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9.已知$a,b,c$为常数,且满足$(a-c)^2 ＞ a^2 + c^2$,则关于$x$的方程$ax^2 + bx + c = 0$的根的情况是…………………………（
A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.无实数根
D.有一根为0
B
）A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.无实数根
D.有一根为0
答案
9.B
解析
【分析】
要判断方程$ax^2 + bx + c = 0$的根的情况，需先根据已知不等式化简得到$ac$的符号，再利用一元二次方程根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac$的性质分析。首先展开并化简已知不等式，得出$ac$的正负，再结合判别式的特点判断根的情况。
【解析】
1. 化简已知不等式：
对$(a - c)^2＞a^2 + c^2$展开，得$a^2 - 2ac + c^2＞a^2 + c^2$，
两边同时减去$a^2 + c^2$，得$-2ac＞0$，即$ac＜0$。
2. 计算方程的判别式：
对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$，其判别式$\Delta = b^2 - 4ac$。
因为$b^2≥0$，且$ac＜0$，所以$-4ac＞0$，因此$\Delta = b^2 - 4ac＞0$。
3. 判断根的情况：
当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根，故答案为B。
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式、一元二次方程根的判别式
【点评】
本题考查一元二次方程根的判别式的应用，核心是通过已知不等式求出$ac$的符号，进而判断判别式的正负，属于基础题型，需熟练掌握根的判别式与根的情况的对应关系。
【难度系数】
0.6
要判断方程$ax^2 + bx + c = 0$的根的情况，需先根据已知不等式化简得到$ac$的符号，再利用一元二次方程根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac$的性质分析。首先展开并化简已知不等式，得出$ac$的正负，再结合判别式的特点判断根的情况。
【解析】
1. 化简已知不等式：
对$(a - c)^2＞a^2 + c^2$展开，得$a^2 - 2ac + c^2＞a^2 + c^2$，
两边同时减去$a^2 + c^2$，得$-2ac＞0$，即$ac＜0$。
2. 计算方程的判别式：
对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$，其判别式$\Delta = b^2 - 4ac$。
因为$b^2≥0$，且$ac＜0$，所以$-4ac＞0$，因此$\Delta = b^2 - 4ac＞0$。
3. 判断根的情况：
当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根，故答案为B。
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式、一元二次方程根的判别式
【点评】
本题考查一元二次方程根的判别式的应用，核心是通过已知不等式求出$ac$的符号，进而判断判别式的正负，属于基础题型，需熟练掌握根的判别式与根的情况的对应关系。
【难度系数】
0.6
10. 如图,菱形ABCD中,∠ABC=120°,点E在边CD上,点F在菱形ABCD外部,且满足EF//AD,CE=EF。连结AF,CF,取AF的中点G,连结CG,BG,AC,BG与AC交于点H,则下列结论:①△CEF是等边三角形;②AG=CG;③BG垂直平分AC;④2BG=AD+CE。其中正确的结论有………………………………………………………………………(
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
D
)A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
10.D 解析:因为四边形ABCD是菱形,所以∠D=∠ABC=120°,AB//CD,AB=BC,∠ACD=∠ACB,因为EF//AD,所以∠DEF=∠D=120°,所以∠CEF=180°−120°=60°,因为CE=EF,所以△CEF是等边三角形,故①符合题意;因为△CEF是等边三角形,所以∠ECF=60°,CF=CE,因为AB//CD,所以∠ABC+∠BCD=180°,所以∠BCD=60°,所以∠ACD=$\frac{1}{2}$×60°=30°,所以∠ACF=60°+30°=90°,因为G是AF的中点,所以CG=$\frac{1}{2}$AF,所以AG=CG,故②符合题意;因为AB=BC,AG=CG,所以点B和点G在线段AC的垂直平分线上,所以BG垂直平分AC,故③符合题意;易得H是AC的中点,所以GH是△ACF的中位线,所以CF=2GH,因为∠BCH=$\frac{1}{2}$∠BCD=30°,∠BHC=90°,所以BC=2BH,所以BC+CF=2(GH+BH)=2BG,所以2BG=AD+CE,故④符合题意,因此正确的结论有4个,故选D。
解析
【分析】
本题是菱形相关的几何综合题，需分步骤推导各结论：①利用菱形对边平行的性质，结合EF//AD求出∠CEF的度数，结合CE=EF判定△CEF为等边三角形；②通过菱形性质计算∠ACF的度数，结合直角三角形斜边中线定理，由G是AF中点证明AG=CG；③依据垂直平分线的判定（到线段两端距离相等的点在垂直平分线上），由AB=BC、AG=CG得出BG垂直平分AC；④利用中位线性质和直角三角形中30°角的性质，推导得出2BG=AD+CE，最终判断所有结论的正确性。
【解析】
1. 证明结论①：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD//BC，AB//CD，∠ADC=∠ABC=120°。
∵EF//AD，
∴∠DEF=∠ADC=120°，则∠CEF=180°−∠DEF=60°。
又
∵CE=EF，
∴△CEF是等边三角形，故①正确。
2. 证明结论②：
∵△CEF是等边三角形，
∴∠ECF=60°，CF=CE。
菱形ABCD中，∠BCD=180°−∠ABC=60°，AC平分∠BCD，
∴∠ACD=½∠BCD=30°。
∴∠ACF=∠ACD+∠ECF=30°+60°=90°，即△ACF为直角三角形。
∵G是AF的中点，根据直角三角形斜边中线定理，CG=½AF=AG，故AG=CG，②正确。
3. 证明结论③：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC。
由结论②知AG=CG，因此点B和点G到线段AC两端的距离相等，根据垂直平分线的判定，点B、G都在AC的垂直平分线上，故BG垂直平分AC，③正确。
4. 证明结论④：
由BG垂直平分AC，得H是AC中点；又G是AF中点，
∴GH是△ACF的中位线，故CF=2GH。
在Rt△BCH中，∠BCH=30°，根据直角三角形中30°角对边为斜边一半，得BC=2BH，即AD=BC=2BH。
∴AD+CE=BC+CF=2BH + 2GH=2(BH+GH)=2BG，故2BG=AD+CE，④正确。
综上，四个结论均正确，故选D。
【答案】D
【知识点】菱形的性质、等边三角形的判定、垂直平分线的判定
【点评】本题综合考查多个几何核心知识点，需逐步推导角度与线段关系，逻辑连贯性要求高，是典型的几何综合题，能有效考查学生的几何推理能力。
【难度系数】0.4
本题是菱形相关的几何综合题，需分步骤推导各结论：①利用菱形对边平行的性质，结合EF//AD求出∠CEF的度数，结合CE=EF判定△CEF为等边三角形；②通过菱形性质计算∠ACF的度数，结合直角三角形斜边中线定理，由G是AF中点证明AG=CG；③依据垂直平分线的判定（到线段两端距离相等的点在垂直平分线上），由AB=BC、AG=CG得出BG垂直平分AC；④利用中位线性质和直角三角形中30°角的性质，推导得出2BG=AD+CE，最终判断所有结论的正确性。
【解析】
1. 证明结论①：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD//BC，AB//CD，∠ADC=∠ABC=120°。
∵EF//AD，
∴∠DEF=∠ADC=120°，则∠CEF=180°−∠DEF=60°。
又
∵CE=EF，
∴△CEF是等边三角形，故①正确。
2. 证明结论②：
∵△CEF是等边三角形，
∴∠ECF=60°，CF=CE。
菱形ABCD中，∠BCD=180°−∠ABC=60°，AC平分∠BCD，
∴∠ACD=½∠BCD=30°。
∴∠ACF=∠ACD+∠ECF=30°+60°=90°，即△ACF为直角三角形。
∵G是AF的中点，根据直角三角形斜边中线定理，CG=½AF=AG，故AG=CG，②正确。
3. 证明结论③：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC。
由结论②知AG=CG，因此点B和点G到线段AC两端的距离相等，根据垂直平分线的判定，点B、G都在AC的垂直平分线上，故BG垂直平分AC，③正确。
4. 证明结论④：
由BG垂直平分AC，得H是AC中点；又G是AF中点，
∴GH是△ACF的中位线，故CF=2GH。
在Rt△BCH中，∠BCH=30°，根据直角三角形中30°角对边为斜边一半，得BC=2BH，即AD=BC=2BH。
∴AD+CE=BC+CF=2BH + 2GH=2(BH+GH)=2BG，故2BG=AD+CE，④正确。
综上，四个结论均正确，故选D。
【答案】D
【知识点】菱形的性质、等边三角形的判定、垂直平分线的判定
【点评】本题综合考查多个几何核心知识点，需逐步推导角度与线段关系，逻辑连贯性要求高，是典型的几何综合题，能有效考查学生的几何推理能力。
【难度系数】0.4
11.若二次根式$\sqrt{x-3}$在实数范围内有意义，则$x$的取值范围是
x≥3
。答案
11.x≥3
解析
【分析】要确定二次根式中x的取值范围，需牢记二次根式在实数范围内有意义的核心条件：被开方数必须为非负数，据此列出关于x的不等式，解不等式即可得到结果。
【解析】二次根式$\sqrt{a}$在实数范围内有意义的条件是被开方数$a≥0$，因此对于$\sqrt{x-3}$，需满足$x-3≥0$，解该不等式得$x≥3$。
【答案】x≥3
【知识点】二次根式有意义的条件、一元一次不等式的解法
【点评】本题是二次根式的基础题型，直接考察二次根式有意义的基本规则，解题思路明确，属于代数入门级题目，用于巩固基础知识点。
【难度系数】0.9
【解析】二次根式$\sqrt{a}$在实数范围内有意义的条件是被开方数$a≥0$，因此对于$\sqrt{x-3}$，需满足$x-3≥0$，解该不等式得$x≥3$。
【答案】x≥3
【知识点】二次根式有意义的条件、一元一次不等式的解法
【点评】本题是二次根式的基础题型，直接考察二次根式有意义的基本规则，解题思路明确，属于代数入门级题目，用于巩固基础知识点。
【难度系数】0.9
12.某校八年级(2)班举行投篮比赛,每人投6球,如图所示是班上所有学生投进球数的扇形统计图,则班上所有学生投进球数的众数是
2
球。答案
12.2
解析
【分析】首先明确众数的定义：众数是一组数据中出现次数最多的数值。在扇形统计图中，某部分扇形的面积越大，代表对应的数据出现的次数越多。因此，只需观察扇形统计图中哪个扇形的面积最大，其对应的投进球数即为众数。
【解析】观察扇形统计图，投进2球对应的扇形面积最大，说明投进2球的学生人数最多，根据众数的定义，该组数据的众数是2球。
【答案】2
【知识点】众数、扇形统计图
【点评】本题结合扇形统计图考查众数的概念，核心是理解扇形面积大小与数据出现次数的关系，属于基础概念题，难度较低。
【难度系数】0.2
【解析】观察扇形统计图，投进2球对应的扇形面积最大，说明投进2球的学生人数最多，根据众数的定义，该组数据的众数是2球。
【答案】2
【知识点】众数、扇形统计图
【点评】本题结合扇形统计图考查众数的概念，核心是理解扇形面积大小与数据出现次数的关系，属于基础概念题，难度较低。
【难度系数】0.2
13.已知关于$x$的方程$ax^2 + bx + 6 = 0$的一个根是$x = -2$，则代数式$6a - 3b + 2$的值为$\underline{\hspace{5cm}}$。
答案
13.−7
解析
【分析】
要解决这个问题，核心是利用一元二次方程根的定义：方程的根代入方程后等式成立。先将已知根代入方程得到a、b的关系式，再通过整体变形所求代数式，代入关系式计算即可。
【解析】
步骤1：因为$x=-2$是方程$ax^2 + bx + 6 = 0$的根，将$x=-2$代入方程得：
$a×(-2)^2 + b×(-2) + 6 = 0$，
化简得：$4a - 2b + 6 = 0$，
两边同时除以2整理得：$2a - b = -3$。
步骤2：观察所求代数式$6a - 3b + 2$，可变形为$3(2a - b) + 2$，
将$2a - b = -3$代入得：
$3×(-3) + 2 = -9 + 2 = -7$。
【答案】
$-7$
【知识点】
一元二次方程的根的定义，代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，考查一元二次方程根的定义的应用，解题关键是通过代入根得到a、b的关系式，再运用整体代入法简化计算，避免单独求a、b的值，提升解题效率。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，核心是利用一元二次方程根的定义：方程的根代入方程后等式成立。先将已知根代入方程得到a、b的关系式，再通过整体变形所求代数式，代入关系式计算即可。
【解析】
步骤1：因为$x=-2$是方程$ax^2 + bx + 6 = 0$的根，将$x=-2$代入方程得：
$a×(-2)^2 + b×(-2) + 6 = 0$，
化简得：$4a - 2b + 6 = 0$，
两边同时除以2整理得：$2a - b = -3$。
步骤2：观察所求代数式$6a - 3b + 2$，可变形为$3(2a - b) + 2$，
将$2a - b = -3$代入得：
$3×(-3) + 2 = -9 + 2 = -7$。
【答案】
$-7$
【知识点】
一元二次方程的根的定义，代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，考查一元二次方程根的定义的应用，解题关键是通过代入根得到a、b的关系式，再运用整体代入法简化计算，避免单独求a、b的值，提升解题效率。
【难度系数】
0.6
14.如图,在四边形ABCD中,∠BAC=90°,AB=6,AC=8,分别以点A,C为圆心,大于$\frac{1}{2}AC$的长为半径画弧,两弧相交于M,N两点,作直线MN,分别与AD,BC,AC相交于点E,F,O。连结AF,CE,则AF的长是________。
答案
14.5
15.(改编)某考生参加某高校的综合评价招生并成功通过了初试，在面试阶段，8位老师根据考生表现打分，分数由低到高依次为76，a，b，80，80，81，84，85，若这组数据的下四分位数为77，则该名考生的面试分数的平均数为
80
分。答案
15.80
解析
【分析】首先明确下四分位数的计算规则：对于n个从小到大排列的数据，下四分位数对应第25%位置的数值，当n为偶数时，下四分位数为第$\frac{n}{4}$项与第$\frac{n}{4}+1$项的平均数。本题中n=8，据此可结合已知下四分位数求出a与b的和，再计算所有分数的平均数。
【解析】将8个面试分数从小到大排列为：76，a，b，80，80，81，84，85。
根据下四分位数的计算规则，n=8时，下四分位数为第2项和第3项的平均数，即$\frac{a + b}{2} = 77$，解得$a + b = 154$。
所有分数的总和为：$76 + a + b + 80 + 80 + 81 + 84 + 85 = (76 + 80 + 80 + 81 + 84 + 85) + (a + b) = 486 + 154 = 640$。
则平均数为：$\frac{640}{8} = 80$。
【答案】80
【知识点】下四分位数、平均数计算
【点评】本题考查统计量的基本计算，核心是掌握下四分位数的计算方法，通过已知条件求出未知量的和，进而求解平均数，属于基础统计应用题。
【难度系数】0.5
【解析】将8个面试分数从小到大排列为：76，a，b，80，80，81，84，85。
根据下四分位数的计算规则，n=8时，下四分位数为第2项和第3项的平均数，即$\frac{a + b}{2} = 77$，解得$a + b = 154$。
所有分数的总和为：$76 + a + b + 80 + 80 + 81 + 84 + 85 = (76 + 80 + 80 + 81 + 84 + 85) + (a + b) = 486 + 154 = 640$。
则平均数为：$\frac{640}{8} = 80$。
【答案】80
【知识点】下四分位数、平均数计算
【点评】本题考查统计量的基本计算，核心是掌握下四分位数的计算方法，通过已知条件求出未知量的和，进而求解平均数，属于基础统计应用题。
【难度系数】0.5
