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25. (6分)规定一种新的运算“$\Delta(a^x)$”，其中$a≠0,x$为正整数。
其运算规则如下:①$\Delta(a^x)=xa^{x-1}$；②$b\Delta(a^x)=bxa^{x-1}$(其中$b$为常数)。
(1)计算:$\Delta(a^3)=$，$\frac{1}{2}\Delta(a)=$；
(2)已知$p\Delta(a^3)+q\Delta(a^2)=2a-6a^2$，求$p,q$的值；
(3)已知$p\Delta(a^3)+q\Delta(a^2)+\frac{1}{m}\Delta(a)=(q-1)a^2+(2p+6)a-\frac{1}{n}+1$(其中$m,n$均不为0)，化简并计算:$\frac{4pm-2mn+qn}{(m-1)(n-1)mn}$。
其运算规则如下:①$\Delta(a^x)=xa^{x-1}$；②$b\Delta(a^x)=bxa^{x-1}$(其中$b$为常数)。
(1)计算:$\Delta(a^3)=$，$\frac{1}{2}\Delta(a)=$；
(2)已知$p\Delta(a^3)+q\Delta(a^2)=2a-6a^2$，求$p,q$的值；
(3)已知$p\Delta(a^3)+q\Delta(a^2)+\frac{1}{m}\Delta(a)=(q-1)a^2+(2p+6)a-\frac{1}{n}+1$(其中$m,n$均不为0)，化简并计算:$\frac{4pm-2mn+qn}{(m-1)(n-1)mn}$。
答案
25.(1)$3a^2$ $\frac{1}{2}$ (2)解:由题意,得$pΔ(a^3)+qΔ(a^2)=3pa^2+2qa=2a-6a^2$,所以3p=-6,2q=2,解得p=-2,q=1。 (3)解:由题意,得$pΔ(a^3)+qΔ(a^2)+\frac{1}{m}Δ(a)=3pa^2+2qa+\frac{1}{m}=(q-1)a^2+(2p+6)a-\frac{1}{n}+1$,所以3p=q-1,2q=2p+6,$\frac{1}{m}=-\frac{1}{n}+1$,所以q=4,p=1,m+n=mn,所以$\frac{4pm-2mn+qn}{(m-1)(n-1)mn}=\frac{4m-2mn+4n}{[mn-(m+n)+1]mn}=\frac{4(m+n)-2mn}{(mn-mn+1)mn}=\frac{4mn-2mn}{mn}=\frac{2mn}{mn}=2$。
解析
【分析】
本题是新定义运算题型，解题关键在于准确理解新运算的规则：①$\Delta(a^x)=xa^{x-1}$；②$b\Delta(a^x)=bxa^{x-1}$（$b$为常数）。解题时需将每个新运算转化为常规整式形式，再利用同类项系数相等建立方程求解，最后代入化简计算。
【解析】
(1) 根据规则①：$\Delta(a^3)=3a^{3-1}=3a^2$；根据规则②：$\frac{1}{2}\Delta(a)=\frac{1}{2}×1×a^{1-1}=\frac{1}{2}×1×1=\frac{1}{2}$。
(2) 先转化左边：$p\Delta(a^3)=p×3a^{3-1}=3pa^2$，$q\Delta(a^2)=q×2a^{2-1}=2qa$，故左边为$3pa^2+2qa$。由$3pa^2+2qa=2a-6a^2$，对应同类项系数相等得：$3p=-6$，$2q=2$，解得$p=-2$，$q=1$。
(3) 先转化左边：$p\Delta(a^3)=3pa^2$，$q\Delta(a^2)=2qa$，$\frac{1}{m}\Delta(a)=\frac{1}{m}×1×a^{1-1}=\frac{1}{m}$，故左边为$3pa^2+2qa+\frac{1}{m}$。由$3pa^2+2qa+\frac{1}{m}=(q-1)a^2+(2p+6)a-\frac{1}{n}+1$，对应同类项系数相等得方程组：
$\begin{cases}3p=q-1 \\2q=2p+6 \\\frac{1}{m}=-\frac{1}{n}+1 \end{cases}$
解方程组：由第二个方程得$q=p+3$，代入第一个方程得$3p=(p+3)-1$，解得$p=1$，则$q=4$；由第三个方程得$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=1$，即$m+n=mn$。
将$p=1$，$q=4$，$m+n=mn$代入待求式：
$\frac{4pm-2mn+qn}{(m-1)(n-1)mn}=\frac{4×1×m -2mn +4×n}{(mn -m -n +1)mn}=\frac{4(m+n)-2mn}{(mn - (m+n)+1)mn}$
把$m+n=mn$代入得：$\frac{4mn -2mn}{(mn - mn +1)mn}=\frac{2mn}{mn}=2$。
【答案】
(1)$3a^2$，$\frac{1}{2}$；(2)$p=-2$，$q=1$；(3)$2$
【知识点】
新定义运算、整式的加减、同类项的性质
【点评】
本题考查新定义运算的应用，核心是将陌生的新运算转化为熟悉的整式运算，通过同类项系数相等建立方程求解，最后代入化简，重点考查学生的阅读理解能力和代数运算能力，属于中等难度题型。
【难度系数】
0.5
本题是新定义运算题型，解题关键在于准确理解新运算的规则：①$\Delta(a^x)=xa^{x-1}$；②$b\Delta(a^x)=bxa^{x-1}$（$b$为常数）。解题时需将每个新运算转化为常规整式形式，再利用同类项系数相等建立方程求解，最后代入化简计算。
【解析】
(1) 根据规则①：$\Delta(a^3)=3a^{3-1}=3a^2$；根据规则②：$\frac{1}{2}\Delta(a)=\frac{1}{2}×1×a^{1-1}=\frac{1}{2}×1×1=\frac{1}{2}$。
(2) 先转化左边：$p\Delta(a^3)=p×3a^{3-1}=3pa^2$，$q\Delta(a^2)=q×2a^{2-1}=2qa$，故左边为$3pa^2+2qa$。由$3pa^2+2qa=2a-6a^2$，对应同类项系数相等得：$3p=-6$，$2q=2$，解得$p=-2$，$q=1$。
(3) 先转化左边：$p\Delta(a^3)=3pa^2$，$q\Delta(a^2)=2qa$，$\frac{1}{m}\Delta(a)=\frac{1}{m}×1×a^{1-1}=\frac{1}{m}$，故左边为$3pa^2+2qa+\frac{1}{m}$。由$3pa^2+2qa+\frac{1}{m}=(q-1)a^2+(2p+6)a-\frac{1}{n}+1$，对应同类项系数相等得方程组：
$\begin{cases}3p=q-1 \\2q=2p+6 \\\frac{1}{m}=-\frac{1}{n}+1 \end{cases}$
解方程组：由第二个方程得$q=p+3$，代入第一个方程得$3p=(p+3)-1$，解得$p=1$，则$q=4$；由第三个方程得$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=1$，即$m+n=mn$。
将$p=1$，$q=4$，$m+n=mn$代入待求式：
$\frac{4pm-2mn+qn}{(m-1)(n-1)mn}=\frac{4×1×m -2mn +4×n}{(mn -m -n +1)mn}=\frac{4(m+n)-2mn}{(mn - (m+n)+1)mn}$
把$m+n=mn$代入得：$\frac{4mn -2mn}{(mn - mn +1)mn}=\frac{2mn}{mn}=2$。
【答案】
(1)$3a^2$，$\frac{1}{2}$；(2)$p=-2$，$q=1$；(3)$2$
【知识点】
新定义运算、整式的加减、同类项的性质
【点评】
本题考查新定义运算的应用，核心是将陌生的新运算转化为熟悉的整式运算，通过同类项系数相等建立方程求解，最后代入化简，重点考查学生的阅读理解能力和代数运算能力，属于中等难度题型。
【难度系数】
0.5
