三种采购方案,方案一:A配件5个,B配件7个;方案二:A配件10个,B配件4个;方案三:A配件15个,B配件1个.
由题意,得$\begin{cases} x=\dfrac{1}{2}y, \\ x+y=150. \end{cases}$ 解得$\begin{cases} x=50, \\ y=100. \end{cases}$
答:大号编钟的频率为50 Hz,小号编钟的频率为100 Hz.
(2)设A配件要买$m$个,B配件要买$n$个,由题意,得$30m+50n=500$,
整理,得$3m+5n=50$,即$n=10-\dfrac{3}{5}m$.
$\because m$和$n$都为正整数,
$\therefore \begin{cases} m=5, \\ n=7 \end{cases}$或$\begin{cases} m=10, \\ n=4 \end{cases}$或$\begin{cases} m=15, \\ n=1. \end{cases}$
$\therefore$有三种采购方案,方案一:A配件5个,B配件7个;方案二:A配件10个,B配件4个;方案三:A配件15个,B配件1个.
解析
【分析】
(1) 本题是二元一次方程组的实际应用题，首先明确两个等量关系：①大号编钟频率=小号编钟频率×$\frac{1}{2}$；②两种编钟的频率之和为150Hz，设两个未知数对应列方程，组成方程组求解即可。
(2) 本题是二元一次方程正整数解的方案设计题，先根据“采购两种配件的总费用=500元”列方程，再结合“两种配件都要采购”的要求，即两个未知数均为正整数，筛选出符合条件的解，就能得到所有采购方案。
【解析】
(1) 设大号编钟的频率为$x$ Hz，小号编钟的频率为$y$ Hz，
由题意得：$\begin{cases} x=\dfrac{1}{2}y \\ x+y=150 \end{cases}$
把$x=\dfrac{1}{2}y$代入$x+y=150$，可得$\dfrac{1}{2}y+y=150$，解得$y=100$，
将$y=100$代入$x=\dfrac{1}{2}y$，得$x=50$，
因此方程组的解为$\begin{cases} x=50 \\ y=100 \end{cases}$。
(2) 设采购A配件$m$个，采购B配件$n$个（$m$、$n$均为正整数），
由题意得：$30m+50n=500$，
两边同时除以10化简得$3m+5n=50$，变形为$n=10-\dfrac{3}{5}m$，
因为$n$是正整数，所以$\dfrac{3}{5}m$必须为正整数，即$m$是5的正整数倍，且$10-\dfrac{3}{5}m＞0$，即$m＜\dfrac{50}{3}\approx16.7$，
因此符合条件的取值为：
当$m=5$时，$n=7$；当$m=10$时，$n=4$；当$m=15$时，$n=1$。
【答案】
(1)大号编钟的频率为50 Hz，小号编钟的频率为100 Hz；
(2)共有3种采购方案：方案一：采购A配件5个，B配件7个；方案二：采购A配件10个，B配件4个；方案三：采购A配件15个，B配件1个。
【知识点】
二元一次方程组的应用；二元一次方程的正整数解；方案设计
【点评】
本题结合非遗文化背景考查方程的实际应用，核心是找准题干中的等量关系列方程，第二问要注意结合未知数的实际意义（正整数）筛选解，避免漏解或多解，侧重考查基础应用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 本题是二元一次方程组的实际应用题，首先明确两个等量关系：①大号编钟频率=小号编钟频率×$\frac{1}{2}$；②两种编钟的频率之和为150Hz，设两个未知数对应列方程，组成方程组求解即可。
(2) 本题是二元一次方程正整数解的方案设计题，先根据“采购两种配件的总费用=500元”列方程，再结合“两种配件都要采购”的要求，即两个未知数均为正整数，筛选出符合条件的解，就能得到所有采购方案。
【解析】
(1) 设大号编钟的频率为$x$ Hz，小号编钟的频率为$y$ Hz，
由题意得：$\begin{cases} x=\dfrac{1}{2}y \\ x+y=150 \end{cases}$
把$x=\dfrac{1}{2}y$代入$x+y=150$，可得$\dfrac{1}{2}y+y=150$，解得$y=100$，
将$y=100$代入$x=\dfrac{1}{2}y$，得$x=50$，
因此方程组的解为$\begin{cases} x=50 \\ y=100 \end{cases}$。
(2) 设采购A配件$m$个，采购B配件$n$个（$m$、$n$均为正整数），
由题意得：$30m+50n=500$，
两边同时除以10化简得$3m+5n=50$，变形为$n=10-\dfrac{3}{5}m$，
因为$n$是正整数，所以$\dfrac{3}{5}m$必须为正整数，即$m$是5的正整数倍，且$10-\dfrac{3}{5}m＞0$，即$m＜\dfrac{50}{3}\approx16.7$，
因此符合条件的取值为：
当$m=5$时，$n=7$；当$m=10$时，$n=4$；当$m=15$时，$n=1$。
【答案】
(1)大号编钟的频率为50 Hz，小号编钟的频率为100 Hz；
(2)共有3种采购方案：方案一：采购A配件5个，B配件7个；方案二：采购A配件10个，B配件4个；方案三：采购A配件15个，B配件1个。
【知识点】
二元一次方程组的应用；二元一次方程的正整数解；方案设计
【点评】
本题结合非遗文化背景考查方程的实际应用，核心是找准题干中的等量关系列方程，第二问要注意结合未知数的实际意义（正整数）筛选解，避免漏解或多解，侧重考查基础应用能力。
【难度系数】
0.7
