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23. (10分)定义:关于$x,y$的二元一次方程$ax+by=c(abc≠0,a≠c)$中的常数项$c$与未知数$x$系数$a$互换,得到的新方程叫作原方程的“友好方程”,例如:方程$ax+by=c$的“友好方程”为$cx+by=a$。
(1)求方程$x+2y=3$与它的“友好方程”组成的方程组的解；
(2)已知关于$x,y$的二元一次方程$ax+by=c$的系数满足$a+b+c=0$,求方程$ax+by=c$与它的“友好方程”组成的方程组的解；
(3)已知关于$x,y$的二元一次方程$(3m-t)x+2\,025y=m+2t$是$(2+n)x+2\,025y=m-1$的“友好方程”,求$\dfrac{m}{n}$的值。
(1)求方程$x+2y=3$与它的“友好方程”组成的方程组的解；
(2)已知关于$x,y$的二元一次方程$ax+by=c$的系数满足$a+b+c=0$,求方程$ax+by=c$与它的“友好方程”组成的方程组的解；
(3)已知关于$x,y$的二元一次方程$(3m-t)x+2\,025y=m+2t$是$(2+n)x+2\,025y=m-1$的“友好方程”,求$\dfrac{m}{n}$的值。
答案
23.解:(1)由题意,得方程$x+2y=3$的“友好方程”为$3x+2y=1$,所以$\begin{cases}x+2y=3,①\\3x+2y=1,②\end{cases}$ ①$-$②,得$-2x=2$,解得$x=-1$。把$x=-1$代入①,得$-1+2y=3$,解得$y=2$。所以原方程组的解为$\begin{cases}x=-1,\\y=2。\end{cases}$ (2)由题意,得方程$ax+by=c$的“友好方程”为$cx+by=a$,所以$\begin{cases}ax+by=c,①\\cx+by=a,②\end{cases}$ ①$-$②,得$(a-c)x=c-a$,所以$x=-1$。把$x=-1$代入①,得$-a+by=c$,所以$by=a+c$,因为$a+b+c=0$,所以$a+c=-b$,所以$by=-b$,所以$y=-1$。所以原方程组的解为$\begin{cases}x=-1,\\y=-1。\end{cases}$ (3)由题意,得$\begin{cases}3m-t=m-1,①\\2+n=m+2t,②\end{cases}$ 由①,得$t=2m+1$,将其代入②,得$2+n=m+2(2m+1)$,$5m=n$,所以$\dfrac{m}{n}=\dfrac{1}{5}$。
解析
【分析】
本题是新定义类型的二元一次方程组问题，需先明确“友好方程”的定义：将原二元一次方程的常数项$c$与$x$的系数$a$互换得到新方程。
(1) 先写出方程$x+2y=3$的友好方程，联立成方程组后用加减消元法求解；
(2) 先写出$ax+by=c$的友好方程，联立方程组，通过加减消元求$x$，再代入原方程，结合已知$a+b+c=0$求$y$；
(3) 根据“友好方程”的定义，两个方程中$y$的系数相同，$x$的系数与常数项对应互换，列出关于$m、n、t$的方程组，消去$t$后求出$m$与$n$的关系，进而得到$\frac{m}{n}$的值。
【解析】
(1) 根据“友好方程”定义，方程$x+2y=3$的友好方程为$3x+2y=1$，联立得方程组：
$\begin{cases}x+2y=3&①\\3x+2y=1&②\end{cases}$
①$-$②得：$-2x=2$，解得$x=-1$，
将$x=-1$代入①得：$-1+2y=3$，解得$y=2$，
所以方程组的解为$\begin{cases}x=-1\\y=2\end{cases}$；
(2) 方程$ax+by=c$的友好方程为$cx+by=a$，联立得方程组：
$\begin{cases}ax+by=c&①\\cx+by=a&②\end{cases}$
①$-$②得：$(a-c)x=c-a$，即$(a-c)x=-(a-c)$，
因为$a≠c$，所以$a-c≠0$，两边同除以$(a-c)$得$x=-1$，
将$x=-1$代入①得：$-a+by=c$，即$by=a+c$，
已知$a+b+c=0$，则$a+c=-b$，所以$by=-b$，
又$b≠0$（因$abc≠0$），两边同除以$b$得$y=-1$，
所以方程组的解为$\begin{cases}x=-1\\y=-1\end{cases}$；
(3) 已知$(3m-t)x+2025y=m+2t$是$(2+n)x+2025y=m-1$的友好方程，根据定义得：
$\begin{cases}3m-t=m-1&①\\2+n=m+2t&②\end{cases}$
由①得：$t=2m+1$，将其代入②得：
$2+n=m+2(2m+1)$，展开得$2+n=5m+2$，移项得$n=5m$，
所以$\frac{m}{n}=\frac{m}{5m}=\frac{1}{5}$。
【答案】
(1) $\begin{cases}x=-1\\y=2\end{cases}$；(2) $\begin{cases}x=-1\\y=-1\end{cases}$；(3) $\frac{1}{5}$
【知识点】
二元一次方程组的解法；新定义运算；二元一次方程的系数对应
【点评】
本题是新定义背景下的二元一次方程组综合题，核心是准确理解“友好方程”的定义，将新定义转化为常规方程组问题，再利用加减消元法求解，解题时需注意题目给出的系数不为0的条件，避免出错。
【难度系数】
0.5
本题是新定义类型的二元一次方程组问题，需先明确“友好方程”的定义：将原二元一次方程的常数项$c$与$x$的系数$a$互换得到新方程。
(1) 先写出方程$x+2y=3$的友好方程，联立成方程组后用加减消元法求解；
(2) 先写出$ax+by=c$的友好方程，联立方程组，通过加减消元求$x$，再代入原方程，结合已知$a+b+c=0$求$y$；
(3) 根据“友好方程”的定义，两个方程中$y$的系数相同，$x$的系数与常数项对应互换，列出关于$m、n、t$的方程组，消去$t$后求出$m$与$n$的关系，进而得到$\frac{m}{n}$的值。
【解析】
(1) 根据“友好方程”定义，方程$x+2y=3$的友好方程为$3x+2y=1$，联立得方程组：
$\begin{cases}x+2y=3&①\\3x+2y=1&②\end{cases}$
①$-$②得：$-2x=2$，解得$x=-1$，
将$x=-1$代入①得：$-1+2y=3$，解得$y=2$，
所以方程组的解为$\begin{cases}x=-1\\y=2\end{cases}$；
(2) 方程$ax+by=c$的友好方程为$cx+by=a$，联立得方程组：
$\begin{cases}ax+by=c&①\\cx+by=a&②\end{cases}$
①$-$②得：$(a-c)x=c-a$，即$(a-c)x=-(a-c)$，
因为$a≠c$，所以$a-c≠0$，两边同除以$(a-c)$得$x=-1$，
将$x=-1$代入①得：$-a+by=c$，即$by=a+c$，
已知$a+b+c=0$，则$a+c=-b$，所以$by=-b$，
又$b≠0$（因$abc≠0$），两边同除以$b$得$y=-1$，
所以方程组的解为$\begin{cases}x=-1\\y=-1\end{cases}$；
(3) 已知$(3m-t)x+2025y=m+2t$是$(2+n)x+2025y=m-1$的友好方程，根据定义得：
$\begin{cases}3m-t=m-1&①\\2+n=m+2t&②\end{cases}$
由①得：$t=2m+1$，将其代入②得：
$2+n=m+2(2m+1)$，展开得$2+n=5m+2$，移项得$n=5m$，
所以$\frac{m}{n}=\frac{m}{5m}=\frac{1}{5}$。
【答案】
(1) $\begin{cases}x=-1\\y=2\end{cases}$；(2) $\begin{cases}x=-1\\y=-1\end{cases}$；(3) $\frac{1}{5}$
【知识点】
二元一次方程组的解法；新定义运算；二元一次方程的系数对应
【点评】
本题是新定义背景下的二元一次方程组综合题，核心是准确理解“友好方程”的定义，将新定义转化为常规方程组问题，再利用加减消元法求解，解题时需注意题目给出的系数不为0的条件，避免出错。
【难度系数】
0.5
