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22.(6分)某服装店在销售A,B两款服装时,销售员记录了从4月到6月的销售情况,请根据以下素材完成“问题解决”中的三个问题。
素材1
A款服装每销售一件可盈利100元,已知4月份销售量为64件,且销售量逐月递增,6月份销售量达到100件。B款服装每销售一件可盈利150元,每月的销售量均为80件。
素材2
7月开始换季,服装店仅对A款服装进行降价销售,根据往年数据测算:以6月份的月销售量为基准,A款服装每降5元,其月销售量增
25件,同时会使B款服装月销售量减少10件。
问题解决
(1)问题1:求6月份销售A,B两款服装的利润之和。
(2)问题2:求A款服装从4月到6月销售量的平均月增长率。
(3)问题3:为了使7月份销售A,B两款服装的利润之和达到22 500元,那么A款服装应降价多少元?
素材1
A款服装每销售一件可盈利100元,已知4月份销售量为64件,且销售量逐月递增,6月份销售量达到100件。B款服装每销售一件可盈利150元,每月的销售量均为80件。
素材2
7月开始换季,服装店仅对A款服装进行降价销售,根据往年数据测算:以6月份的月销售量为基准,A款服装每降5元,其月销售量增
25件,同时会使B款服装月销售量减少10件。问题解决
(1)问题1:求6月份销售A,B两款服装的利润之和。
(2)问题2:求A款服装从4月到6月销售量的平均月增长率。
(3)问题3:为了使7月份销售A,B两款服装的利润之和达到22 500元,那么A款服装应降价多少元?
答案
22.(1)$100×100+80×150=22000$(元)。答:6月份销售A,B两款服装的利润之和为22000元。
(2)设A款服装从4月到6月销售量的平均月增长率为$x$。由题意可以列出方程$64(1+x)^2=100$。解得$x_1=0.25=25\%$,$x_2=-2.25$(不合题意,舍去)。答:A款服装从4月到6月销售量的平均月增长率为25%。
(3)设A款服装应降价$y$元,由题意可以列出方程$(100-y)(100+\frac{25}{5}y)+150(80-\frac{10}{5}y)=22500$。解得$y_1=y_2=10$。答:A款服装应降价10元。
(2)设A款服装从4月到6月销售量的平均月增长率为$x$。由题意可以列出方程$64(1+x)^2=100$。解得$x_1=0.25=25\%$,$x_2=-2.25$(不合题意,舍去)。答:A款服装从4月到6月销售量的平均月增长率为25%。
(3)设A款服装应降价$y$元,由题意可以列出方程$(100-y)(100+\frac{25}{5}y)+150(80-\frac{10}{5}y)=22500$。解得$y_1=y_2=10$。答:A款服装应降价10元。
解析
【分析】
本题需依次解决三个问题：
1. 问题1：分别计算6月份A、B两款服装的利润，再求和，核心是“利润=单件盈利×销量”的公式应用；
2. 问题2：利用平均月增长率的数量关系，设增长率为未知数，根据4月到6月的销量变化列一元二次方程，舍去不符合实际意义的负根；
3. 问题3：设A款降价金额为未知数，先确定7月份A款的单件盈利、销量，以及B款的销量，再根据总利润等于两款利润之和列方程求解，注意销量随降价的变化关系。
【解析】
(1) 计算6月份两款服装利润之和：
A款利润：$100×100 = 10000$（元）
B款利润：$150×80 = 12000$（元）
利润之和：$10000 + 12000 = 22000$（元）
(2) 求A款销售量的平均月增长率：
设平均月增长率为$x$，根据题意列方程：
$64(1+x)^2 = 100$
解得：$x_1 = 0.25 = 25\%$，$x_2 = -2.25$（销售量增长率不能为负，舍去）
(3) 求A款应降价的金额：
设A款服装应降价$y$元，
7月A款单件盈利：$(100 - y)$元，销量：$100 + \frac{25}{5}y = (100 + 5y)$件；
7月B款销量：$80 - \frac{10}{5}y = (80 - 2y)$件，利润：$150(80 - 2y)$元；
根据总利润列方程：
$(100 - y)(100 + 5y) + 150(80 - 2y) = 22500$
整理得：$y^2 - 20y + 100 = 0$
解得：$y_1 = y_2 = 10$
【答案】
(1) 22000元；(2) 25%；(3) 10元
【知识点】
一元二次方程应用、利润问题、增长率问题
【点评】
本题结合实际销售场景，考查一元二次方程在利润和增长率问题中的应用，需准确理解销量随价格变化的关系，步骤清晰即可求解，属于中等难度的应用题。
【难度系数】
0.5
本题需依次解决三个问题：
1. 问题1：分别计算6月份A、B两款服装的利润，再求和，核心是“利润=单件盈利×销量”的公式应用；
2. 问题2：利用平均月增长率的数量关系，设增长率为未知数，根据4月到6月的销量变化列一元二次方程，舍去不符合实际意义的负根；
3. 问题3：设A款降价金额为未知数，先确定7月份A款的单件盈利、销量，以及B款的销量，再根据总利润等于两款利润之和列方程求解，注意销量随降价的变化关系。
【解析】
(1) 计算6月份两款服装利润之和：
A款利润：$100×100 = 10000$（元）
B款利润：$150×80 = 12000$（元）
利润之和：$10000 + 12000 = 22000$（元）
(2) 求A款销售量的平均月增长率：
设平均月增长率为$x$，根据题意列方程：
$64(1+x)^2 = 100$
解得：$x_1 = 0.25 = 25\%$，$x_2 = -2.25$（销售量增长率不能为负，舍去）
(3) 求A款应降价的金额：
设A款服装应降价$y$元，
7月A款单件盈利：$(100 - y)$元，销量：$100 + \frac{25}{5}y = (100 + 5y)$件；
7月B款销量：$80 - \frac{10}{5}y = (80 - 2y)$件，利润：$150(80 - 2y)$元；
根据总利润列方程：
$(100 - y)(100 + 5y) + 150(80 - 2y) = 22500$
整理得：$y^2 - 20y + 100 = 0$
解得：$y_1 = y_2 = 10$
【答案】
(1) 22000元；(2) 25%；(3) 10元
【知识点】
一元二次方程应用、利润问题、增长率问题
【点评】
本题结合实际销售场景，考查一元二次方程在利润和增长率问题中的应用，需准确理解销量随价格变化的关系，步骤清晰即可求解，属于中等难度的应用题。
【难度系数】
0.5
23.(改编)(8分)已知$□ ABCD$的两边$AB$，$AD$的长是关于$x$的方程$x^2 - mx + \dfrac{m}{2} - \dfrac{1}{4} = 0$的两个实数根。
(1)当$m$为何值时，四边形$ABCD$是菱形？求出这时菱形的边长。
(2)若$AB$的长为$2$，则$□ ABCD$的周长是多少？
(3)如果这个方程的两个实数根分别为$x_1$，$x_2$，且$(x_1 - 3)(x_2 - 3) = 5m$，求$m$的值。
(1)当$m$为何值时，四边形$ABCD$是菱形？求出这时菱形的边长。
(2)若$AB$的长为$2$，则$□ ABCD$的周长是多少？
(3)如果这个方程的两个实数根分别为$x_1$，$x_2$，且$(x_1 - 3)(x_2 - 3) = 5m$，求$m$的值。
答案
23.(1)因为根据题意,当四边形ABCD是菱形时,AB=AD,所以方程$x^2-mx+\frac{m}{2}-\frac{1}{4}=0$有两个相等的实数根,所以$\Delta=(-m)^2-4×1×(\frac{m}{2}-\frac{1}{4})=0$,即$m^2-2m+1=0$,解得$m_1=m_2=1$,所以$x^2-x+\frac{1}{4}=0$,解得$x_1=x_2=\frac{1}{2}$,所以$m=1$时,四边形ABCD是菱形,此时菱形的边长为$\frac{1}{2}$。
(2)根据题意得$2^2-2m+\frac{m}{2}-\frac{1}{4}=0$,解得$m=\frac{5}{2}$,则$x^2-\frac{5}{2}x+1=0$,解得$x_1=2$,$x_2=\frac{1}{2}$,因为AB的长为2,所以$BC=\frac{1}{2}$,所以$□ ABCD$的周长是$(2+\frac{1}{2})×2=5$。
(3)因为$(x_1-3)(x_2-3)=x_1x_2-3(x_1+x_2)+9=5m$,因为方程$x^2-mx+\frac{m}{2}-\frac{1}{4}=0$的两个实数根分别为$x_1$,$x_2$,所以$x_1x_2=\frac{m}{2}-\frac{1}{4}$,$x_1+x_2=m$,所以$\frac{m}{2}-\frac{1}{4}-3m+9=5m$,解得$m=\frac{7}{6}$。
(2)根据题意得$2^2-2m+\frac{m}{2}-\frac{1}{4}=0$,解得$m=\frac{5}{2}$,则$x^2-\frac{5}{2}x+1=0$,解得$x_1=2$,$x_2=\frac{1}{2}$,因为AB的长为2,所以$BC=\frac{1}{2}$,所以$□ ABCD$的周长是$(2+\frac{1}{2})×2=5$。
(3)因为$(x_1-3)(x_2-3)=x_1x_2-3(x_1+x_2)+9=5m$,因为方程$x^2-mx+\frac{m}{2}-\frac{1}{4}=0$的两个实数根分别为$x_1$,$x_2$,所以$x_1x_2=\frac{m}{2}-\frac{1}{4}$,$x_1+x_2=m$,所以$\frac{m}{2}-\frac{1}{4}-3m+9=5m$,解得$m=\frac{7}{6}$。
解析
【分析】
本题结合平行四边形的性质，利用一元二次方程的相关知识解题：（1）菱形邻边相等，故AB=AD，对应方程有两个相等实根，需用根的判别式求m，再代入方程得边长；（2）AB是方程的根，代入方程求m，再用韦达定理求另一根AD，进而计算平行四边形周长；（3）展开已知等式，结合韦达定理转化为关于m的方程求解。
【解析】
（1）
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，即方程$x^2 - mx + \frac{m}{2} - \frac{1}{4}=0$有两个相等的实数根，
∴判别式$\Delta = (-m)^2 - 4×1×(\frac{m}{2} - \frac{1}{4})=0$，化简得$m^2 -2m +1=0$，解得$m=1$。将$m=1$代入方程得$x^2 -x +\frac{1}{4}=0$，解得$x_1=x_2=\frac{1}{2}$，故菱形边长为$\frac{1}{2}$。
（2）
∵AB=2是方程的根，代入方程得$2^2 -2m +\frac{m}{2} - \frac{1}{4}=0$，解得$m=\frac{5}{2}$。此时方程为$x^2 - \frac{5}{2}x +1=0$，由韦达定理得$AB + AD = \frac{5}{2}$，已知AB=2，故$AD=\frac{5}{2}-2=\frac{1}{2}$，平行四边形周长为$2×(2+\frac{1}{2})=5$。
（3）已知$(x_1 -3)(x_2 -3)=5m$，展开得$x_1x_2 -3(x_1+x_2)+9=5m$。由韦达定理，方程中$x_1+x_2=m$，$x_1x_2=\frac{m}{2}-\frac{1}{4}$，代入得$\frac{m}{2}-\frac{1}{4} -3m +9=5m$，整理得$-\frac{5m}{2} + \frac{35}{4}=5m$，移项得$\frac{15m}{2}=\frac{35}{4}$，解得$m=\frac{7}{6}$。
【答案】
(1) $m=1$，菱形边长为$\frac{1}{2}$；(2) 平行四边形周长为5；(3) $m=\frac{7}{6}$
【知识点】
一元二次方程根的判别式、韦达定理、平行四边形性质
【点评】
本题将平行四边形性质与一元二次方程知识结合，考查根的判别式、韦达定理的应用，需具备代数与几何知识的综合运用能力，分步骤解题即可得出结果。
【难度系数】
0.6
本题结合平行四边形的性质，利用一元二次方程的相关知识解题：（1）菱形邻边相等，故AB=AD，对应方程有两个相等实根，需用根的判别式求m，再代入方程得边长；（2）AB是方程的根，代入方程求m，再用韦达定理求另一根AD，进而计算平行四边形周长；（3）展开已知等式，结合韦达定理转化为关于m的方程求解。
【解析】
（1）
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，即方程$x^2 - mx + \frac{m}{2} - \frac{1}{4}=0$有两个相等的实数根，
∴判别式$\Delta = (-m)^2 - 4×1×(\frac{m}{2} - \frac{1}{4})=0$，化简得$m^2 -2m +1=0$，解得$m=1$。将$m=1$代入方程得$x^2 -x +\frac{1}{4}=0$，解得$x_1=x_2=\frac{1}{2}$，故菱形边长为$\frac{1}{2}$。
（2）
∵AB=2是方程的根，代入方程得$2^2 -2m +\frac{m}{2} - \frac{1}{4}=0$，解得$m=\frac{5}{2}$。此时方程为$x^2 - \frac{5}{2}x +1=0$，由韦达定理得$AB + AD = \frac{5}{2}$，已知AB=2，故$AD=\frac{5}{2}-2=\frac{1}{2}$，平行四边形周长为$2×(2+\frac{1}{2})=5$。
（3）已知$(x_1 -3)(x_2 -3)=5m$，展开得$x_1x_2 -3(x_1+x_2)+9=5m$。由韦达定理，方程中$x_1+x_2=m$，$x_1x_2=\frac{m}{2}-\frac{1}{4}$，代入得$\frac{m}{2}-\frac{1}{4} -3m +9=5m$，整理得$-\frac{5m}{2} + \frac{35}{4}=5m$，移项得$\frac{15m}{2}=\frac{35}{4}$，解得$m=\frac{7}{6}$。
【答案】
(1) $m=1$，菱形边长为$\frac{1}{2}$；(2) 平行四边形周长为5；(3) $m=\frac{7}{6}$
【知识点】
一元二次方程根的判别式、韦达定理、平行四边形性质
【点评】
本题将平行四边形性质与一元二次方程知识结合，考查根的判别式、韦达定理的应用，需具备代数与几何知识的综合运用能力，分步骤解题即可得出结果。
【难度系数】
0.6
