名师指导
(一)“钩”型(“鹰嘴”型)
模型

已知 AB//CD,点 E 为平行线外一点,连接 BE,DE
结论 ∠D=∠E+∠B ∠B=∠E+∠D ∠B=∠E+∠D ∠D=∠E+∠B
(二)“钩”型+角平分线

已知:AB//CD,点 P 为平行线外一点,BF 平分∠ABP,DE 平分∠PDC,FB 与 ED 交于点 Q
结论:∠Q=1/2∠P

证明：
1. 证明"钩"型结论：
第1个图，过点E作EF//AB
∵ AB//CD
∴ EF//CD
∴ ∠D = ∠DEF，∠B = ∠BEF
∵ ∠DEF = ∠BEF + ∠BED
∴ ∠D = ∠E + ∠B
第2个图，过点E作EF//AB
∵ AB//CD
∴ EF//CD
∴ ∠B = ∠BEF，∠D = ∠DEF
∵ ∠BEF = ∠DEF + ∠BED
∴ ∠B = ∠E + ∠D
第3个图，过点E作EF//AB
∵ AB//CD
∴ EF//CD
∴ ∠B = ∠BEF，∠D = ∠DEF
∵ ∠BEF = ∠DEF + ∠BED
∴ ∠B = ∠E + ∠D
第4个图，过点E作EF//AB
∵ AB//CD
∴ EF//CD
∴ ∠D = ∠DEF，∠B = ∠BEF
∵ ∠DEF = ∠BEF + ∠BED
∴ ∠D = ∠E + ∠B
2. 证明"钩"型+角平分线结论：
由已证钩型结论可得：
∠P = ∠PDC - ∠ABP
∠Q = ∠QDC - ∠ABQ
∵ BF平分∠ABP，DE平分∠PDC
∴ ∠ABQ = $\frac{1}{2}$∠ABP，∠QDC = $\frac{1}{2}$∠PDC
∴ ∠Q = $\frac{1}{2}$∠PDC - $\frac{1}{2}$∠ABP = $\frac{1}{2}$(∠PDC - ∠ABP) = $\frac{1}{2}$∠P

1. 如图①,直线 AB 与直线 CD,EF 分别交于点 G,H,三条直线把平面分成①,②,…,⑥六个区域.规定:三条直线上的点不属于任何一个区域.当任意一点 P 落在某个区域时,连接 PG,PH,可得到∠PGD,∠PHF,∠GPH.
(1)如图②,当动点 P 落在区域④时,如果∠GPH = ∠PGD + ∠PHF,那么 CD 与 EF 平行吗?请说明理由.
(2)如图③,当动点 P 落在区域③时,∠PGD,∠PHF,∠GPH 三角满足什么等量关系时,CD//EF?请说明理由.
(3)如果直线 CD//EF,试探究动点 P 落在区域时,存在∠GPH = ∠PHF - ∠PGD.

1. (1) CD//EF,理由:如图①,过点 P 作 PI//CD,所以∠GPI=∠PGD.因为∠GPH=∠PGD+∠PHF,所以∠PHF=∠GPH-∠PGD.因为∠IPH = ∠GPH - ∠GPI = ∠GPH - ∠PGD,所以∠IPH=∠PHF,所以 IP//EF.因为 PI//CD,所以CD//EF.
(2) ∠GPH+∠PGD+∠PHF = 360°时,有 CD//EF,理由如下:如图②,过点 P 作 PI//CD,所以∠GPI+∠PGD = 180°,即∠GPI = 180°-∠PGD.因为 IP//EF,所以∠HPI+∠PHF = 180°,即 ∠HPI = 180° - ∠PHF. 因为 ∠GPH + ∠PGD + ∠PHF= ∠GPI+∠HPI+∠PGD+∠PHF = 180°-∠PGD+180°-∠PHF+∠PGD+∠PHF=360°,所以当动点 P 落在区域③时,∠PGD,∠PHF,∠GPH 三角满足∠GPH+∠PGD+∠PHF=360°时,有 CD//EF.
(3) ②、⑤ 【解析】如图③,当点P在①区域时,过点P作PI//CD,PH交CD于点J,因为CD//EF,所以PI//EF,∠PHF = ∠HPI,∠PGD = ∠GPI,所以∠GPH = ∠GPI - ∠HPI = ∠PGD - ∠PHF,即∠GPH = ∠PGD - ∠PHF,即点P在①区域时不符合题意;同理,可判定点P在⑤区域时有∠GPH = ∠PHF - ∠PGD,符合题意;
如图④,当点P在②区域时,过点P作PI//CD,PH交CD于点J,因为CD//EF,所以PI//EF,∠PHF = ∠HPI,∠PGD = ∠GPI,所以∠GPH = ∠HPI - ∠GPI = ∠PHF - ∠PGD,即∠GPH = ∠PHF - ∠PGD,即点P在②区域时符合题意;同理,可判定点P在⑥区域时∠GPH = ∠PGD - ∠PHF,不符合题意;
由(1)、(2)易得,点P在④区域时,∠GPH = ∠PHF + ∠PGD;点P在③区域时,∠GPH = 360° - ∠PHF - ∠PGD,均不符合题意.综上,点P在②、⑤区域时存在∠GPH = ∠PHF - ∠PGD.