26.(8分)如图,某一动直线AB分别截两平行直线a,b于点A,B,点C为直线b上(位于点B右侧)一点,满足∠BAC=30°,∠BCA的平分线CD交直线a于点D。在直线a上,点D左侧任取一点E,点A右侧任取一点F;在直线b上,点B左侧任取一点G,点C右侧任取一点H。CD右边取点I满足CI⊥CD,∠CDI=45°,DI交直线AB于点J,∠JAD的平分线交DI于点K。设∠ABC=α(0°＜α＜180°且α≠60°)。
(1)若α=30°,求∠CAF−∠KAD的度数,写出过程;若α=90°,直接写出∠CAF−∠KAD的度数;
(2)若∠CAF−∠KAD=0°,求α的度数;
(3)若|∠CAK−110°|=60°,求α的度数。

26.解:(1)因为a//b,所以∠BAD=∠ABC=α,又因为∠BAC=30°,所以∠DAC=∠BAD+∠BAC=α+30°,所以∠CAF=180°-∠DAC=150°-α。因为AK平分∠JAD,所以∠KAJ=∠KAD=$\frac{1}{2}$∠JAD=$\frac{1}{2}$α。所以∠CAF-∠KAD=150°-$\frac{3}{2}$α。所以当α=30°时,∠CAF-∠KAD=150°-$\frac{3}{2}$×30°=105°。当α=90°时,∠CAF-∠KAD=15°。 解析:当α=90°时,。因为a//b,所以∠BAD=∠ABC=α,又因为∠BAC=30°,所以∠DAC=∠BAD+∠BAC=α+30°,所以∠CAF=180°-∠DAC=150°-α。因为∠JAD=180°-∠BAD=180°-α,AK平分∠JAD,所以∠KAD=$\frac{1}{2}$∠JAD=90°-$\frac{1}{2}$α。所以∠CAF-∠KAD=60°-$\frac{1}{2}$α。所以当α=90°时,∠CAF-∠KAD=15°。 (2)当0°＜α＜60°时,如题图,此时∠CAF-∠KAD=150°-$\frac{3}{2}$α=0°,解得α=100°(不符合题意,舍去);当60°＜α＜180°时,,此时∠CAF-∠KAD=60°-$\frac{1}{2}$α=0°,解得α=120°。综上,α的度数为120°。 (3)当0°＜α＜60°时,如题图。因为∠CAK=∠BAC+∠KAJ=30°+$\frac{1}{2}$α＜60°,所以|∠CAK-110°|=110°-∠CAK=60°,所以110°-($30°+\frac{1}{2}$α)=60°,解得α=40°;当60°＜α≤120°时,。由(1)可知∠DAC=α+30°,∠KAJ=∠KAD=$\frac{1}{2}$∠JAD=90°-$\frac{1}{2}$α,所以∠CAK=∠DAC+∠KAD=120°+$\frac{1}{2}$α,所以|∠CAK-110°|=∠CAK-110°=60°,即120°+$\frac{1}{2}$α-110°=60°,解得α=100°;当120°＜α＜180°时,。由(1)可知∠DAC=α+30°,∠KAJ=∠KAD=$\frac{1}{2}$∠JAD=90°-$\frac{1}{2}$α,所以∠CAK=360°-(∠DAC+∠KAD)=240°-$\frac{1}{2}$α,又因为|∠CAK-110°|=60°,所以240°-$\frac{1}{2}$α-110°=60°,解得α=140°。综上,α的度数为40°或100°或140°。 思路点拨:本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义、解绝对值方程,解答的基本思路是熟练掌握以上知识点,并根据题意作出对应图形,利用数形结合及分类讨论的思想方法求解。

【分析】
本题是几何角度综合题，核心利用平行线的性质、角平分线的定义，结合分类讨论思想求解。解题思路：①由平行线a//b得内错角相等，推导∠BAD=∠ABC=α，结合∠BAC=30°得到各角的基础表达式；②根据角平分线AK的性质，按α的不同范围（0°＜α＜60°、60°＜α＜180°等）确定∠CAF、∠KAD、∠CAK的表达式；③针对每个小问的条件列方程，舍去不符合范围的解，得到最终结果。
【解析】
(1) 因为a//b，所以∠BAD=∠ABC=α。
当0°＜α＜60°时，∠DAC=∠BAD+∠BAC=α+30°，则∠CAF=180°-∠DAC=150°-α；AK平分∠JAD，∠JAD=∠BAD=α，故∠KAD=1/2∠JAD=1/2α，因此∠CAF-∠KAD=150°-α -1/2α=150°-3/2α。
当α=30°时，代入得150°-3/2×30°=105°；
当α=90°时，属于60°＜α＜180°，此时∠JAD=180°-∠BAD=180°-α，∠KAD=1/2∠JAD=90°-1/2α，∠CAF=150°-α，故∠CAF-∠KAD=150°-α -(90°-1/2α)=60°-1/2α，代入α=90°得60°-1/2×90°=15°。
(2) 分情况讨论：
①0°＜α＜60°时，令150°-3/2α=0，解得α=100°，不符合0°＜α＜60°，舍去；
②60°＜α＜180°时，令60°-1/2α=0，解得α=120°，符合范围。
故α=120°。
(3) 分情况讨论：
①0°＜α＜60°时，∠CAK=∠BAC+∠KAJ=30°+1/2α，由|∠CAK-110°|=60°，得110°-(30°+1/2α)=60°，解得α=40°，符合；
②60°＜α≤120°时，∠CAK=∠DAC+∠KAD=(α+30°)+(90°-1/2α)=120°+1/2α，由|∠CAK-110°|=60°，得(120°+1/2α)-110°=60°，解得α=100°，符合；
③120°＜α＜180°时，∠CAK=360°-(∠DAC+∠KAD)=360°-(α+30°+90°-1/2α)=240°-1/2α，由|∠CAK-110°|=60°，得(240°-1/2α)-110°=60°，解得α=140°，符合。
故α=40°或100°或140°。
【答案】
(1) 当α=30°时，∠CAF−∠KAD=105°；当α=90°时，∠CAF−∠KAD=15°；
(2) α=120°；
(3) α=40°或100°或140°。
【知识点】
平行线性质、角平分线定义、绝对值方程
【点评】
本题综合考查平行线性质、角平分线定义及分类讨论思想，需根据α的不同范围推导角度表达式，是几何与代数结合的典型题，对学生的逻辑分析能力要求较高，解题时需注意舍去不符合范围的解。
【难度系数】
0.4