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20. (4分)解下列方程(组):
(1)$\begin{cases}2x - y = 3, \\x + y = 6;\end{cases}$
(2)$\dfrac{2}{1 - x} + 1 = \dfrac{x}{1 + x}$。
(1)$\begin{cases}2x - y = 3, \\x + y = 6;\end{cases}$
(2)$\dfrac{2}{1 - x} + 1 = \dfrac{x}{1 + x}$。
答案
20.解:(1)$\begin{cases} 2x-y=3,① \\ x+y=6,② \end{cases}$ ①+②,得3x=9,解得x=3。将x=3代入②,得3+y=6,解得y=3。所以原方程组的解为$\begin{cases} x=3, \\ y=3。 \end{cases}$ (2)去分母,得2(1+x)+1-x²=x(1-x),去括号,得2+2x+1-x²=x-x²,移项,合并同类项,得x=-3。经检验,x=-3是原分式方程的根。
解析
【分析】解二元一次方程组时，观察到两个方程中y的系数互为相反数，采用加减消元法消去y，先求x的值，再代入方程求y的值；解分式方程时，先去分母转化为整式方程求解，最后必须检验所得解是否为原方程的根，排除增根。
【解析】(1) 对于方程组$\begin{cases}2x - y = 3,① \\x + y = 6,②\end{cases}$，①+②得：$3x = 9$，解得$x = 3$。将$x = 3$代入②，得$3 + y = 6$，解得$y = 3$。所以原方程组的解为$\begin{cases}x = 3 \\y = 3\end{cases}$。(2) 对于分式方程$\dfrac{2}{1 - x} + 1 = \dfrac{x}{1 + x}$，去分母得：$2(1 + x) + (1 - x^2) = x(1 - x)$，去括号得：$2 + 2x + 1 - x^2 = x - x^2$，移项、合并同类项得：$x = -3$。经检验，$x = -3$是原分式方程的根。
【答案】(1) $\begin{cases}x = 3 \\y = 3\end{cases}$；(2) $x = -3$
【知识点】二元一次方程组的解法，分式方程的解法
【点评】本题考查初中数学基础的解方程（组）知识，涵盖加减消元法解二元一次方程组、分式方程的解法及验根要求，需注意分式方程必须验根，避免增根错误，属于常规基础题。
【难度系数】0.7
【解析】(1) 对于方程组$\begin{cases}2x - y = 3,① \\x + y = 6,②\end{cases}$，①+②得：$3x = 9$，解得$x = 3$。将$x = 3$代入②，得$3 + y = 6$，解得$y = 3$。所以原方程组的解为$\begin{cases}x = 3 \\y = 3\end{cases}$。(2) 对于分式方程$\dfrac{2}{1 - x} + 1 = \dfrac{x}{1 + x}$，去分母得：$2(1 + x) + (1 - x^2) = x(1 - x)$，去括号得：$2 + 2x + 1 - x^2 = x - x^2$，移项、合并同类项得：$x = -3$。经检验，$x = -3$是原分式方程的根。
【答案】(1) $\begin{cases}x = 3 \\y = 3\end{cases}$；(2) $x = -3$
【知识点】二元一次方程组的解法，分式方程的解法
【点评】本题考查初中数学基础的解方程（组）知识，涵盖加减消元法解二元一次方程组、分式方程的解法及验根要求，需注意分式方程必须验根，避免增根错误，属于常规基础题。
【难度系数】0.7
21.(6分)先化简,再求值:$(\dfrac{2x-3}{x-2}-1)÷\dfrac{x^2-2x+1}{x-2}$,然后再从1,2,3中选一个合适的数作为$x$的值,求式子的值。
答案
21.解:原式=$\frac{2x-3-(x-2)}{x-2}÷\frac{(x-1)^2}{x-2}=\frac{x-1}{x-2}·\frac{x-2}{(x-1)^2}=\frac{1}{x-1}$,因为x-2≠0,x-1≠0,所以x≠2且x≠1,所以x可取3,此时原式=$\frac{1}{3-1}=\frac{1}{2}$。
解析
【分析】
本题是分式的化简求值题，解题思路如下：第一步，先计算括号内的分式减法，将1转化为分母为$x-2$的分式，通分后合并分子；第二步，把除法运算转化为乘法运算，对除式的分子（完全平方式）进行因式分解；第三步，通过约分得到最简分式；第四步，根据分式有意义的条件（分母不为0），确定$x$的取值范围，从给定的1、2、3中选出合适的$x$值；最后将$x$代入最简式计算结果。
【解析】
解：原式 = $\dfrac{2x - 3 - (x - 2)}{x - 2} ÷ \dfrac{(x - 1)^2}{x - 2}$
= $\dfrac{2x - 3 - x + 2}{x - 2} × \dfrac{x - 2}{(x - 1)^2}$
= $\dfrac{x - 1}{x - 2} × \dfrac{x - 2}{(x - 1)^2}$
= $\dfrac{1}{x - 1}$
要使原式有意义，需满足：$x - 2 ≠ 0$且$x - 1 ≠ 0$，即$x ≠ 2$且$x ≠ 1$，因此只能选取$x = 3$。
当$x = 3$时，原式 = $\dfrac{1}{3 - 1} = \dfrac{1}{2}$。
【答案】
$\dfrac{1}{2}$
【知识点】
分式化简求值，分式有意义的条件，完全平方公式
【点评】
本题考查分式的化简求值，核心是掌握分式的通分、约分及因式分解，易错点是忽略分式有意义的条件，误选$x=1$或$x=2$，属于基础运算题，难度适中。
【难度系数】
0.6
本题是分式的化简求值题，解题思路如下：第一步，先计算括号内的分式减法，将1转化为分母为$x-2$的分式，通分后合并分子；第二步，把除法运算转化为乘法运算，对除式的分子（完全平方式）进行因式分解；第三步，通过约分得到最简分式；第四步，根据分式有意义的条件（分母不为0），确定$x$的取值范围，从给定的1、2、3中选出合适的$x$值；最后将$x$代入最简式计算结果。
【解析】
解：原式 = $\dfrac{2x - 3 - (x - 2)}{x - 2} ÷ \dfrac{(x - 1)^2}{x - 2}$
= $\dfrac{2x - 3 - x + 2}{x - 2} × \dfrac{x - 2}{(x - 1)^2}$
= $\dfrac{x - 1}{x - 2} × \dfrac{x - 2}{(x - 1)^2}$
= $\dfrac{1}{x - 1}$
要使原式有意义，需满足：$x - 2 ≠ 0$且$x - 1 ≠ 0$，即$x ≠ 2$且$x ≠ 1$，因此只能选取$x = 3$。
当$x = 3$时，原式 = $\dfrac{1}{3 - 1} = \dfrac{1}{2}$。
【答案】
$\dfrac{1}{2}$
【知识点】
分式化简求值，分式有意义的条件，完全平方公式
【点评】
本题考查分式的化简求值，核心是掌握分式的通分、约分及因式分解，易错点是忽略分式有意义的条件，误选$x=1$或$x=2$，属于基础运算题，难度适中。
【难度系数】
0.6
22. (6分)某校为七年级学生提供了“科学实验”“趣味棋艺”“喵历史”“时光合唱”四种课后服务项目，为了解学生最喜欢哪个项目，随机抽取了该校七年级部分学生进行调查，根据调查结果，绘制了如下两幅尚不完整的条形统计图和扇形统计图。请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：
(1)本次被抽查的学生有多少人？
(2)请补全条形统计图，“喵历史”项目所对应的扇形圆心角的度数为多少度？
(3)若该校七年级学生有600人，根据抽查结果，试估计全校七年级喜欢“趣味棋艺”项目的学生有多少人？
(1)本次被抽查的学生有多少人？
(2)请补全条形统计图，“喵历史”项目所对应的扇形圆心角的度数为多少度？
(3)若该校七年级学生有600人，根据抽查结果，试估计全校七年级喜欢“趣味棋艺”项目的学生有多少人？
答案
22.解:(1)本次被抽查的学生有16÷32%=50(人)。 (2)七年级学生最喜欢“喵历史”项目的人数为50-16-12-7=15(人),补全条形统计图略。所以“喵历史”项目所对应的扇形圆心角的度数为$\frac{15}{50}×360°=108°$。 (3)估计全校七年级喜欢“趣味棋艺”项目的学生有$\frac{12}{50}×600=144$(人)。
解析
【分析】
要解决这三个问题，需结合条形统计图和扇形统计图的关联信息：
1. 求被抽查的学生总数：已知“科学实验”项目的人数及其在扇形图中的占比，用“部分量÷对应百分比”计算总人数；
2. 求“喵历史”的人数和对应圆心角：用总人数减去其他三个项目的人数得到“喵历史”的人数，再用“（喵历史人数÷总人数）×360°”计算扇形圆心角；
3. 估计全校喜欢“趣味棋艺”的人数：先算出样本中“趣味棋艺”的占比，再乘以全校七年级总人数即可。
【解析】
(1) 由条形统计图可知“科学实验”项目有16人，扇形统计图中其占比为32%，因此被抽查的学生总数为：$16÷32\% = 50$（人）；
(2) “喵历史”项目的人数为：$50 - 16 - 12 - 7 = 15$（人）；
“喵历史”项目对应扇形圆心角的度数为：$\frac{15}{50}×360° = 108°$；
(3) 样本中“趣味棋艺”项目的占比为$\frac{12}{50}$，估计全校七年级喜欢该项目的学生人数为：$\frac{12}{50}×600 = 144$（人）。
【答案】
(1) 50人；(2) 补全条形统计图（“喵历史”对应人数为15），“喵历史”对应扇形圆心角为108°；(3) 144人。
【知识点】
条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体
【点评】
本题考查两种统计图的综合应用，核心是利用统计图的关联获取数据，解题步骤清晰，属于统计基础题型，侧重考查数据处理能力。
【难度系数】
0.6
要解决这三个问题，需结合条形统计图和扇形统计图的关联信息：
1. 求被抽查的学生总数：已知“科学实验”项目的人数及其在扇形图中的占比，用“部分量÷对应百分比”计算总人数；
2. 求“喵历史”的人数和对应圆心角：用总人数减去其他三个项目的人数得到“喵历史”的人数，再用“（喵历史人数÷总人数）×360°”计算扇形圆心角；
3. 估计全校喜欢“趣味棋艺”的人数：先算出样本中“趣味棋艺”的占比，再乘以全校七年级总人数即可。
【解析】
(1) 由条形统计图可知“科学实验”项目有16人，扇形统计图中其占比为32%，因此被抽查的学生总数为：$16÷32\% = 50$（人）；
(2) “喵历史”项目的人数为：$50 - 16 - 12 - 7 = 15$（人）；
“喵历史”项目对应扇形圆心角的度数为：$\frac{15}{50}×360° = 108°$；
(3) 样本中“趣味棋艺”项目的占比为$\frac{12}{50}$，估计全校七年级喜欢该项目的学生人数为：$\frac{12}{50}×600 = 144$（人）。
【答案】
(1) 50人；(2) 补全条形统计图（“喵历史”对应人数为15），“喵历史”对应扇形圆心角为108°；(3) 144人。
【知识点】
条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体
【点评】
本题考查两种统计图的综合应用，核心是利用统计图的关联获取数据，解题步骤清晰，属于统计基础题型，侧重考查数据处理能力。
【难度系数】
0.6
