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1. 已知$2x^{m-1}-5y^{4-n}=10$是关于$x,y$的二元一次方程，则$m,n$的值为 （
A.$m=2,n=1$
B.$m=1,n=-2$
C.$m=2,n=3$
D.$m=1,n=3$
C
）A.$m=2,n=1$
B.$m=1,n=-2$
C.$m=2,n=3$
D.$m=1,n=3$
答案
1.C
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆二元一次方程的核心定义：二元一次方程需满足三个条件，一是含有2个不同的未知数，二是含未知数的项的次数都为1，三是属于整式方程。本题已经明确是关于x、y的二元一次方程，说明x、y的次数都必须等于1，据此分别列关于m、n的一元一次方程求解即可。
【解析】
解：
∵$2x^{m-1}-5y^{4-n}=10$是关于x、y的二元一次方程
根据二元一次方程“含未知数的项的次数为1”的要求，可得：
x的次数满足：$m-1=1$，解得$m=2$
y的次数满足：$4-n=1$，解得$n=3$
因此m=2，n=3，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程的定义，解一元一次方程
【点评】
本题属于基础概念考察题，核心是抓住二元一次方程中“一次”的要求，即每个未知数的项的次数都是1，只要准确掌握定义就能快速得出结果，是方程类的基础题型。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆二元一次方程的核心定义：二元一次方程需满足三个条件，一是含有2个不同的未知数，二是含未知数的项的次数都为1，三是属于整式方程。本题已经明确是关于x、y的二元一次方程，说明x、y的次数都必须等于1，据此分别列关于m、n的一元一次方程求解即可。
【解析】
解：
∵$2x^{m-1}-5y^{4-n}=10$是关于x、y的二元一次方程
根据二元一次方程“含未知数的项的次数为1”的要求，可得：
x的次数满足：$m-1=1$，解得$m=2$
y的次数满足：$4-n=1$，解得$n=3$
因此m=2，n=3，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程的定义，解一元一次方程
【点评】
本题属于基础概念考察题，核心是抓住二元一次方程中“一次”的要求，即每个未知数的项的次数都是1，只要准确掌握定义就能快速得出结果，是方程类的基础题型。
【难度系数】
0.8
2.已知二元一次方程组：①$\begin{cases} x=y, \\ 3x-2y=1; \end{cases}$ ②$\begin{cases} 5x-3y=2, \\ 3x+2y=0; \end{cases}$ ③$\begin{cases} 5x-3y=2, \\ y=6+2x; \end{cases}$ ④$\begin{cases} 2x+y=-2, \\ 2x-6y=1, \end{cases}$
解以上方程组比较适宜的方法是（
A.①②用代入法，③④用加减法
B.①③用代入法，②④用加减法
C.②③用代入法，①④用加减法
D.②④用代入法，①③用加减法
解以上方程组比较适宜的方法是（
B
）A.①②用代入法，③④用加减法
B.①③用代入法，②④用加减法
C.②③用代入法，①④用加减法
D.②④用代入法，①③用加减法
答案
2.B
解析
【分析】
首先明确二元一次方程组两种常用解法的适用场景：代入消元法适合方程组中存在一个方程直接给出“一个未知数=含另一个未知数的代数式”的形式，代入即可快速消元；加减消元法适合方程组中同一个未知数的系数相等、互为相反数或成整数倍关系，通过加减运算可快速消元。接下来逐个分析4个方程组的特征：①中直接给出$x=y$，适合代入法；②中无直接的未知数表达式，未知数系数可通过乘整数后加减消元，适合加减法；③中直接给出$y=6+2x$，适合代入法；④中x的系数均为2，直接相减即可消x，适合加减法。最后对应选项即可得到答案。
【解析】
我们逐个判断各方程组的适宜解法：
1. 方程组①：第一个方程为$x=y$，可直接代入第二个方程$3x-2y=1$消去x，适宜用代入法；
2. 方程组②：两个方程均无直接的未知数表达式，y的系数为-3和2，给第一个方程乘2、第二个方程乘3后相加即可消去y，适宜用加减法；
3. 方程组③：第二个方程为$y=6+2x$，可直接代入第一个方程$5x-3y=2$消去y，适宜用代入法；
4. 方程组④：两个方程中x的系数均为2，两式直接相减即可消去x，适宜用加减法。
因此①③用代入法，②④用加减法，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程组的解法，代入消元法，加减消元法
【点评】
本题考查二元一次方程组解法的灵活选择，解题核心是熟练掌握两种消元法的适用特征，根据方程组的形式选择更简便的解法即可。
【难度系数】
0.85
首先明确二元一次方程组两种常用解法的适用场景：代入消元法适合方程组中存在一个方程直接给出“一个未知数=含另一个未知数的代数式”的形式，代入即可快速消元；加减消元法适合方程组中同一个未知数的系数相等、互为相反数或成整数倍关系，通过加减运算可快速消元。接下来逐个分析4个方程组的特征：①中直接给出$x=y$，适合代入法；②中无直接的未知数表达式，未知数系数可通过乘整数后加减消元，适合加减法；③中直接给出$y=6+2x$，适合代入法；④中x的系数均为2，直接相减即可消x，适合加减法。最后对应选项即可得到答案。
【解析】
我们逐个判断各方程组的适宜解法：
1. 方程组①：第一个方程为$x=y$，可直接代入第二个方程$3x-2y=1$消去x，适宜用代入法；
2. 方程组②：两个方程均无直接的未知数表达式，y的系数为-3和2，给第一个方程乘2、第二个方程乘3后相加即可消去y，适宜用加减法；
3. 方程组③：第二个方程为$y=6+2x$，可直接代入第一个方程$5x-3y=2$消去y，适宜用代入法；
4. 方程组④：两个方程中x的系数均为2，两式直接相减即可消去x，适宜用加减法。
因此①③用代入法，②④用加减法，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程组的解法，代入消元法，加减消元法
【点评】
本题考查二元一次方程组解法的灵活选择，解题核心是熟练掌握两种消元法的适用特征，根据方程组的形式选择更简便的解法即可。
【难度系数】
0.85
3.若$|x - y - 2| + (2x + y - 4)^2 = 0$，则$x,y$的值是（
A.$\begin{cases} x=0, \\ y=2 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x=1, \\ y=-1 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x=1, \\ y=1 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x=2, \\ y=0 \end{cases}$
D
）A.$\begin{cases} x=0, \\ y=2 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x=1, \\ y=-1 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x=1, \\ y=1 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x=2, \\ y=0 \end{cases}$
答案
3.D
解析
【分析】
我们知道绝对值和平方数都具有非负性，也就是它们的值都大于等于0。当两个非负数相加等于0时，只有这两个非负数各自都等于0才能成立。所以我们可以根据这个性质列出关于x和y的二元一次方程组，再解方程组就能求出x、y的值。
【解析】
解：
∵ $|x - y - 2| ≥ 0$，$(2x + y - 4)^2 ≥ 0$，且二者相加结果为0
∴ 可得方程组：
$\begin{cases}x - y - 2 = 0 \quad ① \\2x + y - 4 = 0 \quad ②\end{cases}$
将①+②，消去y：
$x - y -2 + 2x + y -4 = 0$
化简得$3x -6 = 0$，解得$x=2$
把$x=2$代入①式：
$2 - y -2 = 0$，解得$y=0$
所以$\begin{cases} x=2 \\ y=0 \end{cases}$
【答案】
D
【知识点】
非负数的性质；解二元一次方程组
【点评】
本题是基础题型，解题核心是熟练掌握绝对值、平方的非负性，再通过解二元一次方程组得到结果，属于常考的知识点结合题型。
【难度系数】
0.8
我们知道绝对值和平方数都具有非负性，也就是它们的值都大于等于0。当两个非负数相加等于0时，只有这两个非负数各自都等于0才能成立。所以我们可以根据这个性质列出关于x和y的二元一次方程组，再解方程组就能求出x、y的值。
【解析】
解：
∵ $|x - y - 2| ≥ 0$，$(2x + y - 4)^2 ≥ 0$，且二者相加结果为0
∴ 可得方程组：
$\begin{cases}x - y - 2 = 0 \quad ① \\2x + y - 4 = 0 \quad ②\end{cases}$
将①+②，消去y：
$x - y -2 + 2x + y -4 = 0$
化简得$3x -6 = 0$，解得$x=2$
把$x=2$代入①式：
$2 - y -2 = 0$，解得$y=0$
所以$\begin{cases} x=2 \\ y=0 \end{cases}$
【答案】
D
【知识点】
非负数的性质；解二元一次方程组
【点评】
本题是基础题型，解题核心是熟练掌握绝对值、平方的非负性，再通过解二元一次方程组得到结果，属于常考的知识点结合题型。
【难度系数】
0.8
4.如果表中给出的每一对$x,y$的值都是二元一次方程$ax - by = 3$的解，则表中$m$的值为（
A.－7
B.－3
C.0
D.7
|$x$|0|1|2|5|
|$y$|3|
|－1|$m$|
A
）A.－7
B.－3
C.0
D.7
|$x$|0|1|2|5|
|$y$|3|
|－1|$m$|答案
4.A
解析
【分析】
要解决这道题，首先利用二元一次方程解的性质：所有满足方程的x、y值代入后等式都成立。我们可以先选取两组已知的x、y值代入方程，先求出系数a和b的具体值，得到完整的二元一次方程后，再把x=5代入方程，就能计算出对应的y值也就是m的大小。
【解析】
第一步：将$x=0,y=3$代入$ax - by = 3$，得：
$a×0 - b×3 = 3$
即$-3b=3$，解得$b=-1$。
第二步：将$x=1,y=1$和$b=-1$代入$ax - by =3$，得：
$a×1 - (-1)×1 = 3$
即$a + 1 = 3$，解得$a=2$。
第三步：将$a=2$，$b=-1$代入原方程，化简得到完整方程：
$2x + y =3$。
第四步：将$x=5$代入$2x + y =3$，求$y=m$：
$2×5 + y =3$
即$10 + y =3$，解得$y=-7$，所以$m=-7$。
【答案】
A
【知识点】
1.二元一次方程的解
2.代入法求值
3.解一元一次方程
【点评】
本题是二元一次方程的基础应用题型，解题关键是理解方程的解的定义，通过已知解确定方程系数后再求解未知量，解题时要注意符号计算，避免出错。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先利用二元一次方程解的性质：所有满足方程的x、y值代入后等式都成立。我们可以先选取两组已知的x、y值代入方程，先求出系数a和b的具体值，得到完整的二元一次方程后，再把x=5代入方程，就能计算出对应的y值也就是m的大小。
【解析】
第一步：将$x=0,y=3$代入$ax - by = 3$，得：
$a×0 - b×3 = 3$
即$-3b=3$，解得$b=-1$。
第二步：将$x=1,y=1$和$b=-1$代入$ax - by =3$，得：
$a×1 - (-1)×1 = 3$
即$a + 1 = 3$，解得$a=2$。
第三步：将$a=2$，$b=-1$代入原方程，化简得到完整方程：
$2x + y =3$。
第四步：将$x=5$代入$2x + y =3$，求$y=m$：
$2×5 + y =3$
即$10 + y =3$，解得$y=-7$，所以$m=-7$。
【答案】
A
【知识点】
1.二元一次方程的解
2.代入法求值
3.解一元一次方程
【点评】
本题是二元一次方程的基础应用题型，解题关键是理解方程的解的定义，通过已知解确定方程系数后再求解未知量，解题时要注意符号计算，避免出错。
【难度系数】
0.7
5.（数学文化）《九章算术》“方程”篇中有这样一道题:今有甲、乙二人持钱不知其数,甲得乙半而钱五十,乙得甲太半(注:太半,意思为三分之二)而钱亦五十.问甲、乙持钱各几何?若设甲、乙原各持钱$x,y$,则根据题意可列方程组为（ ）
A.$\begin{cases}x+\dfrac{1}{2}y=50, \\y+\dfrac{2}{3}x=50\end{cases}$
B.$\begin{cases}x-\dfrac{1}{2}y=50, \\y-\dfrac{2}{3}x=50\end{cases}$
C.$\begin{cases}x+\dfrac{1}{2}x=50, \\y+\dfrac{2}{3}y=50\end{cases}$
D.$\begin{cases}y+\dfrac{1}{2}x=50, \\x+\dfrac{2}{3}y=50\end{cases}$
A.$\begin{cases}x+\dfrac{1}{2}y=50, \\y+\dfrac{2}{3}x=50\end{cases}$
B.$\begin{cases}x-\dfrac{1}{2}y=50, \\y-\dfrac{2}{3}x=50\end{cases}$
C.$\begin{cases}x+\dfrac{1}{2}x=50, \\y+\dfrac{2}{3}y=50\end{cases}$
D.$\begin{cases}y+\dfrac{1}{2}x=50, \\x+\dfrac{2}{3}y=50\end{cases}$
答案
5.A
解析
【分析】
这是一道结合传统数学文化的列方程组题目，解题核心是提取题干中的两个等量关系。首先明确x是甲原有的钱数，y是乙原有的钱数：第一个等量关系为甲原有的钱加上乙钱数的一半等于50；第二个等量关系为乙原有的钱加上甲钱数的三分之二等于50，根据两个等量关系列方程组后匹配选项即可。
【解析】
解：设甲、乙原各持钱$x,y$。
1. 根据“甲得乙半而钱五十”，甲原有$x$，乙钱数的一半为$\frac{1}{2}y$，二者相加总钱数为50，可列方程：$x+\frac{1}{2}y=50$；
2. 根据“乙得甲太半而钱亦五十”，“太半”为$\frac{2}{3}$，乙原有$y$，甲钱数的$\frac{2}{3}$为$\frac{2}{3}x$，二者相加总钱数为50，可列方程：$y+\frac{2}{3}x=50$。
联立可得方程组$\begin{cases}x+\dfrac{1}{2}y=50, \\y+\dfrac{2}{3}x=50\end{cases}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 列二元一次方程组
2. 等量关系提取
【点评】
本题结合我国古代数学名著《九章算术》的内容出题，既考查学生从题干中提取信息、寻找等量关系列方程组的能力，也能让学生感受到传统数学文化的魅力，解题关键是找准两个钱数为50的等量关系。
【难度系数】
0.85
这是一道结合传统数学文化的列方程组题目，解题核心是提取题干中的两个等量关系。首先明确x是甲原有的钱数，y是乙原有的钱数：第一个等量关系为甲原有的钱加上乙钱数的一半等于50；第二个等量关系为乙原有的钱加上甲钱数的三分之二等于50，根据两个等量关系列方程组后匹配选项即可。
【解析】
解：设甲、乙原各持钱$x,y$。
1. 根据“甲得乙半而钱五十”，甲原有$x$，乙钱数的一半为$\frac{1}{2}y$，二者相加总钱数为50，可列方程：$x+\frac{1}{2}y=50$；
2. 根据“乙得甲太半而钱亦五十”，“太半”为$\frac{2}{3}$，乙原有$y$，甲钱数的$\frac{2}{3}$为$\frac{2}{3}x$，二者相加总钱数为50，可列方程：$y+\frac{2}{3}x=50$。
联立可得方程组$\begin{cases}x+\dfrac{1}{2}y=50, \\y+\dfrac{2}{3}x=50\end{cases}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 列二元一次方程组
2. 等量关系提取
【点评】
本题结合我国古代数学名著《九章算术》的内容出题，既考查学生从题干中提取信息、寻找等量关系列方程组的能力，也能让学生感受到传统数学文化的魅力，解题关键是找准两个钱数为50的等量关系。
【难度系数】
0.85
