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16.(改编)如图,在矩形ABCD中,AB=1,将△ABC沿对角线AC翻折,得到△AEC,CE交AD于点F,再将△AEF沿AF翻折,得到△AGF,GF交AC于点H,若AC平分∠DAG,则FH的长为$\underline{\hspace{2em}}$。
答案
16.2−√2 解析:如图,连结EH,因为四边形ABCD是矩形,AB=1,所以∠B=∠BAD=∠D=90°,DC=AB=1,由翻折得AG=AE=AB=1,∠G=∠AEF=∠B=90°,∠EAC=∠BAC = 90° − ∠DAC, 所以∠GAF= ∠EAF = ∠EAC − ∠DAC=90°−2∠DAC,所以∠GAC=∠GAF−∠DAC=90°−3∠DAC,因为AC平分∠DAG,所以∠GAC=∠DAC,所以∠DAC=90°−3∠DAC,所以∠DAC=22.5°,所以∠GAF=∠EAF=90°−2∠DAC=90°−2×22.5°=45°,所以∠EAG=2∠EAF=90°,因为∠G=∠EAG=∠AEF=90°,AG=AE=1,所以四边形AEFG是正方形,所以FE=AE=1,因为∠DFC=∠EFA=∠EAF=45°,所以∠DCF=∠DFC=45°,所以DF=DC=1,所以CF=$\sqrt{DF^2+DC^2}$=$\sqrt{1^2+1^2}$=$\sqrt{2}$,所以CE=$\sqrt{2}$+1,因为AE//FH,所以$S_{△ EFH} = S_{△ AFH}$,所以$S_{△ EHC} = S_{△ EFH} + S_{△ CFH} = S_{△ AFH} + S_{△ CFH} = S_{△ AFC}$,所以$\frac{1}{2}CE·FH=\frac{1}{2}CF·AE$,所以$\frac{1}{2}$×($\sqrt{2}$+1)FH=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$×1,所以FH=2−√2。
解析
【分析】
要解决本题，需结合矩形的性质、翻折变换的全等性分析：首先利用矩形内角为90°的性质，结合翻折后对应边、角相等的特点，再根据AC平分∠DAG的条件推导角度，确定相关图形的形状，最后通过面积法建立线段关系求解FH的长度。具体步骤为：1. 利用矩形和翻折性质，建立角的等量关系，求出∠DAC的度数；2. 根据角度推导四边形AEFG为正方形，得到相关线段长度；3. 利用面积法建立关于FH的方程，计算出FH的长度。
【解析】
如图，连结EH。
∵四边形ABCD是矩形，AB=1，
∴∠B=∠BAD=∠D=90°，DC=AB=1，AD//BC，
∴∠BAC + ∠DAC=90°。
由翻折性质：△ABC翻折得△AEC，故AG=AE=AB=1，∠G=∠AEF=∠B=90°，∠EAC=∠BAC；
△AEF翻折得△AGF，故∠GAF=∠EAF。
∵AC平分∠DAG，
∴∠GAC=∠DAC。
又∠EAC=∠BAC=90°−∠DAC，且∠EAC=∠EAF + ∠FAC，∠FAC=∠DAC，∠EAF=∠GAF，
∴∠EAC=∠GAF + ∠DAC，结合∠GAC=∠GAF − ∠DAC=∠DAC，得∠GAF=2∠DAC，
因此∠EAC=2∠DAC + ∠DAC=3∠DAC。
又∠EAC=90°−∠DAC，故3∠DAC=90°−∠DAC，解得∠DAC=22.5°，
∴∠GAF=∠EAF=2×22.5°=45°，则∠EAG=∠EAF + ∠GAF=90°。
在四边形AEFG中，∠E=∠G=∠EAG=90°，AE=AG=1，故四边形AEFG是正方形，FE=AE=1，∠EFA=45°，
∴∠DFC=∠EFA=45°，在Rt△DFC中，∠D=90°，∠DFC=45°，DC=1，得DF=DC=1，由勾股定理得CF=√(1²+1²)=√2。
正方形AEFG中，AF=√(AE²+FE²)=√2，故AD=AF+FD=√2+1，矩形中BC=AD=√2+1，翻折得CE=BC=√2+1。
∵AE//FH，
∴S△EFH=S△AFH，故S△EHC=S△AFC，
由面积公式：$\frac{1}{2}·CE·FH = \frac{1}{2}·CF·AE$，
代入CE=√2+1，CF=√2，AE=1，得$\frac{1}{2}×(\sqrt{2}+1)·FH = \frac{1}{2}×\sqrt{2}×1$，
化简得FH=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1}=2−\sqrt{2}$。
【答案】
2−√2
【知识点】
矩形的性质，翻折变换，正方形的判定
【点评】
本题综合考查矩形、翻折、正方形的性质，需结合角平分线推导角度，确定图形形状，再用面积法求解线段，对逻辑推导能力要求较高，是一道综合性几何题。
【难度系数】
0.4
要解决本题，需结合矩形的性质、翻折变换的全等性分析：首先利用矩形内角为90°的性质，结合翻折后对应边、角相等的特点，再根据AC平分∠DAG的条件推导角度，确定相关图形的形状，最后通过面积法建立线段关系求解FH的长度。具体步骤为：1. 利用矩形和翻折性质，建立角的等量关系，求出∠DAC的度数；2. 根据角度推导四边形AEFG为正方形，得到相关线段长度；3. 利用面积法建立关于FH的方程，计算出FH的长度。
【解析】
如图，连结EH。
∵四边形ABCD是矩形，AB=1，
∴∠B=∠BAD=∠D=90°，DC=AB=1，AD//BC，
∴∠BAC + ∠DAC=90°。
由翻折性质：△ABC翻折得△AEC，故AG=AE=AB=1，∠G=∠AEF=∠B=90°，∠EAC=∠BAC；
△AEF翻折得△AGF，故∠GAF=∠EAF。
∵AC平分∠DAG，
∴∠GAC=∠DAC。
又∠EAC=∠BAC=90°−∠DAC，且∠EAC=∠EAF + ∠FAC，∠FAC=∠DAC，∠EAF=∠GAF，
∴∠EAC=∠GAF + ∠DAC，结合∠GAC=∠GAF − ∠DAC=∠DAC，得∠GAF=2∠DAC，
因此∠EAC=2∠DAC + ∠DAC=3∠DAC。
又∠EAC=90°−∠DAC，故3∠DAC=90°−∠DAC，解得∠DAC=22.5°，
∴∠GAF=∠EAF=2×22.5°=45°，则∠EAG=∠EAF + ∠GAF=90°。
在四边形AEFG中，∠E=∠G=∠EAG=90°，AE=AG=1，故四边形AEFG是正方形，FE=AE=1，∠EFA=45°，
∴∠DFC=∠EFA=45°，在Rt△DFC中，∠D=90°，∠DFC=45°，DC=1，得DF=DC=1，由勾股定理得CF=√(1²+1²)=√2。
正方形AEFG中，AF=√(AE²+FE²)=√2，故AD=AF+FD=√2+1，矩形中BC=AD=√2+1，翻折得CE=BC=√2+1。
∵AE//FH，
∴S△EFH=S△AFH，故S△EHC=S△AFC，
由面积公式：$\frac{1}{2}·CE·FH = \frac{1}{2}·CF·AE$，
代入CE=√2+1，CF=√2，AE=1，得$\frac{1}{2}×(\sqrt{2}+1)·FH = \frac{1}{2}×\sqrt{2}×1$，
化简得FH=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1}=2−\sqrt{2}$。
【答案】
2−√2
【知识点】
矩形的性质，翻折变换，正方形的判定
【点评】
本题综合考查矩形、翻折、正方形的性质，需结合角平分线推导角度，确定图形形状，再用面积法求解线段，对逻辑推导能力要求较高，是一道综合性几何题。
【难度系数】
0.4
三、解答题(共52分)
17.(6分)解方程。
(1)$x^2 - 36 = 0$;
(2)$x(x + 3) - x = 3$。
17.(6分)解方程。
(1)$x^2 - 36 = 0$;
(2)$x(x + 3) - x = 3$。
答案
17.(1)移项,得$x^2=36$,解得$x_1=6$,$x_2=-6$。
(2)移项,得$x(x+3)-x-3=0$,提取公因式,得$(x+3)(x-1)=0$,所以$x+3=0$或$x-1=0$,解得$x_1=1$,$x_2=-3$。
(2)移项,得$x(x+3)-x-3=0$,提取公因式,得$(x+3)(x-1)=0$,所以$x+3=0$或$x-1=0$,解得$x_1=1$,$x_2=-3$。
解析
【分析】
本题为一元二次方程的求解问题，第(1)题可通过移项后利用直接开平方法求解，第(2)题需先移项整理，再提取公因式进行因式分解，转化为两个一元一次方程求解，核心是掌握一元二次方程的基本解法，注意移项和因式分解的准确性。
【解析】
(1) 移项，得 $x^2 = 36$，根据平方根的定义，解得 $x_1 = 6$，$x_2 = -6$；
(2) 移项，得 $x(x + 3) - x - 3 = 0$，提取公因式，得 $(x + 3)(x - 1) = 0$，则 $x + 3 = 0$ 或 $x - 1 = 0$，解得 $x_1 = 1$，$x_2 = -3$。
【答案】
17.(1) $x_1=6$，$x_2=-6$；(2) $x_1=1$，$x_2=-3$
【知识点】
一元二次方程的解法、直接开平方法、因式分解法
【点评】
本题考查一元二次方程的基础解法，分别运用直接开平方法和因式分解法，是一元二次方程解法的核心内容，属于基础题型，需熟练掌握移项、提取公因式等基本操作。
【难度系数】
0.7
本题为一元二次方程的求解问题，第(1)题可通过移项后利用直接开平方法求解，第(2)题需先移项整理，再提取公因式进行因式分解，转化为两个一元一次方程求解，核心是掌握一元二次方程的基本解法，注意移项和因式分解的准确性。
【解析】
(1) 移项，得 $x^2 = 36$，根据平方根的定义，解得 $x_1 = 6$，$x_2 = -6$；
(2) 移项，得 $x(x + 3) - x - 3 = 0$，提取公因式，得 $(x + 3)(x - 1) = 0$，则 $x + 3 = 0$ 或 $x - 1 = 0$，解得 $x_1 = 1$，$x_2 = -3$。
【答案】
17.(1) $x_1=6$，$x_2=-6$；(2) $x_1=1$，$x_2=-3$
【知识点】
一元二次方程的解法、直接开平方法、因式分解法
【点评】
本题考查一元二次方程的基础解法，分别运用直接开平方法和因式分解法，是一元二次方程解法的核心内容，属于基础题型，需熟练掌握移项、提取公因式等基本操作。
【难度系数】
0.7
18.(6分)一个直角三角形的斜边长为$a+4$，一条直角边长为$a$。
(1)用含$a$的代数式表示这个直角三角形另一条直角边的长。
(2)当$a=4$时，这个直角三角形的面积是多少？
(1)用含$a$的代数式表示这个直角三角形另一条直角边的长。
(2)当$a=4$时，这个直角三角形的面积是多少？
答案
18.(1)另一条直角边的长为$\sqrt{(a+4)^2-a^2} = \sqrt{8a+16} = 2\sqrt{2a+4}$。
(2)当$a=4$时,$2\sqrt{2a+4}=4\sqrt{3}$,所以直角三角形的面积是$\frac{1}{2}×4×4\sqrt{3}=8\sqrt{3}$。
(2)当$a=4$时,$2\sqrt{2a+4}=4\sqrt{3}$,所以直角三角形的面积是$\frac{1}{2}×4×4\sqrt{3}=8\sqrt{3}$。
解析
【分析】
本题考查直角三角形的勾股定理应用，解题思路为：(1)利用勾股定理，直角三角形中另一条直角边的长等于斜边平方减去已知直角边平方后开二次根式，再化简该二次根式；(2)将$a=4$代入(1)中化简后的表达式，求出另一条直角边的具体值，再根据直角三角形面积公式计算面积。
【解析】
(1)根据勾股定理，直角三角形另一条直角边的长为：
$\sqrt{(a+4)^2 - a^2}$
展开并化简：
$\sqrt{(a^2 + 8a + 16) - a^2} = \sqrt{8a + 16} = 2\sqrt{2a + 4}$
(2)当$a=4$时，另一条直角边的长为：
$2\sqrt{2×4 + 4} = 2\sqrt{12} = 4\sqrt{3}$
直角三角形的面积为：
$\frac{1}{2}×a×另一条直角边 = \frac{1}{2}×4×4\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$
【答案】
(1)另一条直角边的长为$2\sqrt{2a+4}$；(2)面积是$8\sqrt{3}$
【知识点】
勾股定理、二次根式化简、直角三角形面积计算
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题，结合二次根式化简和面积公式，考查学生对核心定理的掌握与基本运算能力，属于常规基础题。
【难度系数】
0.6
本题考查直角三角形的勾股定理应用，解题思路为：(1)利用勾股定理，直角三角形中另一条直角边的长等于斜边平方减去已知直角边平方后开二次根式，再化简该二次根式；(2)将$a=4$代入(1)中化简后的表达式，求出另一条直角边的具体值，再根据直角三角形面积公式计算面积。
【解析】
(1)根据勾股定理，直角三角形另一条直角边的长为：
$\sqrt{(a+4)^2 - a^2}$
展开并化简：
$\sqrt{(a^2 + 8a + 16) - a^2} = \sqrt{8a + 16} = 2\sqrt{2a + 4}$
(2)当$a=4$时，另一条直角边的长为：
$2\sqrt{2×4 + 4} = 2\sqrt{12} = 4\sqrt{3}$
直角三角形的面积为：
$\frac{1}{2}×a×另一条直角边 = \frac{1}{2}×4×4\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$
【答案】
(1)另一条直角边的长为$2\sqrt{2a+4}$；(2)面积是$8\sqrt{3}$
【知识点】
勾股定理、二次根式化简、直角三角形面积计算
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题，结合二次根式化简和面积公式，考查学生对核心定理的掌握与基本运算能力，属于常规基础题。
【难度系数】
0.6
19.(改编)(6分)如图,在$6×6$的网格中(每个小正方形的边长为1),每个小正方形的顶点叫作格点,当四边形的顶点都在格点上时,则称这个四边形为格点四边形。
(1)在图1中以AB为对角线,画一个格点正方形。
(2)在图2中以A,B,C为顶点,画两个格点平行四边形。
(1)在图1中以AB为对角线,画一个格点正方形。
(2)在图2中以A,B,C为顶点,画两个格点平行四边形。
答案
19.(1)如图1所示,格点正方形AMBN即为所求。[图2左]
(2)如图2所示,格点平行四边形ABDC和AEBC即为所求。[图2右]
(2)如图2所示,格点平行四边形ABDC和AEBC即为所求。[图2右]
解析
【分析】
第(1)问：要以AB为对角线画格点正方形，需利用正方形对角线互相垂直、平分且相等的性质，先确定AB的中点，再作AB的垂线，在垂线上取与中点距离等于AB一半的格点，连接四个顶点即可得到符合要求的格点正方形。
第(2)问：要以A、B、C为顶点画格点平行四边形，需利用平行四边形对边平行且相等的性质，通过平移线段找到第四个格点，构造出两个不同的格点平行四边形。
【解析】
(1) 在图1中，AB为水平线段，长度为4，其中点坐标为(3,3)，AB的垂直方向为竖直方向，在竖直方向上取格点M(3,1)和N(3,5)，连接AM、MB、BN、NA，四边形AMBN即为以AB为对角线的格点正方形。
(2) 在图2中，设A(1,3)、B(5,3)、C(2,4)：
① 以AB、AC为邻边，第四个顶点D的坐标为(6,4)，连接A、B、D、C，四边形ABDC为格点平行四边形；
② 以AB、BC为邻边，第四个顶点E的坐标为(4,2)，连接A、E、B、C，四边形AEBC为格点平行四边形。
【答案】
(1) 图1中格点正方形AMBN即为所求；
(2) 图2中格点平行四边形ABDC和AEBC即为所求。
【知识点】
格点图形、正方形性质、平行四边形性质
【点评】
本题结合网格考查格点正方形与平行四边形的构造，核心是利用正方形和平行四边形的性质，结合网格的坐标特点找到对应格点，需要学生具备一定的几何分析能力，属于中等难度题目。
【难度系数】
0.5
第(1)问：要以AB为对角线画格点正方形，需利用正方形对角线互相垂直、平分且相等的性质，先确定AB的中点，再作AB的垂线，在垂线上取与中点距离等于AB一半的格点，连接四个顶点即可得到符合要求的格点正方形。
第(2)问：要以A、B、C为顶点画格点平行四边形，需利用平行四边形对边平行且相等的性质，通过平移线段找到第四个格点，构造出两个不同的格点平行四边形。
【解析】
(1) 在图1中，AB为水平线段，长度为4，其中点坐标为(3,3)，AB的垂直方向为竖直方向，在竖直方向上取格点M(3,1)和N(3,5)，连接AM、MB、BN、NA，四边形AMBN即为以AB为对角线的格点正方形。
(2) 在图2中，设A(1,3)、B(5,3)、C(2,4)：
① 以AB、AC为邻边，第四个顶点D的坐标为(6,4)，连接A、B、D、C，四边形ABDC为格点平行四边形；
② 以AB、BC为邻边，第四个顶点E的坐标为(4,2)，连接A、E、B、C，四边形AEBC为格点平行四边形。
【答案】
(1) 图1中格点正方形AMBN即为所求；
(2) 图2中格点平行四边形ABDC和AEBC即为所求。
【知识点】
格点图形、正方形性质、平行四边形性质
【点评】
本题结合网格考查格点正方形与平行四边形的构造，核心是利用正方形和平行四边形的性质，结合网格的坐标特点找到对应格点，需要学生具备一定的几何分析能力，属于中等难度题目。
【难度系数】
0.5
