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三、解答题（共 50 分）
16. (14 分)已知 $y=y_1+y_2$，$y_1$ 与 $x^2$ 成正比例，$y_2$ 与 $x$ 成反比例，且当 $x=1$ 时，$y=3$；当 $x=-1$时，$y=1$。当 $x=-\dfrac{1}{2}$ 时，求 $y$ 的值。
16. (14 分)已知 $y=y_1+y_2$，$y_1$ 与 $x^2$ 成正比例，$y_2$ 与 $x$ 成反比例，且当 $x=1$ 时，$y=3$；当 $x=-1$时，$y=1$。当 $x=-\dfrac{1}{2}$ 时，求 $y$ 的值。
答案
16. 依题意，设$y_1=mx^2(m≠0)$，$y_2=\dfrac{n}{x}(n≠0)$.
∴ $y=mx^2+\dfrac{n}{x}$. 依题意，得$\begin{cases}m+n=3,\\m-n=1,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}m=2,\\n=1.\end{cases}$
∴ $y=2x^2+\dfrac{1}{x}$. 当$x=-\dfrac{1}{2}$时，$y=2×\dfrac{1}{4}-2=-\dfrac{3}{2}$.
∴ $y=mx^2+\dfrac{n}{x}$. 依题意，得$\begin{cases}m+n=3,\\m-n=1,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}m=2,\\n=1.\end{cases}$
∴ $y=2x^2+\dfrac{1}{x}$. 当$x=-\dfrac{1}{2}$时，$y=2×\dfrac{1}{4}-2=-\dfrac{3}{2}$.
解析
【分析】
这道题的核心是用待定系数法求解组合函数的解析式，再代入自变量求对应函数值。首先第一步，根据正比例、反比例的定义，分别设出$y_1$、$y_2$带未知比例系数的表达式，结合$y=y_1+y_2$得到$y$关于$x$的含两个未知参数的表达式；第二步，把题目给出的两组$x$、$y$的对应值代入这个表达式，得到关于两个未知参数的二元一次方程组，解方程组求出参数的具体数值，就能得到$y$和$x$的完整函数关系式；第三步，把要求的$x=-\dfrac{1}{2}$代入已经求出的解析式，直接计算就能得到对应的$y$值，计算过程要留意符号，避免出错。
【解析】
解：
1. 设定参数表达式
根据正比例、反比例的定义，设$y_1=mx^2\ (m≠0)$，$y_2=\dfrac{n}{x}\ (n≠0)$，
结合$y=y_1+y_2$，可得总函数表达式：$y=mx^2+\dfrac{n}{x}$。
2. 代入已知条件列方程组求解参数
将$x=1,y=3$和$x=-1,y=1$分别代入上述表达式：
当$x=1$时，$m·1^2 + \dfrac{n}{1}=3$，即$m+n=3$；
当$x=-1$时，$m·(-1)^2 + \dfrac{n}{-1}=1$，即$m-n=1$；
得到方程组：
$\begin{cases}m+n=3\\m-n=1\end{cases}$
两式相加得$2m=4$，解得$m=2$，将$m=2$代入$m+n=3$，解得$n=1$。
3. 得到完整函数解析式
把$m=2,n=1$代入$y=mx^2+\dfrac{n}{x}$，得$y=2x^2+\dfrac{1}{x}$。
4. 代入$x=-\dfrac{1}{2}$计算$y$值
将$x=-\dfrac{1}{2}$代入解析式：
$y=2×(-\dfrac{1}{2})^2 + \dfrac{1}{-\dfrac{1}{2}}=2×\dfrac{1}{4} - 2=\dfrac{1}{2}-2=-\dfrac{3}{2}$。
【答案】
$-\dfrac{3}{2}$
【知识点】
正比例函数定义，反比例函数定义，待定系数法求函数解析式
【点评】
本题属于函数章节的基础常规题型，重点考察对正反比例关系的理解和待定系数法的基本应用，解题逻辑清晰步骤明确，仅需要注意代入负数自变量计算时的符号问题，避免因符号失误丢分，是巩固待定系数法解题思路的典型习题。
【难度系数】
0.7
这道题的核心是用待定系数法求解组合函数的解析式，再代入自变量求对应函数值。首先第一步，根据正比例、反比例的定义，分别设出$y_1$、$y_2$带未知比例系数的表达式，结合$y=y_1+y_2$得到$y$关于$x$的含两个未知参数的表达式；第二步，把题目给出的两组$x$、$y$的对应值代入这个表达式，得到关于两个未知参数的二元一次方程组，解方程组求出参数的具体数值，就能得到$y$和$x$的完整函数关系式；第三步，把要求的$x=-\dfrac{1}{2}$代入已经求出的解析式，直接计算就能得到对应的$y$值，计算过程要留意符号，避免出错。
【解析】
解：
1. 设定参数表达式
根据正比例、反比例的定义，设$y_1=mx^2\ (m≠0)$，$y_2=\dfrac{n}{x}\ (n≠0)$，
结合$y=y_1+y_2$，可得总函数表达式：$y=mx^2+\dfrac{n}{x}$。
2. 代入已知条件列方程组求解参数
将$x=1,y=3$和$x=-1,y=1$分别代入上述表达式：
当$x=1$时，$m·1^2 + \dfrac{n}{1}=3$，即$m+n=3$；
当$x=-1$时，$m·(-1)^2 + \dfrac{n}{-1}=1$，即$m-n=1$；
得到方程组：
$\begin{cases}m+n=3\\m-n=1\end{cases}$
两式相加得$2m=4$，解得$m=2$，将$m=2$代入$m+n=3$，解得$n=1$。
3. 得到完整函数解析式
把$m=2,n=1$代入$y=mx^2+\dfrac{n}{x}$，得$y=2x^2+\dfrac{1}{x}$。
4. 代入$x=-\dfrac{1}{2}$计算$y$值
将$x=-\dfrac{1}{2}$代入解析式：
$y=2×(-\dfrac{1}{2})^2 + \dfrac{1}{-\dfrac{1}{2}}=2×\dfrac{1}{4} - 2=\dfrac{1}{2}-2=-\dfrac{3}{2}$。
【答案】
$-\dfrac{3}{2}$
【知识点】
正比例函数定义，反比例函数定义，待定系数法求函数解析式
【点评】
本题属于函数章节的基础常规题型，重点考察对正反比例关系的理解和待定系数法的基本应用，解题逻辑清晰步骤明确，仅需要注意代入负数自变量计算时的符号问题，避免因符号失误丢分，是巩固待定系数法解题思路的典型习题。
【难度系数】
0.7
17. (18 分) 如图, 在平面直角坐标系中, $O$ 为原点, 反比例函数 $y=\dfrac{k_1}{x}$ 与函数 $y=k_2(x+1)+3$ 的图象交于点 $A,B$. 已知 $k_1k_2≠0$, 点 $A$ 的横坐标是 $-1$, 点 $B$ 的纵坐标是 $-2$.
(1) 求 $k_1,k_2$ 的值.
(2) 过点 $A$ 作 $y$ 轴的垂线, 过点 $B$ 作 $x$ 轴的垂线, 在第一象限交于点 $C$, 过点 $A$ 作 $x$ 轴的垂线,过点 $B$ 作 $y$ 轴的垂线, 在第三象限交于点 $D$. 求证: $C,O,D$ 三点共线.
(1) 求 $k_1,k_2$ 的值.
(2) 过点 $A$ 作 $y$ 轴的垂线, 过点 $B$ 作 $x$ 轴的垂线, 在第一象限交于点 $C$, 过点 $A$ 作 $x$ 轴的垂线,过点 $B$ 作 $y$ 轴的垂线, 在第三象限交于点 $D$. 求证: $C,O,D$ 三点共线.
答案
17. (1) 对于$y=k_2(x+1)+3$，当$x=-1$时，$y=3$，
∴ 点A的坐标为$(-1,3)$.
∵ 点A在反比例函数$y=\dfrac{k_1}{x}$的图象上，
∴ $k_1=-1×3=-3$.
∴ 反比例函数的表达式为$y=-\dfrac{3}{x}$. 对于$y=-\dfrac{3}{x}$，当$y=-2$时，$x=\dfrac{3}{2}$，
∴ 点B的坐标为$(\dfrac{3}{2},-2)$. 将$B(\dfrac{3}{2},-2)$代入$y=k_2(x+1)+3$，得$-2=k_2×(\dfrac{3}{2}+1)+3$，解得$k_2=-2$.
∴ $k_1=-3$，$k_2=-2$.
(2) 由(1)，易得$C(\dfrac{3}{2},3)$，$D(-1,-2)$. 连接CD. 设直线CD对应的函数表达式为$y=kx+b$. 将$C(\dfrac{3}{2},3)$，$D(-1,-2)$代入，得$\begin{cases}\dfrac{3}{2}k+b=3,\\-k+b=-2,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=2,\\b=0.\end{cases}$
∴ 直线CD对应的函数表达式为$y=2x$. 对于$y=2x$，当$x=0$时，$y=0$，
∴ 坐标原点$O(0,0)$在直线CD上，即C，O，D三点共线.
∴ 点A的坐标为$(-1,3)$.
∵ 点A在反比例函数$y=\dfrac{k_1}{x}$的图象上，
∴ $k_1=-1×3=-3$.
∴ 反比例函数的表达式为$y=-\dfrac{3}{x}$. 对于$y=-\dfrac{3}{x}$，当$y=-2$时，$x=\dfrac{3}{2}$，
∴ 点B的坐标为$(\dfrac{3}{2},-2)$. 将$B(\dfrac{3}{2},-2)$代入$y=k_2(x+1)+3$，得$-2=k_2×(\dfrac{3}{2}+1)+3$，解得$k_2=-2$.
∴ $k_1=-3$，$k_2=-2$.
(2) 由(1)，易得$C(\dfrac{3}{2},3)$，$D(-1,-2)$. 连接CD. 设直线CD对应的函数表达式为$y=kx+b$. 将$C(\dfrac{3}{2},3)$，$D(-1,-2)$代入，得$\begin{cases}\dfrac{3}{2}k+b=3,\\-k+b=-2,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=2,\\b=0.\end{cases}$
∴ 直线CD对应的函数表达式为$y=2x$. 对于$y=2x$，当$x=0$时，$y=0$，
∴ 坐标原点$O(0,0)$在直线CD上，即C，O，D三点共线.
解析
【分析】
我们可以分两小问梳理解题思路：
1. 第一问求$k_1,k_2$：首先观察给定的一次函数$y=k_2(x+1)+3$，已知点A的横坐标为$-1$，将$x=-1$代入该式后$x+1=0$，y的取值和$k_2$无关，可直接得到点A的纵坐标，写出点A的完整坐标；再将点A代入反比例函数解析式，即可求出$k_1$，得到完整的反比例函数表达式；已知点B的纵坐标是$-2$，代入反比例函数就能算出点B的横坐标，得到点B的完整坐标；最后把点B代入一次函数表达式，就能解出$k_2$。
2. 第二问证明三点共线：先根据题中垂线的描述，直接得到C、D两点的坐标，再用待定系数法求出过C、D两点的直线解析式，验证原点$O(0,0)$的坐标是否满足该直线解析式，若满足就说明O在直线CD上，即可证明C、O、D三点共线。
【解析】
(1) 对于一次函数$y=k_2(x+1)+3$，将$x=-1$代入，可得$y=k_2×0+3=3$，
因此点A的坐标为$(-1,3)$。
因为点A在反比例函数$y=\dfrac{k_1}{x}$的图象上，代入坐标得：
$k_1 = -1× 3 = -3$，
因此反比例函数的表达式为$y=-\dfrac{3}{x}$。
将$y=-2$代入反比例函数$y=-\dfrac{3}{x}$，得$-2=-\dfrac{3}{x}$，解得$x=\dfrac{3}{2}$，
因此点B的坐标为$(\dfrac{3}{2},-2)$。
将$B(\dfrac{3}{2},-2)$代入$y=k_2(x+1)+3$，得：
$-2=k_2×(\dfrac{3}{2}+1)+3$，
整理得$\dfrac{5}{2}k_2=-5$，解得$k_2=-2$。
(2) 由(1)可知$A(-1,3)$，$B(\dfrac{3}{2},-2)$：
过A作y轴的垂线对应直线$y=3$，过B作x轴的垂线对应直线$x=\dfrac{3}{2}$，两线在第一象限的交点C坐标为$(\dfrac{3}{2},3)$；
过A作x轴的垂线对应直线$x=-1$，过B作y轴的垂线对应直线$y=-2$，两线在第三象限的交点D坐标为$(-1,-2)$。
设过C、D两点的直线解析式为$y=kx+b$，将两点坐标代入得方程组：
$\begin{cases}\dfrac{3}{2}k+b=3\\-k+b=-2\end{cases}$
用第一个方程减第二个方程，得$\dfrac{5}{2}k=5$，解得$k=2$，将$k=2$代入$-k+b=-2$，得$b=0$。
因此直线CD的解析式为$y=2x$，将$x=0$代入得$y=0$，说明原点$O(0,0)$满足该直线解析式，即点O在直线CD上，因此C，O，D三点共线。
【答案】
(1) $k_1=-3$，$k_2=-2$；(2) 已证得C,O,D三点共线。
【知识点】
待定系数法求函数解析式，反比例函数性质，三点共线判定
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的常规综合题，第一问的核心突破口是发现代入$x=-1$可直接得到点A的纵坐标，无需联立方程就简化了计算；第二问利用“函数图像上的点的坐标满足函数解析式”的核心性质证明共线，方法直观，重点考察学生对坐标和函数对应关系的掌握，没有设置复杂陷阱，属于中档基础综合题。
【难度系数】
0.7
我们可以分两小问梳理解题思路：
1. 第一问求$k_1,k_2$：首先观察给定的一次函数$y=k_2(x+1)+3$，已知点A的横坐标为$-1$，将$x=-1$代入该式后$x+1=0$，y的取值和$k_2$无关，可直接得到点A的纵坐标，写出点A的完整坐标；再将点A代入反比例函数解析式，即可求出$k_1$，得到完整的反比例函数表达式；已知点B的纵坐标是$-2$，代入反比例函数就能算出点B的横坐标，得到点B的完整坐标；最后把点B代入一次函数表达式，就能解出$k_2$。
2. 第二问证明三点共线：先根据题中垂线的描述，直接得到C、D两点的坐标，再用待定系数法求出过C、D两点的直线解析式，验证原点$O(0,0)$的坐标是否满足该直线解析式，若满足就说明O在直线CD上，即可证明C、O、D三点共线。
【解析】
(1) 对于一次函数$y=k_2(x+1)+3$，将$x=-1$代入，可得$y=k_2×0+3=3$，
因此点A的坐标为$(-1,3)$。
因为点A在反比例函数$y=\dfrac{k_1}{x}$的图象上，代入坐标得：
$k_1 = -1× 3 = -3$，
因此反比例函数的表达式为$y=-\dfrac{3}{x}$。
将$y=-2$代入反比例函数$y=-\dfrac{3}{x}$，得$-2=-\dfrac{3}{x}$，解得$x=\dfrac{3}{2}$，
因此点B的坐标为$(\dfrac{3}{2},-2)$。
将$B(\dfrac{3}{2},-2)$代入$y=k_2(x+1)+3$，得：
$-2=k_2×(\dfrac{3}{2}+1)+3$，
整理得$\dfrac{5}{2}k_2=-5$，解得$k_2=-2$。
(2) 由(1)可知$A(-1,3)$，$B(\dfrac{3}{2},-2)$：
过A作y轴的垂线对应直线$y=3$，过B作x轴的垂线对应直线$x=\dfrac{3}{2}$，两线在第一象限的交点C坐标为$(\dfrac{3}{2},3)$；
过A作x轴的垂线对应直线$x=-1$，过B作y轴的垂线对应直线$y=-2$，两线在第三象限的交点D坐标为$(-1,-2)$。
设过C、D两点的直线解析式为$y=kx+b$，将两点坐标代入得方程组：
$\begin{cases}\dfrac{3}{2}k+b=3\\-k+b=-2\end{cases}$
用第一个方程减第二个方程，得$\dfrac{5}{2}k=5$，解得$k=2$，将$k=2$代入$-k+b=-2$，得$b=0$。
因此直线CD的解析式为$y=2x$，将$x=0$代入得$y=0$，说明原点$O(0,0)$满足该直线解析式，即点O在直线CD上，因此C，O，D三点共线。
【答案】
(1) $k_1=-3$，$k_2=-2$；(2) 已证得C,O,D三点共线。
【知识点】
待定系数法求函数解析式，反比例函数性质，三点共线判定
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的常规综合题，第一问的核心突破口是发现代入$x=-1$可直接得到点A的纵坐标，无需联立方程就简化了计算；第二问利用“函数图像上的点的坐标满足函数解析式”的核心性质证明共线，方法直观，重点考察学生对坐标和函数对应关系的掌握，没有设置复杂陷阱，属于中档基础综合题。
【难度系数】
0.7
18.（18分）工匠制作某种金属工具要进行材料煅烧和锻造两个工序，即需要先将材料烧到$800\ °\mathrm{C}$，然后停止煅烧进行锻造操作. 如图，在煅烧时，温度$y(°\mathrm{C})$与时间$x(\min)$成一次函数关系；在锻造时，温度$y(°\mathrm{C})$与时间$x(\min)$成反比例函数关系. 已知该材料的初始温度是$32\ °\mathrm{C}$.
（1）分别求出材料在煅烧和锻造时$y$与$x$之间的函数表达式，并写出自变量$x$的取值范围.
（2）根据工艺要求，当材料温度低于$400\ °\mathrm{C}$时，须停止操作，那么每次锻造的操作时间最长是多久？
（3）如果加工每个零件需要锻造$12\ \min$，并且当材料温度低于$400\ °\mathrm{C}$时，需要重新煅烧，通过计算说明加工第一个零件一共需要多少分钟.
（1）分别求出材料在煅烧和锻造时$y$与$x$之间的函数表达式，并写出自变量$x$的取值范围.
（2）根据工艺要求，当材料温度低于$400\ °\mathrm{C}$时，须停止操作，那么每次锻造的操作时间最长是多久？
（3）如果加工每个零件需要锻造$12\ \min$，并且当材料温度低于$400\ °\mathrm{C}$时，需要重新煅烧，通过计算说明加工第一个零件一共需要多少分钟.
答案
18. (1) 材料在锻造时，设$y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$. 把$C(8,600)$代入，得$600=\dfrac{k}{8}$，解得$k=4800$.
∴ $y=\dfrac{4800}{x}$. 当$y=800$时，$\dfrac{4800}{x}=800$，解得$x=6$.
∴ 点B的坐标为$(6,800)$.
∴ 材料在锻造时，y与x之间的函数表达式为$y=\dfrac{4800}{x}(x＞6)$. 材料在煅烧时，设$y=ax+b(a≠0)$. 把$A(0,32)$，$B(6,800)$代入，得$\begin{cases}32=b,\\800=6a+b,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=128,\\b=32.\end{cases}$
∴ 材料在煅烧时，y与x之间的函数表达式为$y=128x+32(0≤ x≤6)$.
(2) 把$y=400$代入$y=\dfrac{4800}{x}$，得$400=\dfrac{4800}{x}$，解得$x=12$.
∵ $12-6=6(\min)$，
∴ 每次锻造的操作时间最长是6 min.
(3) 在$y=128x+32$中，当$y=400$时，$400=128x+32$，解得$x=\dfrac{23}{8}$.
∴ 从$400\ °\mathrm{C}$升到$800\ °\mathrm{C}$需要$6-\dfrac{23}{8}=\dfrac{25}{8}(\min)$.
∵ 加工每个零件需要锻造12 min，由(2)知，每次锻造的操作时间最长是6 min，
∴ 加工第一个零件需要锻造、煅烧两次.
∴ 加工第一个零件一共需要$12+\dfrac{25}{8}+6=\dfrac{169}{8}(\min)$.
∴ $y=\dfrac{4800}{x}$. 当$y=800$时，$\dfrac{4800}{x}=800$，解得$x=6$.
∴ 点B的坐标为$(6,800)$.
∴ 材料在锻造时，y与x之间的函数表达式为$y=\dfrac{4800}{x}(x＞6)$. 材料在煅烧时，设$y=ax+b(a≠0)$. 把$A(0,32)$，$B(6,800)$代入，得$\begin{cases}32=b,\\800=6a+b,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=128,\\b=32.\end{cases}$
∴ 材料在煅烧时，y与x之间的函数表达式为$y=128x+32(0≤ x≤6)$.
(2) 把$y=400$代入$y=\dfrac{4800}{x}$，得$400=\dfrac{4800}{x}$，解得$x=12$.
∵ $12-6=6(\min)$，
∴ 每次锻造的操作时间最长是6 min.
(3) 在$y=128x+32$中，当$y=400$时，$400=128x+32$，解得$x=\dfrac{23}{8}$.
∴ 从$400\ °\mathrm{C}$升到$800\ °\mathrm{C}$需要$6-\dfrac{23}{8}=\dfrac{25}{8}(\min)$.
∵ 加工每个零件需要锻造12 min，由(2)知，每次锻造的操作时间最长是6 min，
∴ 加工第一个零件需要锻造、煅烧两次.
∴ 加工第一个零件一共需要$12+\dfrac{25}{8}+6=\dfrac{169}{8}(\min)$.
解析
【分析】
解题思路分三步逐步推进：
1. 第一问先处理锻造阶段的反比例函数：已知锻造时y与x成反比例，且图像过点C(8,600)，代入即可求出反比例解析式；再将y=800代入反比例解析式，得到温度刚到800℃对应的x值，也就是点B的横坐标，得到B点坐标。接着煅烧阶段是一次函数，已知过点A(0,32)和刚求出的B点，代入待定系数法就能求出一次函数解析式，再根据两个阶段的分界点确定自变量的取值范围。
2. 第二问要求最长锻造操作时间，就是求温度降到400℃对应的总时间x，减去锻造开始的时刻x=6，差值就是最长可操作的时长。
3. 第三问要锻造12分钟，而单次最多只能锻造6分钟，说明中间需要重新把材料从400℃升温到800℃，先算出从400℃升到800℃需要的升温时长，再把总锻造时长、第一次升温到800的时长、中间补的升温时长加起来就是总时间。
【解析】
（1）先求解锻造阶段的函数：
设锻造时的反比例函数为$y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$，将点$C(8,600)$代入解析式：
$600=\dfrac{k}{8}$，解得$k=4800$，因此反比例函数为$y=\dfrac{4800}{x}$。
令$y=800$，代入反比例函数得$800=\dfrac{4800}{x}$，解得$x=6$，因此点B坐标为$(6,800)$。
所以锻造阶段的函数表达式为$y=\dfrac{4800}{x}$，自变量取值范围是$x＞6$。
再求解煅烧阶段的一次函数：
设煅烧时的一次函数为$y=ax+b(a≠0)$，将点$A(0,32)$和$B(6,800)$代入得方程组：
$\begin{cases}b=32\\6a+b=800\end{cases}$
将$b=32$代入第二个方程，得$6a=768$，解得$a=128$。
因此煅烧阶段的函数表达式为$y=128x+32$，自变量取值范围是$0≤ x≤6$。
（2）求最长锻造操作时间：
将$y=400$代入锻造的反比例函数$y=\dfrac{4800}{x}$，得$400=\dfrac{4800}{x}$，解得$x=12$。
锻造从$x=6$开始，因此最长操作时长为$12-6=6\ \mathrm{min}$。
（3）计算加工第一个零件的总时长：
将$y=400$代入煅烧的一次函数$y=128x+32$，得$400=128x+32$，解得$x=\dfrac{23}{8}$。
说明从初始温度32℃升到400℃需要$\dfrac{23}{8}\ \mathrm{min}$，因此从400℃升温到800℃需要的时间为$6-\dfrac{23}{8}=\dfrac{25}{8}\ \mathrm{min}$。
已知单次最长锻造时间为6min，要完成12min的锻造，需要进行两次锻造流程，第一次升温到800℃用时6min，第二次仅需要从400℃升温到800℃的$\dfrac{25}{8}\ \mathrm{min}$，总时长为：
$12 + 6 + \dfrac{25}{8} =\dfrac{169}{8}\ \mathrm{min}$。
【答案】
(1) 煅烧时：$y=128x+32\ (0≤ x≤6)$；锻造时：$y=\dfrac{4800}{x}\ (x＞6)$
(2) 每次锻造的操作时间最长是$6\ \mathrm{min}$
(3) 加工第一个零件一共需要$\dfrac{169}{8}\ \mathrm{min}$
【知识点】
一次函数实际应用
反比例函数实际应用
分段函数
【点评】
本题结合金属加工的实际场景考察分段函数的待定系数法求解与实际意义应用，前两问难度较低，第三问需要学生结合工艺要求理解“重新煅烧”的含义，避免错误认为每次重新煅烧都要从32℃开始升温，是本题的易错点，能有效考察学生对函数实际应用的理解能力。
【难度系数】
0.4
解题思路分三步逐步推进：
1. 第一问先处理锻造阶段的反比例函数：已知锻造时y与x成反比例，且图像过点C(8,600)，代入即可求出反比例解析式；再将y=800代入反比例解析式，得到温度刚到800℃对应的x值，也就是点B的横坐标，得到B点坐标。接着煅烧阶段是一次函数，已知过点A(0,32)和刚求出的B点，代入待定系数法就能求出一次函数解析式，再根据两个阶段的分界点确定自变量的取值范围。
2. 第二问要求最长锻造操作时间，就是求温度降到400℃对应的总时间x，减去锻造开始的时刻x=6，差值就是最长可操作的时长。
3. 第三问要锻造12分钟，而单次最多只能锻造6分钟，说明中间需要重新把材料从400℃升温到800℃，先算出从400℃升到800℃需要的升温时长，再把总锻造时长、第一次升温到800的时长、中间补的升温时长加起来就是总时间。
【解析】
（1）先求解锻造阶段的函数：
设锻造时的反比例函数为$y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$，将点$C(8,600)$代入解析式：
$600=\dfrac{k}{8}$，解得$k=4800$，因此反比例函数为$y=\dfrac{4800}{x}$。
令$y=800$，代入反比例函数得$800=\dfrac{4800}{x}$，解得$x=6$，因此点B坐标为$(6,800)$。
所以锻造阶段的函数表达式为$y=\dfrac{4800}{x}$，自变量取值范围是$x＞6$。
再求解煅烧阶段的一次函数：
设煅烧时的一次函数为$y=ax+b(a≠0)$，将点$A(0,32)$和$B(6,800)$代入得方程组：
$\begin{cases}b=32\\6a+b=800\end{cases}$
将$b=32$代入第二个方程，得$6a=768$，解得$a=128$。
因此煅烧阶段的函数表达式为$y=128x+32$，自变量取值范围是$0≤ x≤6$。
（2）求最长锻造操作时间：
将$y=400$代入锻造的反比例函数$y=\dfrac{4800}{x}$，得$400=\dfrac{4800}{x}$，解得$x=12$。
锻造从$x=6$开始，因此最长操作时长为$12-6=6\ \mathrm{min}$。
（3）计算加工第一个零件的总时长：
将$y=400$代入煅烧的一次函数$y=128x+32$，得$400=128x+32$，解得$x=\dfrac{23}{8}$。
说明从初始温度32℃升到400℃需要$\dfrac{23}{8}\ \mathrm{min}$，因此从400℃升温到800℃需要的时间为$6-\dfrac{23}{8}=\dfrac{25}{8}\ \mathrm{min}$。
已知单次最长锻造时间为6min，要完成12min的锻造，需要进行两次锻造流程，第一次升温到800℃用时6min，第二次仅需要从400℃升温到800℃的$\dfrac{25}{8}\ \mathrm{min}$，总时长为：
$12 + 6 + \dfrac{25}{8} =\dfrac{169}{8}\ \mathrm{min}$。
【答案】
(1) 煅烧时：$y=128x+32\ (0≤ x≤6)$；锻造时：$y=\dfrac{4800}{x}\ (x＞6)$
(2) 每次锻造的操作时间最长是$6\ \mathrm{min}$
(3) 加工第一个零件一共需要$\dfrac{169}{8}\ \mathrm{min}$
【知识点】
一次函数实际应用
反比例函数实际应用
分段函数
【点评】
本题结合金属加工的实际场景考察分段函数的待定系数法求解与实际意义应用，前两问难度较低，第三问需要学生结合工艺要求理解“重新煅烧”的含义，避免错误认为每次重新煅烧都要从32℃开始升温，是本题的易错点，能有效考察学生对函数实际应用的理解能力。
【难度系数】
0.4
