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24.(12分)某科技小组制作了甲、乙两个机器人,请阅读下列性能测试信息,完成相应任务。
答案
24.解:任务一:设基础模式的速度为$x$米/分钟,则标准模式的速度为$(x+10)$米/分钟。根据题意,得$\dfrac{300}{x+10}=\dfrac{200}{x}$,解得$x=20$。经检验,$x=20$是所列方程的根,且符合题意,所以$x+10=30$(米/分钟)。答:基础模式的速度为20米/分钟,标准模式的速度为30米/分钟。 任务二:根据题意,得$1+a+\dfrac{70}{20}=5$,解得$a=0.5$。答:实验2中机器人乙故障时长$a$的值为0.5。 任务三:设甲的运动时间为$t$分钟。当$0＜t≤1$时,$30×2t-30t=10$,解得$t=\dfrac{1}{3}$;当$1＜t≤1.5$时,$30×2×1-30t=10$,解得$t=\dfrac{5}{3}$(不符合题意,舍去);当$1.5＜t≤5$时,$|30×2×1+20(t-1.5)-30t|=10$,即$30-10t=10$或$10t-30=10$,解得$t=2$或$t=4$。答:实验2整个过程中第$\dfrac{1}{3}$或2或4分钟时,两个机器人之间的距离等于10米。 解题密码:本题考查了分式方程及一元一次方程的实际应用,解题的关键是理解题意,找准等量关系,正确列出对应的方程并求解。
解析
【分析】
首先，任务一需根据“标准模式跑300米的时间与基础模式跑200米的时间相等”这一条件，设未知数列分式方程求解；任务二根据实验2总时间为5分钟，将乙的运动时间拆分为全速跑、故障、基础模式跑三部分，列方程求故障时长$a$；任务三需分三个时间段讨论两机器人的路程差，根据距离等于10米列方程，注意检验解是否符合对应时间段。
【解析】
任务一：设基础模式的速度为$x$米/分钟，则标准模式的速度为$(x+10)$米/分钟。
根据题意，标准模式跑300米的时间与基础模式跑200米的时间相等，可得：
$\dfrac{300}{x+10}=\dfrac{200}{x}$
解方程：
交叉相乘得$300x=200(x+10)$，
化简得$100x=2000$，解得$x=20$。
经检验，$x=20$是原方程的根，且符合题意，因此标准模式速度为$20+10=30$米/分钟。
任务二：由性能信息可知，全速模式速度为标准模式的2倍，即$30×2=60$米/分钟；基础模式速度为20米/分钟。
实验2总时间为5分钟，乙的运动分为三部分：全速跑1分钟，故障$a$分钟，基础模式跑70米的时间为$\dfrac{70}{20}=3.5$分钟，因此总时间满足：
$1+a+3.5=5$，解得$a=0.5$。
任务三：设甲的运动时间为$t$分钟，分情况讨论：
①当$0＜t≤1$时：乙的路程为$60t$，甲的路程为$30t$，根据距离为10米，得$60t-30t=10$，解得$t=\dfrac{1}{3}$，符合该时间段；
②当$1＜t≤1.5$时：乙故障，路程为$60×1=60$，甲的路程为$30t$，根据距离为10米，得$|60-30t|=10$，解得$t=\dfrac{5}{3}$，不符合$1＜t≤1.5$，舍去；
③当$1.5＜t≤5$时：乙的路程为$60+20(t-1.5)$，甲的路程为$30t$，根据距离为10米，得$|60+20(t-1.5)-30t|=10$，化简得$|30-10t|=10$，解得$t=2$或$t=4$，均符合该时间段。
【答案】
任务一：基础模式速度为20米/分钟，标准模式速度为30米/分钟；任务二：$a=0.5$；任务三：第$\dfrac{1}{3}$分钟、第2分钟、第4分钟时，两个机器人之间的距离等于10米。
【知识点】
分式方程应用、一元一次方程应用、行程问题
【点评】
本题结合机器人跑步的实际情境，考查行程问题中的方程应用，关键是分阶段分析两机器人的运动过程，找准路程关系列方程，需注意检验解的合理性，整体难度适中，需仔细梳理各阶段的时间与路程。
【难度系数】
0.6
首先，任务一需根据“标准模式跑300米的时间与基础模式跑200米的时间相等”这一条件，设未知数列分式方程求解；任务二根据实验2总时间为5分钟，将乙的运动时间拆分为全速跑、故障、基础模式跑三部分，列方程求故障时长$a$；任务三需分三个时间段讨论两机器人的路程差，根据距离等于10米列方程，注意检验解是否符合对应时间段。
【解析】
任务一：设基础模式的速度为$x$米/分钟，则标准模式的速度为$(x+10)$米/分钟。
根据题意，标准模式跑300米的时间与基础模式跑200米的时间相等，可得：
$\dfrac{300}{x+10}=\dfrac{200}{x}$
解方程：
交叉相乘得$300x=200(x+10)$，
化简得$100x=2000$，解得$x=20$。
经检验，$x=20$是原方程的根，且符合题意，因此标准模式速度为$20+10=30$米/分钟。
任务二：由性能信息可知，全速模式速度为标准模式的2倍，即$30×2=60$米/分钟；基础模式速度为20米/分钟。
实验2总时间为5分钟，乙的运动分为三部分：全速跑1分钟，故障$a$分钟，基础模式跑70米的时间为$\dfrac{70}{20}=3.5$分钟，因此总时间满足：
$1+a+3.5=5$，解得$a=0.5$。
任务三：设甲的运动时间为$t$分钟，分情况讨论：
①当$0＜t≤1$时：乙的路程为$60t$，甲的路程为$30t$，根据距离为10米，得$60t-30t=10$，解得$t=\dfrac{1}{3}$，符合该时间段；
②当$1＜t≤1.5$时：乙故障，路程为$60×1=60$，甲的路程为$30t$，根据距离为10米，得$|60-30t|=10$，解得$t=\dfrac{5}{3}$，不符合$1＜t≤1.5$，舍去；
③当$1.5＜t≤5$时：乙的路程为$60+20(t-1.5)$，甲的路程为$30t$，根据距离为10米，得$|60+20(t-1.5)-30t|=10$，化简得$|30-10t|=10$，解得$t=2$或$t=4$，均符合该时间段。
【答案】
任务一：基础模式速度为20米/分钟，标准模式速度为30米/分钟；任务二：$a=0.5$；任务三：第$\dfrac{1}{3}$分钟、第2分钟、第4分钟时，两个机器人之间的距离等于10米。
【知识点】
分式方程应用、一元一次方程应用、行程问题
【点评】
本题结合机器人跑步的实际情境，考查行程问题中的方程应用，关键是分阶段分析两机器人的运动过程，找准路程关系列方程，需注意检验解的合理性，整体难度适中，需仔细梳理各阶段的时间与路程。
【难度系数】
0.6
