1. 新情境 生活实际 井盖平面轮廓采用圆形的一个原因是圆形井盖怎么放都不会掉到井里，并且能恰好盖住井口. 这是运用了圆特征中的（）

A.圆心确定圆的位置
B.半径决定圆的大小
C.同一圆内所有直径都相等
D.圆是曲边图形

C 井盖平面轮廓采用圆形的一个原因是圆形井盖怎么放都不会掉到井里,并且能恰好盖住井口,这是运用了圆特征中的同一圆内所有直径都相等.

【分析】
我们首先要结合生活场景思考井盖不会掉落的核心原因：非圆形的井盖比如方形，斜放时会因为自身最长的对角线长度大于井口的边长，直接从井口掉下去，而圆形井盖无论怎么旋转都不会出现这种情况。接下来我们逐个对应选项，排除和“任意旋转都不会掉、恰好盖住井口”无关的描述，找到对应的圆的特征即可。
【解析】
我们先推导圆形井盖的设计原理：
对于圆形来说，同一圆内所有的直径长度都完全相等，无论将井盖旋转到任何角度，井盖的直径始终和井口的开口宽度匹配，不会出现某一个方向的长度小于井口开口的情况，因此永远不会掉到井里，还能恰好盖住井口。
接下来逐一判断选项：
选项A：“圆心确定圆的位置”描述的是圆的位置属性，和井盖不会掉落的特性没有关联，不符合题意；
选项B：“半径决定圆的大小”描述的是圆的大小的决定因素，不能解释井盖任意角度放置都不会掉落的特点，不符合题意；
选项C：“同一圆内所有直径都相等”完全匹配圆形井盖的设计原理，符合题意；
选项D：“圆是曲边图形”和井盖不会掉落的原因没有逻辑关联，不符合题意。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
圆的基本性质，直径的特征
【点评】
本题结合生活中常见的井盖设计情境出题，跳出了纯概念考察的模式，引导学生用所学的圆的相关知识解释生活中的实际现象，既巩固了基础概念，也体现了数学的实用性，只要能把生活场景和圆的性质对应起来就很容易选出正确答案。
【难度系数】
0.9

2. 已知$P$为平面内一点，若点$P$到$\odot O$上的点的最长距离为5，最短距离为1，则$\odot O$的半径为
.

2或3 当点P在圆内时,直径=5+1=6,
∴半径是3;当点P在圆外时,直径=5-1=4,
∴半径是2.
∴⊙O的半径为2或3.

【分析】
这道题没有明确给出点P和⊙O的位置关系，首先我们要先梳理点和圆的所有可能位置：点在圆内、点在圆上、点在圆外。已知点P到圆上的点同时存在最长距离5和最短距离1，说明点P不可能在圆上（若点在圆上，点到圆上的最短距离为0，和题干条件矛盾），因此只需要分两类讨论：
1. 当点P在圆内时：过点P和圆心O作直线，该直线与圆的两个交点就是到P距离最远、最近的点，最长距离加最短距离的和恰好等于圆的直径，算出直径后除以2就能得到半径；
2. 当点P在圆外时：同样过点P和圆心O作直线，和圆交于两个点，最远点到P的距离减去最近点到P的距离，得到的差就是圆的直径，同样计算出直径后除以2得到半径。
最后整合两种情况的结果就是最终答案。
【解析】
解：分两种情况讨论：
① 当点P在⊙O内部时：
点P到圆上点的最长距离与最短距离之和等于圆的直径，因此直径$d=5+1=6$，
可得⊙O的半径$r=\frac{d}{2}=3$；
② 当点P在⊙O外部时：
点P到圆上点的最长距离与最短距离之差等于圆的直径，因此直径$d=5-1=4$，
可得⊙O的半径$r=\frac{d}{2}=2$；
综上，⊙O的半径为2或3。
【答案】2或3
【知识点】点与圆的位置关系；分类讨论思想；圆的直径半径关系
【点评】本题是典型的易错题，很多同学会默认点P在圆内，直接算出半径为3就结束解题，完全忽略点P在圆外的可能性，导致漏解。遇到没有明确点和圆位置关系的同类题目，一定要主动按位置分类讨论，避免遗漏符合条件的结果。
【难度系数】0.6

3. 易错题 如图,在平面直角坐标系中,$C(0,4),A(3,0),\odot A$ 的半径为 2,P 为$\odot A$ 上任意一点,E是 PC 的中点,则 OE 长的最小值是（）

A.1
B.1.5
C.2
D.$\sqrt{2}$

B 如图,连接AC,AP,取AC的中点H,连接EH,OH.
∴CH=AH.
∵E是PC的中点,
∴CE=EP.
∴EH=$\frac{1}{2}$PA=1.
∴点E的运动轨迹是以点H为圆心,1为半径的圆.
∵C(0,4),A(3,0),
∴H(1.5,2).
∴OH=$\sqrt{2^2+1.5^2}$=2.5.
∴OE长的最小值=OH-EH=2.5-1=1.5.

【分析】
这是一道动点最值问题，核心思路是先确定动点E的运动轨迹：已知E是PC的中点，P是定圆⊙A上的动点，我们可以利用三角形中位线的性质，取两个定点A、C连线的中点H，这样EH就是△CPA的中位线，长度恒等于AP的一半也就是1，由此就能推出E点的运动轨迹是一个以H为圆心、半径为1的定圆。接下来要求OE的最小值，就转化为求原点O到这个定圆上点的最小距离，根据点到圆的最短距离规律，用O到圆心H的距离减去小圆半径即可得到结果，把复杂的动点问题转化为熟悉的点圆最值问题。
【解析】
1. 构造辅助线：连接AP、AC，取线段AC的中点H，连接EH、OH。
2. 推导E点的运动轨迹：
因为E是PC的中点，H是AC的中点，所以EH是△CPA的中位线，根据三角形中位线定理可得：
$EH=\frac{1}{2}AP$
已知⊙A的半径为2，即AP=2，因此$EH=\frac{1}{2}×2=1$。
这说明无论点P在⊙A上如何运动，点E到定点H的距离始终为1，因此点E的运动轨迹是以H为圆心，半径r=1的圆。
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4. 如图,$\odot M$ 的半径为 2,圆心 $M$ 的坐标为 $(3,4)$,$P$ 是 $\odot M$ 上的任意一点,$PA ⊥ PB$,且 $PA,PB$与 $x$ 轴分别交于 $A,B$ 两点. 若点 $A,B$ 关于原点对称(点 $A$ 在点 $B$ 的左侧),则当线段 $AB$ 最短时,点 $A$ 的坐标为.

(-3,0) 如图,连接OP.
∵点M的坐标为(3,4),
∴OM=$\sqrt{3^2+4^2}$=5.
∵PA⊥PB,
∴∠APB=90°.
∵点A,B关于原点对称,
∴AO=BO.
∴AB=2PO,OA=OB=OP.要使线段AB最短,则线段PO的长需取得最小值.连接OM,交⊙M于点P',当点P位于点P'的位置时,线段OP'的长取得最小值.
∵OM=5,MP'=2,
∴OP'=OM-MP'=5-2=3.
∴OA=3.
∴点A的坐标为(-3,0).

【分析】
我们先从已知条件入手梳理思路：首先PA⊥PB说明△APB是直角三角形，又因为A、B关于原点O对称，所以O是AB的中点，结合直角三角形斜边中线的性质，可以得到AB=2OP，这样求AB最短的问题就等价于求OP的最小值。接下来点P是⊙M上的动点，根据定点到圆上点的最短距离规律：定点到圆上点的最小距离等于定点到圆心的距离减去圆的半径，我们先算出原点O到圆心M的距离OM，减去⊙M的半径就能得到OP的最小值，进而得到OA的长度，最后结合A在x轴负半轴的条件就能求出点A的坐标。
【解析】
1. 连接OP、OM，已知圆心M的坐标为(3,4)，由两点间距离公式计算得：
$$OM=\sqrt{3^2+4^2}=5$2. 由PA⊥PB，可得∠APB=90°，又因为点A、B关于原点对称，因此O是线段AB的中点，即AO=OB。 根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质，可得$OP=\frac{1}{2}AB$，即$AB=2OP$。 因此要使线段AB最短，只需要OP的长度取得最小值即可。3. 已知⊙M的半径为2，点P是⊙M上的动点，原点O到⊙M上点的最小距离为OM减去⊙M的半径，即： $$OP_{\mathrm{min}}=OM - r=5-2=3$
4. 此时OA=OP=3，点A在x轴上且位于原点左侧，因此点A的坐标为(-3,0)。
【答案】
(-3, 0)
【知识点】
直角三角形斜边中线定理，点与圆的位置关系，两点间距离公式
【点评】
本题是几何最值的经典题型，核心考查转化思想，将求AB最短的陌生问题转化为求定点到圆上动点的最短距离的熟悉问题，避免了复杂的坐标运算，对学生的几何性质迁移应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.4

5. 如图,在平面直角坐标系中,点$A$,$B$的坐标分别为$(6,0)$,$(0,8)$,$C$为平面内一点,$BC=1$,$M$为$AC$的中点,连接$OM$,则$OM$长的最大值为.

$\frac{11}{2}$

∵C为平面内一点,BC=1,
∴点C在以点B为圆心、1为半径的圆上.
∵点A,B的坐标分别为(6,0),(0,8),
∴OA=6,OB=8.在x轴的负半轴上取点D,使OD=OA=6,连接CD.
∵M为AC的中点,
∴AM=CM.
∴OM是△ACD的中位线.
∴OM=$\frac{1}{2}$CD.当OM的长最大时,CD的长也最大.易得此时D,B,C三点共线,且点C在DB的延长线上.
∵OB=8,OD=6,∠BOD=90°,
∴BD=$\sqrt{OB^2+OD^2}$=10.
∴CD=BD+BC=11.
∴OM=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{11}{2}$,即OM长的最大值为$\frac{11}{2}$.

【分析】
首先梳理已知条件：点B是定点，且BC=1，因此可以先确定动点C的轨迹是以点B为圆心、半径为1的圆。接下来已知M是AC的中点，O是坐标原点，观察到点A坐标为(6,0)，如果在x轴负半轴取点D，令OD=OA=6，那么O就成为了线段AD的中点，此时O、M分别是△ACD的两边AD、AC的中点，就可以利用三角形中位线的性质，将OM转化为CD长度的1/2。这样求OM的最大值的问题，就等价于求CD的最大值。而D是定点，C在定圆B上，根据点到圆上点的距离最值规律：定点到圆上点的最大距离等于定点到圆心的距离加上圆的半径，先算出定点D到圆心B的距离，加上半径1就得到CD的最大值，再除以2就能得到OM的最大值。
【解析】
解：
1. 确定动点C的轨迹
∵ C为平面内一点，且BC=1，B为定点，
∴ 点C的运动轨迹是以点B为圆心、半径r=1的圆。
2. 构造中位线转化线段
在x轴的负半轴上取点D，使OD=OA=6，此时O为AD的中点。
已知M为AC的中点，因此OM是△ACD的中位线，
根据中位线性质可得：$OM=\frac{1}{2}CD$。
由此可知：当CD取得最大值时，OM也同步取得最大值。
3. 计算定点D到B的距离
已知A(6,0)，B(0,8)，OD=6，OB=8，∠BOD=90°，
由勾股定理得：$BD=\sqrt{OB^2 + OD^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$。
4. 求CD的最大值
点D到圆B上的点C的最大距离，出现在D、B、C三点共线，且C在DB的延长线上时，
此时$CD_{max}=BD + BC=10+1=11$。
5. 计算OM的最大值
代入$OM=\frac{1}{2}CD$，得$OM_{max}=\frac{1}{2}×11=\frac{11}{2}$。
【答案】
$\frac{11}{2}$
【知识点】
三角形中位线定理，点与圆的位置关系，勾股定理
【点评】
本题属于隐圆背景下的线段最值问题，核心考察转化思想，通过构造中位线将不易直接求解的OM最值问题，转化为定点到定圆上点的距离最值问题，要求学生掌握中点类辅助线的构造技巧，熟悉隐圆的判定方法，是非常典型的线段最值压轴类题型。
【难度系数】
0.3

6. 如图,$D$为等边三角形$ABC$的边$BC$的中点,$AB=2$,动点$M$满足$AM ⊥ CM$.
(1) 求证:$A,D,C,M$四点在同一个圆上.
(2) 连接$BM$,求线段$BM$长的最大值与最小值.

(1) 如图,连接AD,取AC的中点O,连接OD,OM.
∵△ABC是等边三角形,D是BC的中点,
∴AD⊥BC.
∵AM⊥CM,
∴∠ADC=∠AMC=90°.
∵OA=OC,
∴OD=OA=OC=OM.
∴A,D,C,M四点在同一个圆上.
(2) 如图,连接OB.
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=AC=BC=2,AO=OC=1.
∴BO⊥AC.
∴在Rt△ABO中,BO=$\sqrt{AB^2-AO^2}$=$\sqrt{2^2-1^2}$=$\sqrt{3}$.
∵由(1),得OM=OA=OC=1,OB-OM≤BM≤OB+OM,
∴$\sqrt{3}-1$≤BM≤$\sqrt{3}+1$.
∴线段BM长的最大值为$\sqrt{3}+1$,最小值为$\sqrt{3}-1$.

【分析】
第一问要证明四点共圆，我们可以利用“到同一定点距离相等的点共圆”的判定思路：首先等边三角形ABC中D是BC中点，由三线合一可得AD⊥BC，即∠ADC=90°，题目已知AM⊥CM，即∠AMC=90°，两个直角三角形共斜边AC，取AC中点O，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，可推出OA=OC=OD=OM，四个点到O点距离相等，即可证明四点共圆。
第二问求BM的最值，结合第一问的结论可知动点M的轨迹就是以O为圆心、OA为半径的圆，点到圆上点的距离最值为点到圆心的距离分别加、减半径，先算出等边三角形中BO的长度，代入即可得到BM的最大值和最小值。
【解析】
(1) 证明：连接AD，取AC的中点O，连接OD、OM。
∵ △ABC是等边三角形，D是BC的中点，
∴ 由等边三角形三线合一得AD⊥BC，即∠ADC=90°。
∵ AM⊥CM，
∴ ∠AMC=90°。
在Rt△ADC中，O是斜边AC中点，可得$OD=\frac{1}{2}AC=OA=OC$；
在Rt△AMC中，O是斜边AC中点，可得$OM=\frac{1}{2}AC=OA=OC$。
因此$OA=OC=OD=OM$，即A、D、C、M到点O的距离相等，故A,D,C,M四点在同一个圆上。
(2) 解：连接OB，
∵ △ABC是等边三角形，AB=2，
∴ $AB=AC=BC=2$，O是AC中点，故$AO=OC=1$，由三线合一得$BO⊥AC$。
在Rt△ABO中，由勾股定理得：
$BO=\sqrt{AB^2-AO^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
由(1)得圆O的半径$OM=1$，根据点与圆的位置关系性质：点到圆上任意点的距离满足$OB-OM≤BM≤OB+OM$，
代入得$\sqrt{3}-1≤BM≤\sqrt{3}+1$。
因此线段BM长的最大值为$\sqrt{3}+1$，最小值为$\sqrt{3}-1$。
【答案】
(1) 证明如上；(2) 最大值为$\sqrt{3}+1$，最小值为$\sqrt{3}-1$
【知识点】
四点共圆判定，隐圆最值，等边三角形性质
【点评】
本题是典型的隐圆类几何最值题型，第一问通过直角三角形斜边中线性质引导学生推导四点共圆，为第二问确定动点M的轨迹做铺垫，第二问利用点到圆上点的距离最值规律求解，既考察了基础几何性质，也锻炼了学生将动点问题转化为轨迹圆的思维能力，是圆相关几何题的经典考法。
【难度系数】
0.5