2. （2025·宿迁期末）(1) 如图①，$∠ EFG=120°$，顶点 $F$ 在直线 $CD$ 上，边 $FE, FG$ 分别与直线 $AB$ 交于点 $M,H$，且 $∠ CFE+∠ GHB=60°$. 试说明 $AB// CD$；
(2) 如图②，在(1)的条件下分别作$∠ EFD$与$∠ AHG$的平分线 $FN,HN$ 交于点 $N$，求$∠ N$的度数；
(3) 如图③，在(1)的条件下作$∠ CFE$的平分线 $FI$，过点 $H$ 作一条射线 $HQ$，交直线 $FI$ 于点 $P$，当$∠ HPF=30°$时，请直接写出$∠ BHP$与$∠ FHP$的关系式.

2. (1) 因为∠EFG=120°,顶点F在直线CD上,所以∠CFE+∠GFD=180°-∠EFG=180°-120°=60°.因为∠CFE+∠GHB=60°,所以∠GHB=∠GFD,所以AB//CD.
(2) 如图①,作NK//AB,易证NK//CD,所以∠AHN=∠HNK,∠CFN=∠FNK,所以∠FNH=∠FNK-∠HNK=∠CFN-∠AHN.设∠GFD=α,所以∠CFE=60°-α,∠GHB=α,∠AHG=180°-α.因为∠EFG=120°,所以∠EFD=120°+α.因为FN是∠EFD的平分线,所以∠EFN=$\frac{1}{2}$(120°+α)=60°+$\frac{1}{2}$α,所以∠CFN = ∠EFN + ∠CFE = $(60°+\frac{1}{2}α)$+(60°-α)=120°-$\frac{1}{2}$α.因为HN是∠AHG的平分线,所以∠AHN=$\frac{1}{2}$∠AHG=$\frac{1}{2}$(180°-α)=90°-$\frac{1}{2}$α,所以∠FNH = ∠CFN - ∠AHN = $(120°-\frac{1}{2}α)-(90°-\frac{1}{2}α)$=30°.
(3) ∠BHP+∠FHP=180°或∠FHP-∠BHP=60°.【解析】①当点P在CD的上方时,如图②,过点P作PT//AB.设∠IFC=β,因为FI平分∠CFE,所以∠EFI=∠CFI=β,则∠GFD=180°-∠EFC-∠EFG=60°-2β.因为AB//CD,所以∠FHB=∠CFG=180°-∠GFD=120°+2β.因为PT//AB,AB//CD,所以PT//CD,所以∠AHP=∠HPT,∠TPF=∠IFC=β.又因为∠HPF=30°,所以∠AHP=∠HPT=∠HPF-∠FPT=∠HPF-∠IFC=30°-β,所以∠BHP=180°-∠AHP=180°-(30°-β)=150°+β,所以∠FHP=∠BHP-∠FHB=(150°+β)-(120°+2β)=30°-β,所以∠BHP+∠FHP=(150°+β)+(30°-β)=180°,即∠BHP+∠FHP=180°;
②当点P在CD的下方时,如图③,过点P作PT//CD,设∠IFC=β,所以∠DFP=∠CFI=β.因为PT//CD,所以∠FPT=∠DFP=β.因为AB//PT,所以∠BHP=∠HPT=∠HPF+∠FPT=30°+β.因为∠GFD=180°-∠EFC-∠EFG=60°-2β,∠FHB=∠CFG=120°+2β,所以∠FHP=∠FHB-∠BHP=(120°+2β)-(30°+β)=90°+β,所以∠FHP-∠BHP=(90°+β)-(30°+β)=60°.综上所述,∠BHP+∠FHP=180°或∠FHP-∠BHP=60°.

3. 经过平行线中的拐点作平行线是解决与平行线有关问题的常用思路.
(1)如图①,$AB // CD,∠ BEP=25°,∠ PFC=150°$,则$∠ EPF=$;
(2)如图②,$AB // CD$,点$P$在直线$AB$的上方($∠ AEP＞∠ CFP$),探究$∠ AEP$、$∠ CFP$、$∠ EPF$之间的数量关系,并说明理由;
(3)如图③,$AB // CD$,点$P$在直线$AB$上方,$∠ AEP$的平分线$EM$所在的直线和$∠ DFP$的平分线$FN$所在的直线交于点$G$(点$G$在直线$CD$的下方),请写出$∠ EPF$和$∠ EGF$之间的数量关系,并说明理由;
(4)如图④,$AB // CD$,点$P$在直线$AB$上方,$EG,ES,FM,FT$分别是$∠ AEP$、$∠ BEP$、$∠ CFP$、$∠ DFP$的三等分线,且$\frac{∠ AEG}{∠ AEP}=\frac{∠ PES}{∠ PEB}=\frac{∠ MFP}{∠ CFP}=\frac{∠ DFT}{∠ DFP}=\frac{2}{3}$.直线$ES$与直线$FM$交于点$M$,直线$EG$与直线$FT$交于点$N$(点$N$在直线$CD$的下方).请直接写出$∠ EMF$、$∠ ENF$与$∠ P$之间的数量关系.

3. (1) 55° 【解析】如图①,过点P作PH//AB,所以∠EPH=∠BEP=25°.因为AB//CD,所以PH//CD,所以∠FPH=180°-∠PFC=30°,所以∠EPF=∠EPH+∠FPH=55°.
(2) ∠EPF=∠AEP-∠CFP,理由:如图②,过点P作PH//AB,所以∠EPH=180°-∠AEP.因为AB//CD,所以PH//CD,∠FPH=180°-∠CFP,∠EPF=∠FPH-∠EPH=(180°-∠CFP)-(180°-∠AEP)=∠AEP-∠CFP,所以∠EPF=∠AEP-∠CFP.
(3) ∠EPF+2∠EGF=180°,理由:因为EM平分∠AEP,FN平分∠DFP,所以∠AEM=∠PEM,∠PFN=∠DFN.设∠AEM=∠PEM=∠1,∠PFN=∠DFN=∠2,则∠AEP=2∠1,∠DFP=2∠2,∠CFP=180°-2∠2,如图③,过点P作PH//AB,过点G作KL//AB,由(2)可知,∠EPF=∠AEP-∠CFP=2∠1-(180°-2∠2)=2(∠1+∠2)-180°,因为KL//AB,所以∠KGE=∠AEM=∠1.因为AB//CD,所以KL//CD,所以∠LGN=∠DFN=∠2,∠EGF=180°-∠KGE-∠LGN=180°-(∠1+∠2).因为180°-2[180°-(∠1+∠2)]=2(∠1+∠2)-180°,所以180°-2∠EGF=∠EPF,所以∠EPF+2∠EGF=180°.
(4) 如图④,因为$\frac{∠AEG}{∠AEP}=\frac{∠PES}{∠PEB}=\frac{∠MFP}{∠CFP}=\frac{∠DFT}{∠DFP}=\frac{2}{3}$,所以设∠GEP=∠1,∠SEB=∠2,∠CFM=∠3,∠TFP=∠4,则∠AEG=2∠1,∠PES=2∠2,∠MFP=2∠3,∠DFT=2∠4,所以2∠1+∠1+2∠2+∠2=180°,即∠1+∠2=60°;所以∠3+2∠3+∠4+2∠4=180°,即∠3+∠4=60°;由(2)可知,∠P=∠AEP-∠CFP=3∠1-3∠3=3(∠1-∠3),过点M作MQ//AB,过点N作NR//AB,所以∠QMS=∠SEB=∠2.因为AB//CD,所以MQ//CD,所以∠QMF=∠CFM=∠3,所以∠EMF=∠QMS+∠QMF=∠2+∠3=(60°-∠1)+∠3=60°-(∠1-∠3).同理,∠ENF=∠1+3∠2-2∠4=∠1+3(60°-∠1)-2(60°-∠3)=60°-2(∠1-∠3).因为∠EMF+∠ENF=120°-3(∠1-∠3)=120°-∠P,所以∠EMF+∠ENF+∠P=120°.