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20.(6分)质量检测部门对甲、乙两公司销售的某电子产品的使用寿命(单位:年)进行跟踪调查,统计结果如下。
甲公司:6,6,8,8,8,9,10,12,14,15;
乙公司:4,4,4,6,7,9,13,15,16,16。
根据上述两家公司产品使用寿命数据,可以得到下列统计量:
单位:年
(1)请你求出乙公司产品使用寿命的平均数和中位数。
(2)甲、乙两家公司在产品的销售广告中都声称其销售的产品的使用寿命是8年,问:这两家公司分别选用了哪一种统计量作为该电子产品的使用寿命?
(3)如果你是顾客,你将选购哪家公司销售的产品?为什么?
甲公司:6,6,8,8,8,9,10,12,14,15;
乙公司:4,4,4,6,7,9,13,15,16,16。
根据上述两家公司产品使用寿命数据,可以得到下列统计量:
单位:年
(1)请你求出乙公司产品使用寿命的平均数和中位数。
(2)甲、乙两家公司在产品的销售广告中都声称其销售的产品的使用寿命是8年,问:这两家公司分别选用了哪一种统计量作为该电子产品的使用寿命?
(3)如果你是顾客,你将选购哪家公司销售的产品?为什么?
答案
20.(1)平均数为$\frac{4×3+6+7+9+13+15+16×2}{10}$=9.4(年),中位数为$\frac{7+9}{2}$=8(年)。答:乙公司产品使用寿命的平均数为9.4年,中位数为8年。
(2)甲公司选用了众数,乙公司选用了中位数。
(3)选择甲公司销售的产品。因为甲公司产品的平均使用寿命大于乙公司产品的平均使用寿命。(答案不唯一,只要说出理由即可)
(2)甲公司选用了众数,乙公司选用了中位数。
(3)选择甲公司销售的产品。因为甲公司产品的平均使用寿命大于乙公司产品的平均使用寿命。(答案不唯一,只要说出理由即可)
解析
【分析】
本题需分三步解答：第一步，求乙公司产品的平均数时，需将所有使用寿命数据求和后除以数据个数；求中位数时，因数据个数为偶数，需取排序后中间两个数的平均值。第二步，对比甲、乙公司的统计量，找到与广告中“8年”对应的统计量。第三步，作为顾客应参考反映整体水平的统计量（如平均数），比较两公司平均数后做出选购选择。
【解析】
（1）计算乙公司产品使用寿命的平均数：
乙公司数据总和为 $4×3 + 6 + 7 + 9 + 13 + 15 + 16×2 = 94$，数据个数为10，故平均数为 $94÷10 = 9.4$（年）。
将乙公司数据从小到大排序：4,4,4,6,7,9,13,15,16,16，共10个数据，中位数为第5个和第6个数据的平均值，即 $\frac{7+9}{2} = 8$（年）。
（2）甲公司的众数为8，广告中声称产品使用寿命为8年，因此甲公司选用了众数作为统计量；
乙公司的中位数为8，广告中声称产品使用寿命为8年，因此乙公司选用了中位数作为统计量。
（3）选择甲公司销售的产品。理由：甲公司产品的平均使用寿命为9.6年，乙公司为9.4年，甲公司产品的平均使用寿命更长，整体质量更优。
【答案】
（1）乙公司产品使用寿命的平均数为9.4年，中位数为8年；
（2）甲公司选用了众数，乙公司选用了中位数；
（3）选择甲公司销售的产品，因为甲公司产品的平均使用寿命大于乙公司产品的平均使用寿命。
【知识点】
平均数、众数、中位数
【点评】
本题考查统计量的计算与实际应用，需掌握平均数、众数、中位数的计算方法，能结合实际场景分析不同统计量的意义，属于基础统计应用题。
【难度系数】
0.6
本题需分三步解答：第一步，求乙公司产品的平均数时，需将所有使用寿命数据求和后除以数据个数；求中位数时，因数据个数为偶数，需取排序后中间两个数的平均值。第二步，对比甲、乙公司的统计量，找到与广告中“8年”对应的统计量。第三步，作为顾客应参考反映整体水平的统计量（如平均数），比较两公司平均数后做出选购选择。
【解析】
（1）计算乙公司产品使用寿命的平均数：
乙公司数据总和为 $4×3 + 6 + 7 + 9 + 13 + 15 + 16×2 = 94$，数据个数为10，故平均数为 $94÷10 = 9.4$（年）。
将乙公司数据从小到大排序：4,4,4,6,7,9,13,15,16,16，共10个数据，中位数为第5个和第6个数据的平均值，即 $\frac{7+9}{2} = 8$（年）。
（2）甲公司的众数为8，广告中声称产品使用寿命为8年，因此甲公司选用了众数作为统计量；
乙公司的中位数为8，广告中声称产品使用寿命为8年，因此乙公司选用了中位数作为统计量。
（3）选择甲公司销售的产品。理由：甲公司产品的平均使用寿命为9.6年，乙公司为9.4年，甲公司产品的平均使用寿命更长，整体质量更优。
【答案】
（1）乙公司产品使用寿命的平均数为9.4年，中位数为8年；
（2）甲公司选用了众数，乙公司选用了中位数；
（3）选择甲公司销售的产品，因为甲公司产品的平均使用寿命大于乙公司产品的平均使用寿命。
【知识点】
平均数、众数、中位数
【点评】
本题考查统计量的计算与实际应用，需掌握平均数、众数、中位数的计算方法，能结合实际场景分析不同统计量的意义，属于基础统计应用题。
【难度系数】
0.6
21.(6分)如图,正方形纸片ABCD的边长为4。
(1)请用三角板根据以下要求画图:
①分别取AB,AD,CD的中点E,F,G,连结EF,FG;
②用第①题所画的3块图形剪拼出一个等腰三角形(无缝隙无重叠),并画出其示意图。
(2)求第(1)题所拼成的等腰三角形的周长。
(1)请用三角板根据以下要求画图:
①分别取AB,AD,CD的中点E,F,G,连结EF,FG;
②用第①题所画的3块图形剪拼出一个等腰三角形(无缝隙无重叠),并画出其示意图。
(2)求第(1)题所拼成的等腰三角形的周长。
答案
21.(1)①图形如图所示;②如图,△FPQ即为所求作。
(2)因为正方形纸片ABCD的边长为4,E,F分别为AB,AD的中点,所以BC=4,AE=AF=2,因为∠A=90°,所以EF=$2\sqrt{2}$,因为△BEP由△AEF剪拼所得,所以PE=EF=$2\sqrt{2}$,PB=AF=2,PF=PE+EF=$4\sqrt{2}$。同理可得FQ=$4\sqrt{2}$,CQ=2。所以等腰三角形的周长为PF+QF+PQ=$4\sqrt{2}+4\sqrt{2}+8=8\sqrt{2}+8$。
解析
【分析】
要解决本题，首先根据正方形的性质确定AB、AD、CD的中点E、F、G，连接EF、FG；剪拼等腰三角形时，利用中点形成的线段，将△AEF和△DGF分别旋转补到正方形外侧，得到等腰三角形△FPQ；计算周长时，需先通过勾股定理求出EF的长度，再结合剪拼后线段的等量关系，求出等腰三角形各边长度，最后求和得到周长。
【解析】
(1) ① 画图：在正方形ABCD中，分别取AB中点E、AD中点F、CD中点G，连接EF、FG，完成画图；
② 剪拼：将△AEF绕点E旋转，使AE与BE重合，得到△BEP；将△DGF绕点G旋转，使DG与CG重合，得到△CGQ，此时△FPQ即为无缝隙无重叠的等腰三角形，示意图如题目要求；
(2) 计算周长：
已知正方形ABCD边长为4，E、F分别为AB、AD中点，故AE=AF=2，∠A=90°，由勾股定理得：
EF = √(AE² + AF²) = √(2² + 2²) = 2√2；
由剪拼性质，PE=EF=2√2，PB=AF=2，因此PF=PE + EF = 2√2 + 2√2 = 4√2；
同理可得FQ=4√2，CQ=2，故PQ=PB + BC + CQ = 2 + 4 + 2 = 8；
等腰三角形周长为PF + FQ + PQ = 4√2 + 4√2 + 8 = 8√2 + 8。
【答案】
(1) ①图形按要求画出；②△FPQ为所求等腰三角形；；(2) 8√2 + 8
【知识点】
正方形性质、勾股定理、等腰三角形性质
【点评】
本题结合正方形中点的剪拼问题，考查图形变换与周长计算，核心是利用剪拼前后线段的等量关系，难度适中，需掌握勾股定理的应用。
【难度系数】
0.5
要解决本题，首先根据正方形的性质确定AB、AD、CD的中点E、F、G，连接EF、FG；剪拼等腰三角形时，利用中点形成的线段，将△AEF和△DGF分别旋转补到正方形外侧，得到等腰三角形△FPQ；计算周长时，需先通过勾股定理求出EF的长度，再结合剪拼后线段的等量关系，求出等腰三角形各边长度，最后求和得到周长。
【解析】
(1) ① 画图：在正方形ABCD中，分别取AB中点E、AD中点F、CD中点G，连接EF、FG，完成画图；
② 剪拼：将△AEF绕点E旋转，使AE与BE重合，得到△BEP；将△DGF绕点G旋转，使DG与CG重合，得到△CGQ，此时△FPQ即为无缝隙无重叠的等腰三角形，示意图如题目要求；
(2) 计算周长：
已知正方形ABCD边长为4，E、F分别为AB、AD中点，故AE=AF=2，∠A=90°，由勾股定理得：
EF = √(AE² + AF²) = √(2² + 2²) = 2√2；
由剪拼性质，PE=EF=2√2，PB=AF=2，因此PF=PE + EF = 2√2 + 2√2 = 4√2；
同理可得FQ=4√2，CQ=2，故PQ=PB + BC + CQ = 2 + 4 + 2 = 8；
等腰三角形周长为PF + FQ + PQ = 4√2 + 4√2 + 8 = 8√2 + 8。
【答案】
(1) ①图形按要求画出；②△FPQ为所求等腰三角形；
；(2) 8√2 + 8【知识点】
正方形性质、勾股定理、等腰三角形性质
【点评】
本题结合正方形中点的剪拼问题，考查图形变换与周长计算，核心是利用剪拼前后线段的等量关系，难度适中，需掌握勾股定理的应用。
【难度系数】
0.5
