23.(6分)如图,已知$∠1=47°,∠2=133°,∠A=∠F$。
(1)试说明:$AE// BF$;
(2)若$∠C=56°$,求$∠D$的度数。

23.解:(1)记BF交CD于点H。因为∠2=133°,所以∠DHF=180°-∠2=47°,又因为∠1=47°,所以∠DHF=∠1,所以AE//BF。 (2)因为AE//BF,所以∠AED=∠F,又因为∠A=∠F,所以∠AED=∠A,所以AC//DF,所以∠D=∠C=56°。

【分析】
要证明AE//BF，需利用平行线的判定定理，先计算∠2的邻补角，发现其与∠1相等，通过同位角相等证明两直线平行；求∠D的度数时，先由AE//BF得到角的关系，结合已知∠A=∠F推出AC//DF，再利用平行线的性质得到∠D与∠C相等，进而求出结果。
【解析】
(1) 记BF交CD于点H。
因为∠2与∠DHF是邻补角，所以∠DHF = 180° - ∠2 = 180° - 133° = 47°。
又已知∠1 = 47°，因此∠DHF = ∠1。
根据“同位角相等，两直线平行”，可证AE//BF。
(2) 由(1)知AE//BF，根据“两直线平行，同位角相等”，得∠AED = ∠F。
又已知∠A = ∠F，所以∠AED = ∠A。
根据“内错角相等，两直线平行”，可证AC//DF。
根据“两直线平行，内错角相等”，得∠D = ∠C。
已知∠C = 56°，所以∠D = 56°。
【答案】
(1) AE//BF；(2) ∠D = 56°
【知识点】
平行线的判定、平行线的性质、邻补角
【点评】
本题考查平行线的判定与性质的综合应用，解题关键是通过角的关系推导直线平行，再利用平行关系求解角度，属于基础几何题，需熟练掌握相关定理。
【难度系数】
0.6

24.(6分)2025年蛇年春晚吉祥物“巳升升”，其形象既憨态可掬，又富有古意，深受大家喜爱。
某商店，第一次用3 000元购进一批吉祥物“巳升升”，很快售完；该商店第二次购进吉祥物“巳升升”时，进价提高了20%，同样用3 000元购进的数量比第一次少了10件。
(1)求第一次购进的吉祥物“巳升升”每件的进价；
(2)若两次购进的吉祥物“巳升升”每件售价均为80元，且全部售完，求两次的利润总和。

24.解:(1)设第一次购进的吉祥物“巳升升”每件的进价为x元,则第二次购进的吉祥物“巳升升”每件的进价为1.2x元。依题意,得$\frac{3000}{x}-\frac{3000}{1.2x}=10$,解得x=50。经检验,x=50是所列方程的根,且符合题意。答:第一次购进的吉祥物“巳升升”每件的进价为50元。 (2)由题意,得第二次购进的吉祥物“巳升升”每件的进价为1.2×50=60(元),所以$\frac{3000}{50}×(80-50)+\frac{3000}{60}×(80-60)=2800$(元)。答:两次的利润总和为2800元。

【分析】
本题是分式方程的实际应用问题，解题思路如下：
1. 第(1)问：设第一次每件进价为未知数，根据第二次进价提高20%表示出第二次进价，利用“同样3000元购进的数量差为10件”的等量关系列分式方程，求解后需检验解的合理性；
2. 第(2)问：先算出第二次的进价，再分别求出两次购进的数量，结合售价计算每次利润，最后求和得到总利润。
【解析】
(1) 设第一次购进的吉祥物“巳升升”每件的进价为$x$元，则第二次购进的每件进价为$1.2x$元。
根据题意，数量差为10件，可列方程：
$\frac{3000}{x} - \frac{3000}{1.2x} = 10$
解方程：
两边同乘$1.2x$得：$3600 - 3000 = 12x$
化简得：$600 = 12x$，解得$x=50$
经检验，$x=50$是原方程的根，且符合实际意义。
答：第一次购进的吉祥物“巳升升”每件的进价为50元。
(2) 第二次购进的每件进价为：$1.2×50=60$（元）
第一次购进数量：$\frac{3000}{50}=60$（件），第一次利润：$60×(80-50)=1800$（元）
第二次购进数量：$\frac{3000}{60}=50$（件），第二次利润：$50×(80-60)=1000$（元）
两次利润总和：$1800+1000=2800$（元）
答：两次的利润总和为2800元。
【答案】
(1) 50元；(2) 2800元
【知识点】
分式方程应用、利润计算
【点评】
本题是初中数学分式方程的典型应用题，关键在于找准数量间的等量关系，列分式方程后需检验解的合理性；利润计算需牢记“利润=单件利润×数量”的公式，整体难度适中，是常考题型。
【难度系数】
0.6