登录
8. 在做功$W(\mathrm{J})$一定的条件下,功率$P(\mathrm{W})$与做功时间$t(\mathrm{s})$成反比例,$P$与$t$之间的函数关系如图所示.当$t ≥ 25$时,$P$的取值范围是（
A.$P ＜ 48$
B.$P ＞ 48$
C.$0 ＜ P ≤ 48$
D.$48 ≤ P ≤ 60$
C
）A.$P ＜ 48$
B.$P ＞ 48$
C.$0 ＜ P ≤ 48$
D.$48 ≤ P ≤ 60$
答案
8. C
∵ 在做功W(J)一定的条件下，功率P(W)与做功时间t(s)成反比例，
∴ 可设$P=\dfrac{W}{t}(t＞0,W≠0)$.
∵ 图象过点$(60,20)$，
∴ $W=60×20=1200$.
∴ $P=\dfrac{1200}{t}$.
∵ 结合图象可知，当$t＞0$时，P随t的增大而减小，且$t=25$时，$P=\dfrac{1200}{25}=48$.
∴ 当$t≥25$时，$0＜P≤48$.
∵ 在做功W(J)一定的条件下，功率P(W)与做功时间t(s)成反比例，
∴ 可设$P=\dfrac{W}{t}(t＞0,W≠0)$.
∵ 图象过点$(60,20)$，
∴ $W=60×20=1200$.
∴ $P=\dfrac{1200}{t}$.
∵ 结合图象可知，当$t＞0$时，P随t的增大而减小，且$t=25$时，$P=\dfrac{1200}{25}=48$.
∴ 当$t≥25$时，$0＜P≤48$.
解析
【分析】
我们可以按照以下思路逐步解题：首先题目明确说明做功W一定时，功率P和做功时间t成反比例，因此先设出反比例函数的通用形式$P=\frac{W}{t}$；接着利用图像给出的已知点(60,20)代入函数，就能求出恒定的做功W的数值，得到完整的函数解析式；之后结合k＞0的反比例函数在t＞0区间内，P随t增大而减小的性质，先算出t=25对应的P值，再结合t≥25的条件，同时考虑实际场景中功率必然为正的隐含要求，就能推导出P的取值范围。
【解析】
1. 设定函数解析式：根据反比例关系的定义，设功率与时间的函数为$P=\frac{W}{t}\ (t＞0,W≠0)$，其中W为恒定的总功。
2. 代入已知点求W：由图像可知函数经过点$(60,20)$，将t=60、P=20代入解析式，可得$20=\frac{W}{60}$，计算得$W=60×20=1200$，因此完整的函数表达式为$P=\frac{1200}{t}\ (t＞0)$。
3. 结合性质推导取值范围：该反比例函数的比例系数k=1200＞0，因此在t＞0的区间内，P随t的增大而单调递减。将t=25代入解析式，得$P=\frac{1200}{25}=48$。当t≥25时，t越大P越小，且实际场景中功率P必然大于0，因此可得$0＜P≤48$。
【答案】C
【知识点】反比例函数应用，反比例函数性质
【点评】本题结合物理功和功率的实际场景考查反比例函数的应用，核心考点是利用已知点确定反比例解析式，再通过反比例函数的增减性推导对应取值范围，需要注意实际问题中变量的正取值隐含限制，避免遗漏P＞0的条件。
【难度系数】0.7
我们可以按照以下思路逐步解题：首先题目明确说明做功W一定时，功率P和做功时间t成反比例，因此先设出反比例函数的通用形式$P=\frac{W}{t}$；接着利用图像给出的已知点(60,20)代入函数，就能求出恒定的做功W的数值，得到完整的函数解析式；之后结合k＞0的反比例函数在t＞0区间内，P随t增大而减小的性质，先算出t=25对应的P值，再结合t≥25的条件，同时考虑实际场景中功率必然为正的隐含要求，就能推导出P的取值范围。
【解析】
1. 设定函数解析式：根据反比例关系的定义，设功率与时间的函数为$P=\frac{W}{t}\ (t＞0,W≠0)$，其中W为恒定的总功。
2. 代入已知点求W：由图像可知函数经过点$(60,20)$，将t=60、P=20代入解析式，可得$20=\frac{W}{60}$，计算得$W=60×20=1200$，因此完整的函数表达式为$P=\frac{1200}{t}\ (t＞0)$。
3. 结合性质推导取值范围：该反比例函数的比例系数k=1200＞0，因此在t＞0的区间内，P随t的增大而单调递减。将t=25代入解析式，得$P=\frac{1200}{25}=48$。当t≥25时，t越大P越小，且实际场景中功率P必然大于0，因此可得$0＜P≤48$。
【答案】C
【知识点】反比例函数应用，反比例函数性质
【点评】本题结合物理功和功率的实际场景考查反比例函数的应用，核心考点是利用已知点确定反比例解析式，再通过反比例函数的增减性推导对应取值范围，需要注意实际问题中变量的正取值隐含限制，避免遗漏P＞0的条件。
【难度系数】0.7
9. 如图,正比例函数$y=mx$、一次函数$y=ax+b$和反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象在同一平面直角坐标系中.若$\dfrac{k}{x}＞mx＞ax+b$,则自变量$x$的取值范围是（
A.$x＜-1$
B.$-0.5＜x＜0$或$x＞1$
C.$0＜x＜1$
D.$x＜-1$或$0＜x＜1$
D
）A.$x＜-1$
B.$-0.5＜x＜0$或$x＞1$
C.$0＜x＜1$
D.$x＜-1$或$0＜x＜1$
答案
9. D 由题图可知，当$x＜-1$或$0＜x＜1$时，反比例函数图象在正比例函数图象的上方，正比例函数图象在一次函数图象的上方，即$\dfrac{k}{x}＞mx＞ax+b$.
∴ 若$\dfrac{k}{x}＞mx＞ax+b$，则自变量x的取值范围是$x＜-1$或$0＜x＜1$.
∴ 若$\dfrac{k}{x}＞mx＞ax+b$，则自变量x的取值范围是$x＜-1$或$0＜x＜1$.
解析
【分析】
这是一道利用函数图像求解复合不等式的题目，不需要计算三个函数的具体解析式，核心思路是：同一横坐标x处，图像位置越靠上，对应的函数值就越大。我们可以把不等式$\frac{k}{x}＞mx＞ax+b$拆分为两个独立的不等式：①反比例函数值大于正比例函数值，②正比例函数值大于一次函数值，先分别找到两个不等式对应的x的取值范围，再取两个范围的公共部分，就能得到最终解集，同时注意反比例函数定义域x≠0，分x＞0和x＜0两个区域观察图像，避免漏解。
【解析】
解：我们通过图像的上下位置关系判断函数值的大小：
1. 求解$\frac{k}{x}＞mx$对应的x范围：
由图可知反比例函数$y=\frac{k}{x}$和正比例函数$y=mx$的两个交点横坐标为$x=-1$和$x=1$，观察图像可得：当$x＜-1$或$0＜x＜1$时，反比例函数图像在正比例函数图像上方，满足$\frac{k}{x}＞mx$。
2. 求解$mx＞ax+b$对应的x范围：
由图可知正比例函数$y=mx$和一次函数$y=ax+b$的交点横坐标为$x=1$，观察图像可得：当$x＜1$时，正比例函数图像在一次函数图像上方，满足$mx＞ax+b$。
3. 取两个范围的公共部分：
同时满足两个不等式的自变量x的取值范围是$x＜-1$或$0＜x＜1$。
【答案】D
【知识点】函数与不等式，反比例函数图像，一次函数图像
【点评】本题考查数形结合解不等式的思路，规避了复杂的代数运算，核心是理解图像高低和函数值大小的对应关系，解题时容易遗漏第三象限的区间，不少学生只关注第一象限的图像会错选C选项。
【难度系数】0.6
这是一道利用函数图像求解复合不等式的题目，不需要计算三个函数的具体解析式，核心思路是：同一横坐标x处，图像位置越靠上，对应的函数值就越大。我们可以把不等式$\frac{k}{x}＞mx＞ax+b$拆分为两个独立的不等式：①反比例函数值大于正比例函数值，②正比例函数值大于一次函数值，先分别找到两个不等式对应的x的取值范围，再取两个范围的公共部分，就能得到最终解集，同时注意反比例函数定义域x≠0，分x＞0和x＜0两个区域观察图像，避免漏解。
【解析】
解：我们通过图像的上下位置关系判断函数值的大小：
1. 求解$\frac{k}{x}＞mx$对应的x范围：
由图可知反比例函数$y=\frac{k}{x}$和正比例函数$y=mx$的两个交点横坐标为$x=-1$和$x=1$，观察图像可得：当$x＜-1$或$0＜x＜1$时，反比例函数图像在正比例函数图像上方，满足$\frac{k}{x}＞mx$。
2. 求解$mx＞ax+b$对应的x范围：
由图可知正比例函数$y=mx$和一次函数$y=ax+b$的交点横坐标为$x=1$，观察图像可得：当$x＜1$时，正比例函数图像在一次函数图像上方，满足$mx＞ax+b$。
3. 取两个范围的公共部分：
同时满足两个不等式的自变量x的取值范围是$x＜-1$或$0＜x＜1$。
【答案】D
【知识点】函数与不等式，反比例函数图像，一次函数图像
【点评】本题考查数形结合解不等式的思路，规避了复杂的代数运算，核心是理解图像高低和函数值大小的对应关系，解题时容易遗漏第三象限的区间，不少学生只关注第一象限的图像会错选C选项。
【难度系数】0.6
10. 如图,在平面直角坐标系中,直线 $y=2x-3$ 与 $x$ 轴交于点 $B$,与 $y$ 轴交于点 $A$,函数 $y=\dfrac{k}{x}(k ≠ 0,x＞0)$ 的图象与直线 $y=2x-3$ 交于点 $C$,且 $BC=AB$,则 $k$ 的值为（
A.$\dfrac{9}{4}$
B.$\dfrac{9}{2}$
C.$9$
D.$12$
C
）A.$\dfrac{9}{4}$
B.$\dfrac{9}{2}$
C.$9$
D.$12$
答案
10. C 过点C作$CD⊥ x$轴于点D，
∴ $∠ CDB=∠ AOB=90°$. 对于$y=2x-3$，当$x=0$时，$y=-3$，当$y=0$时，$x=1.5$，
∴ 直线$y=2x-3$与x轴的交点B的坐标为$(1.5,0)$，与y轴的交点A的坐标为$(0,-3)$.
∴ $OA=3$，$OB=1.5$. 在$△ CDB$和$△ AOB$中，$\begin{cases}∠ CDB=∠ AOB=90°,\\∠ CBD=∠ ABO,\\BC=BA,\end{cases}$
∴ $△ CDB≌△ AOB(\mathrm{AAS})$.
∴ $CD=OA=3$，$BD=OB=1.5$.
∴ $OD=OB+BD=3$.
∴ 点C的坐标为$(3,3)$.
∵ 点C在函数$y=\dfrac{k}{x}(k≠0,x＞0)$的图象上，
∴ $k=3×3=9$.
∴ $∠ CDB=∠ AOB=90°$. 对于$y=2x-3$，当$x=0$时，$y=-3$，当$y=0$时，$x=1.5$，
∴ 直线$y=2x-3$与x轴的交点B的坐标为$(1.5,0)$，与y轴的交点A的坐标为$(0,-3)$.
∴ $OA=3$，$OB=1.5$. 在$△ CDB$和$△ AOB$中，$\begin{cases}∠ CDB=∠ AOB=90°,\\∠ CBD=∠ ABO,\\BC=BA,\end{cases}$
∴ $△ CDB≌△ AOB(\mathrm{AAS})$.
∴ $CD=OA=3$，$BD=OB=1.5$.
∴ $OD=OB+BD=3$.
∴ 点C的坐标为$(3,3)$.
∵ 点C在函数$y=\dfrac{k}{x}(k≠0,x＞0)$的图象上，
∴ $k=3×3=9$.
解析
【分析】
我们可以按三步梳理解题思路：第一步，先根据给出的一次函数解析式，求出它和y轴、x轴的交点A、B的坐标，直接得到OA、OB的长度；第二步，题目给出BC=AB的条件，我们过点C作x轴的垂线CD，构造出和△AOB全等的△CDB，利用AAS全等判定，就能对应得到CD和BD的长度，进而直接算出点C的横、纵坐标，比联立两个函数方程求解更简便直观；第三步，把求出的点C坐标代入反比例函数解析式，就能直接计算得到k的值。
【解析】
解：1. 求A、B两点坐标
对于直线$y=2x-3$：
令$x=0$，得$y=-3$，因此A点坐标为$(0,-3)$，可得$OA=3$；
令$y=0$，得$2x-3=0$，解得$x=1.5$，因此B点坐标为$(1.5,0)$，可得$OB=1.5$。
2. 构造全等三角形求C点坐标
过点C作$CD⊥ x$轴于点D，可得$∠CDB=∠AOB=90°$。
在$△ CDB$和$△ AOB$中：
$\begin{cases}∠ CDB=∠ AOB=90°\\∠ CBD=∠ ABO\\BC=BA\end{cases}$
因此$△ CDB≌△ AOB(\mathrm{AAS})$。
由全等性质得：$CD=OA=3$，$BD=OB=1.5$。
因此$OD=OB+BD=1.5+1.5=3$，即点C的横坐标为3，纵坐标为CD=3，得到C点坐标为$(3,3)$。
3. 计算k的值
因为点C在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(k≠0,x＞0)$的图象上，将$C(3,3)$代入解析式得：
$3=\dfrac{k}{3}$，解得$k=3×3=9$。
【答案】C
【知识点】一次函数交点、全等三角形判定、反比例函数解析式
【点评】本题是一次函数与反比例函数的综合基础题，通过构造全等三角形将线段长度直接转化为点的坐标，避免了联立方程的复杂计算，考察了学生对坐标几何中线段与坐标互相转化的能力，解题思路清晰，步骤连贯性强。
【难度系数】0.7
我们可以按三步梳理解题思路：第一步，先根据给出的一次函数解析式，求出它和y轴、x轴的交点A、B的坐标，直接得到OA、OB的长度；第二步，题目给出BC=AB的条件，我们过点C作x轴的垂线CD，构造出和△AOB全等的△CDB，利用AAS全等判定，就能对应得到CD和BD的长度，进而直接算出点C的横、纵坐标，比联立两个函数方程求解更简便直观；第三步，把求出的点C坐标代入反比例函数解析式，就能直接计算得到k的值。
【解析】
解：1. 求A、B两点坐标
对于直线$y=2x-3$：
令$x=0$，得$y=-3$，因此A点坐标为$(0,-3)$，可得$OA=3$；
令$y=0$，得$2x-3=0$，解得$x=1.5$，因此B点坐标为$(1.5,0)$，可得$OB=1.5$。
2. 构造全等三角形求C点坐标
过点C作$CD⊥ x$轴于点D，可得$∠CDB=∠AOB=90°$。
在$△ CDB$和$△ AOB$中：
$\begin{cases}∠ CDB=∠ AOB=90°\\∠ CBD=∠ ABO\\BC=BA\end{cases}$
因此$△ CDB≌△ AOB(\mathrm{AAS})$。
由全等性质得：$CD=OA=3$，$BD=OB=1.5$。
因此$OD=OB+BD=1.5+1.5=3$，即点C的横坐标为3，纵坐标为CD=3，得到C点坐标为$(3,3)$。
3. 计算k的值
因为点C在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(k≠0,x＞0)$的图象上，将$C(3,3)$代入解析式得：
$3=\dfrac{k}{3}$，解得$k=3×3=9$。
【答案】C
【知识点】一次函数交点、全等三角形判定、反比例函数解析式
【点评】本题是一次函数与反比例函数的综合基础题，通过构造全等三角形将线段长度直接转化为点的坐标，避免了联立方程的复杂计算，考察了学生对坐标几何中线段与坐标互相转化的能力，解题思路清晰，步骤连贯性强。
【难度系数】0.7
二、填空题(每小题4分,共20分)
11. 设函数 $y=\dfrac{1}{x}$ 与 $y=x-1$ 的图象的交点坐标为 $(a,b)$,则 $\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}$ 的值为
11. 设函数 $y=\dfrac{1}{x}$ 与 $y=x-1$ 的图象的交点坐标为 $(a,b)$,则 $\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}$ 的值为
-1
.答案
11. $-1$
∵ 函数$y=\dfrac{1}{x}$与$y=x-1$的图象的交点坐标为$(a,b)$，
∴ $ab=1$，$b-a=-1$.
∴ $\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}=\dfrac{b-a}{ab}=\dfrac{-1}{1}=-1$.
∵ 函数$y=\dfrac{1}{x}$与$y=x-1$的图象的交点坐标为$(a,b)$，
∴ $ab=1$，$b-a=-1$.
∴ $\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}=\dfrac{b-a}{ab}=\dfrac{-1}{1}=-1$.
解析
【分析】
首先，两个函数图象的交点坐标同时满足两个函数的解析式，因此我们可以将交点$(a,b)$分别代入两个函数的表达式，得到关于$a$、$b$的两个等量关系。接下来观察待求的代数式$\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}$，对它做通分变形后，刚好可以用前面得到的两个等量关系整体代入计算，不需要额外求解$a$、$b$的具体数值，大幅简化运算过程。
【解析】
解：
∵ 函数$y=\dfrac{1}{x}$与$y=x-1$的图象的交点坐标为$(a,b)$，
∴ 将$(a,b)$代入两个函数解析式可得：
$b=\dfrac{1}{a}$，整理得 $ab=1$；
$b=a-1$，移项整理得 $b-a=-1$。
对待求式通分变形：
$\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}=\dfrac{b}{ab}-\dfrac{a}{ab}=\dfrac{b-a}{ab}$，
将$ab=1$，$b-a=-1$代入上式：
原式$=\dfrac{-1}{1}=-1$。
【答案】
$-1$
【知识点】
函数交点的意义；分式通分化简；整体代入求值
【点评】
本题没有要求解出$a$、$b$的具体数值，通过整体代换的思路就能快速得到结果，既考察了对函数交点概念的掌握，也引导学生在代数式求值类题目中优先观察式子特征，选择更简便的整体代入方法，避免复杂的二次方程求解运算。
【难度系数】
0.7
首先，两个函数图象的交点坐标同时满足两个函数的解析式，因此我们可以将交点$(a,b)$分别代入两个函数的表达式，得到关于$a$、$b$的两个等量关系。接下来观察待求的代数式$\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}$，对它做通分变形后，刚好可以用前面得到的两个等量关系整体代入计算，不需要额外求解$a$、$b$的具体数值，大幅简化运算过程。
【解析】
解：
∵ 函数$y=\dfrac{1}{x}$与$y=x-1$的图象的交点坐标为$(a,b)$，
∴ 将$(a,b)$代入两个函数解析式可得：
$b=\dfrac{1}{a}$，整理得 $ab=1$；
$b=a-1$，移项整理得 $b-a=-1$。
对待求式通分变形：
$\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}=\dfrac{b}{ab}-\dfrac{a}{ab}=\dfrac{b-a}{ab}$，
将$ab=1$，$b-a=-1$代入上式：
原式$=\dfrac{-1}{1}=-1$。
【答案】
$-1$
【知识点】
函数交点的意义；分式通分化简；整体代入求值
【点评】
本题没有要求解出$a$、$b$的具体数值，通过整体代换的思路就能快速得到结果，既考察了对函数交点概念的掌握，也引导学生在代数式求值类题目中优先观察式子特征，选择更简便的整体代入方法，避免复杂的二次方程求解运算。
【难度系数】
0.7
12. 已知反比例函数的表达式为$y=\dfrac{2}{x}$，则当$x＜-1$时，$y$的取值范围是
$-2＜y＜0$
。答案
12. $-2＜y＜0$
∵ 反比例函数的表达式为$y=\dfrac{2}{x}$，$2＞0$，
∴ 此函数的图象位于第一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小.
∵ 当$x=-1$时，$y=-2$，
∴ 当$x＜-1$时，$-2＜y＜0$.
∵ 反比例函数的表达式为$y=\dfrac{2}{x}$，$2＞0$，
∴ 此函数的图象位于第一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小.
∵ 当$x=-1$时，$y=-2$，
∴ 当$x＜-1$时，$-2＜y＜0$.
解析
【分析】
我们要解决给定x范围求反比例函数y取值范围的问题，第一步先观察反比例函数的比例系数k的正负，判断函数图象所在象限以及增减性；第二步代入边界x=-1算出对应的y值，再结合已知条件x＜-1，确定此时所有点都落在第三象限，y必然小于0，再结合函数在第三象限y随x增大而减小的性质，推出y的下限，最终得到完整的y的取值范围。要注意不能直接对不等式x＜-1两边盲目变形，忽略x为负数的前提，避免漏掉y＜0的限制。
【解析】
解：
1. 判断反比例函数的基本性质：
已知反比例函数$y=\dfrac{2}{x}$中，比例系数$k=2＞0$，因此该函数的图象分布在第一、第三象限，且在每一个象限内，y随x的增大而减小。
2. 确定自变量对应的图象区域：
由$x＜-1＜0$可知，满足条件的所有点都位于第三象限，第三象限内点的纵坐标恒小于0，即$y＜0$。
3. 代入边界值计算：
将$x=-1$代入函数表达式，可得$y=\dfrac{2}{-1}=-2$。
由于第三象限内y随x的增大而减小，因此当$x＜-1$时，对应的y值大于x=-1时的函数值，即$y＞-2$。
4. 综合两个约束条件，可得y的取值范围为$-2＜y＜0$。
【答案】
$-2＜y＜0$
【知识点】
反比例函数图象性质，反比例函数增减性
【点评】
本题是反比例函数的基础题型，核心考查给定自变量取值范围求对应函数值范围的能力，易错点是忽略x＜0时点落在第三象限，仅推导得到y＞-2后遗漏y＜0的限制，解题时要先根据自变量的正负判断点所在的象限，再结合增减性推导取值范围，避免出现范围缺漏的错误。
【难度系数】
0.7
我们要解决给定x范围求反比例函数y取值范围的问题，第一步先观察反比例函数的比例系数k的正负，判断函数图象所在象限以及增减性；第二步代入边界x=-1算出对应的y值，再结合已知条件x＜-1，确定此时所有点都落在第三象限，y必然小于0，再结合函数在第三象限y随x增大而减小的性质，推出y的下限，最终得到完整的y的取值范围。要注意不能直接对不等式x＜-1两边盲目变形，忽略x为负数的前提，避免漏掉y＜0的限制。
【解析】
解：
1. 判断反比例函数的基本性质：
已知反比例函数$y=\dfrac{2}{x}$中，比例系数$k=2＞0$，因此该函数的图象分布在第一、第三象限，且在每一个象限内，y随x的增大而减小。
2. 确定自变量对应的图象区域：
由$x＜-1＜0$可知，满足条件的所有点都位于第三象限，第三象限内点的纵坐标恒小于0，即$y＜0$。
3. 代入边界值计算：
将$x=-1$代入函数表达式，可得$y=\dfrac{2}{-1}=-2$。
由于第三象限内y随x的增大而减小，因此当$x＜-1$时，对应的y值大于x=-1时的函数值，即$y＞-2$。
4. 综合两个约束条件，可得y的取值范围为$-2＜y＜0$。
【答案】
$-2＜y＜0$
【知识点】
反比例函数图象性质，反比例函数增减性
【点评】
本题是反比例函数的基础题型，核心考查给定自变量取值范围求对应函数值范围的能力，易错点是忽略x＜0时点落在第三象限，仅推导得到y＞-2后遗漏y＜0的限制，解题时要先根据自变量的正负判断点所在的象限，再结合增减性推导取值范围，避免出现范围缺漏的错误。
【难度系数】
0.7
13. 如图,矩形 $ABCD$ 的边 $AB$ 在 $y$ 轴的正半轴上,$AB=3$,$BC=4$,函数 $y=\dfrac{k}{x}(x＞0)$ 的图象经过点 $C$ 和边 $AD$ 的中点 $E$,则 $k$ 的值为
12
.答案
13. 12 由题意，得E是边AD的中点，$AD=BC=4$，
∴ $AE=2$.
∴ $E(2,\dfrac{k}{2})$.
∵ $AB=3$，
∴ 易得$C(4,\dfrac{k}{2}-3)$.
∵ 点C在函数$y=\dfrac{k}{x}(x＞0)$的图象上，
∴ $4(\dfrac{k}{2}-3)=k$.
∴ $k=12$.
∴ $AE=2$.
∴ $E(2,\dfrac{k}{2})$.
∵ $AB=3$，
∴ 易得$C(4,\dfrac{k}{2}-3)$.
∵ 点C在函数$y=\dfrac{k}{x}(x＞0)$的图象上，
∴ $4(\dfrac{k}{2}-3)=k$.
∴ $k=12$.
解析
【分析】
这道题是反比例函数与矩形性质结合的问题，解题思路如下：
1. 先利用矩形对边相等的性质，得到AD=BC=4，因为E是AD的中点，所以AE=2，由此可以确定E点的横坐标为2；
2. 由于点E在反比例函数y=k/x上，将x=2代入函数，就可以用含k的代数式表示出E点的纵坐标，同时也得到了A点的纵坐标；
3. 已知AB=3，结合AB在y轴上的位置关系，可以推出B点的纵坐标比A点小3，而BC是水平线段，点C的纵坐标和B点相同，同时BC=4，所以C点的横坐标为4，这样就可以用含k的代数式表示出C点的坐标；
4. 最后利用点C也在反比例函数上，满足xy=k的性质，列出关于k的一元一次方程，解方程就能求出k的值。
【解析】
解：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AD=BC=4，AD//x轴，AB//y轴。
∵ E是AD的中点，
∴ AE = $\frac{1}{2}$AD = 2。
由A在y轴上，AE=2，可得E点的横坐标为2，
又
∵ E在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上，
代入x=2得E的纵坐标为$\frac{k}{2}$，即$E(2, \frac{k}{2})$。
∵ AB=3，A点纵坐标与E点纵坐标相等，
∴ B点的纵坐标为$\frac{k}{2} - 3$，
又
∵ BC=4，BC平行于x轴，
∴ 点C的横坐标为4，纵坐标与B点相等，即$C(4, \frac{k}{2} - 3)$。
∵ 点C也在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上，
根据反比例函数上点的横纵坐标乘积等于k，可得：
$4×(\frac{k}{2} - 3) = k$
展开计算得：$2k - 12 = k$
移项解得：$k=12$。
【答案】
12
【知识点】
反比例函数坐标特征，矩形的性质
【点评】
本题属于反比例函数与几何图形结合的基础题型，核心技巧是不需要额外设置多余参数，直接利用反比例函数上点的坐标特征，用含k的代数式表示两个点的坐标，再结合矩形的边长关系建立方程求解，有效降低了计算复杂度，重点考察了学生数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.6
这道题是反比例函数与矩形性质结合的问题，解题思路如下：
1. 先利用矩形对边相等的性质，得到AD=BC=4，因为E是AD的中点，所以AE=2，由此可以确定E点的横坐标为2；
2. 由于点E在反比例函数y=k/x上，将x=2代入函数，就可以用含k的代数式表示出E点的纵坐标，同时也得到了A点的纵坐标；
3. 已知AB=3，结合AB在y轴上的位置关系，可以推出B点的纵坐标比A点小3，而BC是水平线段，点C的纵坐标和B点相同，同时BC=4，所以C点的横坐标为4，这样就可以用含k的代数式表示出C点的坐标；
4. 最后利用点C也在反比例函数上，满足xy=k的性质，列出关于k的一元一次方程，解方程就能求出k的值。
【解析】
解：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AD=BC=4，AD//x轴，AB//y轴。
∵ E是AD的中点，
∴ AE = $\frac{1}{2}$AD = 2。
由A在y轴上，AE=2，可得E点的横坐标为2，
又
∵ E在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上，
代入x=2得E的纵坐标为$\frac{k}{2}$，即$E(2, \frac{k}{2})$。
∵ AB=3，A点纵坐标与E点纵坐标相等，
∴ B点的纵坐标为$\frac{k}{2} - 3$，
又
∵ BC=4，BC平行于x轴，
∴ 点C的横坐标为4，纵坐标与B点相等，即$C(4, \frac{k}{2} - 3)$。
∵ 点C也在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上，
根据反比例函数上点的横纵坐标乘积等于k，可得：
$4×(\frac{k}{2} - 3) = k$
展开计算得：$2k - 12 = k$
移项解得：$k=12$。
【答案】
12
【知识点】
反比例函数坐标特征，矩形的性质
【点评】
本题属于反比例函数与几何图形结合的基础题型，核心技巧是不需要额外设置多余参数，直接利用反比例函数上点的坐标特征，用含k的代数式表示两个点的坐标，再结合矩形的边长关系建立方程求解，有效降低了计算复杂度，重点考察了学生数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.6
14. 如图,在平面直角坐标系中,反比例函数$y=\dfrac{k_{1}}{x}(k_{1} ≠ 0)$与正比例函数$y=k_{2}x(k_{2} ≠ 0)$的图象交于$A$,$B$两点,过点$A$作$AC ⊥ x$轴于点$C$,连接$BC$.若$S_{△ ABC}=8$,则$k_{1}$的值为
$-8$
.答案
14. $-8$
∵ 反比例函数$y=\dfrac{k_1}{x}(k_1≠0)$与正比例函数$y=k_2x(k_2≠0)$的图象交于A，B两点，
∴ 点A和点B关于原点O对称.
∴ $AO=BO$.
∴ OC是$△ ABC$的中线.
∴ $S_{△ AOC}=\dfrac{1}{2}S_{△ ABC}=4$.
∵ $AC⊥ x$轴，
∴ $S_{△ AOC}=\dfrac{1}{2}|k_1|=4$.
∴ $|k_1|=8$. 由题图可知，反比例函数$y=\dfrac{k_1}{x}(k_1≠0)$的图象在第二、四象限，
∴ $k_1＜0$.
∴ $k_1=-8$.
∵ 反比例函数$y=\dfrac{k_1}{x}(k_1≠0)$与正比例函数$y=k_2x(k_2≠0)$的图象交于A，B两点，
∴ 点A和点B关于原点O对称.
∴ $AO=BO$.
∴ OC是$△ ABC$的中线.
∴ $S_{△ AOC}=\dfrac{1}{2}S_{△ ABC}=4$.
∵ $AC⊥ x$轴，
∴ $S_{△ AOC}=\dfrac{1}{2}|k_1|=4$.
∴ $|k_1|=8$. 由题图可知，反比例函数$y=\dfrac{k_1}{x}(k_1≠0)$的图象在第二、四象限，
∴ $k_1＜0$.
∴ $k_1=-8$.
解析
【分析】
首先我们先梳理解题思路：第一步，回忆正比例函数和反比例函数的图像性质，两个函数的交点必然关于原点中心对称，因此点A和点B关于原点O对称，可得AO=BO，也就是O是AB的中点。第二步，根据三角形中线的性质，OC作为△ABC的中线，会把△ABC分成面积相等的两部分，因此△AOC的面积是△ABC面积的一半，也就是4。第三步，调用反比例函数的核心几何性质：过反比例函数图像上任意一点向x轴作垂线，该点、垂足、原点组成的直角三角形面积等于$\frac{1}{2}|k_1|$，代入面积数值求出$|k_1|$。最后结合图像里反比例函数分布在第二、四象限，判断k1的符号，即可得到最终结果。
【解析】
解：
1. 因为反比例函数$y=\dfrac{k_{1}}{x}$与正比例函数$y=k_{2}x$的图像都关于原点中心对称，所以它们的交点A、B也关于原点O对称，因此$AO=BO$，点O是线段AB的中点。
2. 由O是AB中点可知，OC是△ABC的中线，根据三角形中线等分面积的性质：
$S_{△ AOC}=\dfrac{1}{2}S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}×8=4$
3. 已知$AC⊥ x$轴，根据反比例函数中k的几何意义，可得：
$S_{△ AOC}=\dfrac{1}{2}|k_1|=4$
解得$|k_1|=8$
4. 观察题图，反比例函数图像分布在第二、第四象限，因此$k_1＜0$，最终得到$k_1=-8$。
【答案】
$-8$
【知识点】
反比例函数k的几何意义，正反比例交点对称性
【点评】
本题是反比例函数的经典基础题型，结合了中心对称性质和反比例函数的核心几何特征，大部分同学都能顺利推出面积关系，最容易出错的点是忽略图像象限对k的符号的限制，直接得到k=8的错误结果，解题时要注意结合图像判断参数符号。
【难度系数】
0.6
首先我们先梳理解题思路：第一步，回忆正比例函数和反比例函数的图像性质，两个函数的交点必然关于原点中心对称，因此点A和点B关于原点O对称，可得AO=BO，也就是O是AB的中点。第二步，根据三角形中线的性质，OC作为△ABC的中线，会把△ABC分成面积相等的两部分，因此△AOC的面积是△ABC面积的一半，也就是4。第三步，调用反比例函数的核心几何性质：过反比例函数图像上任意一点向x轴作垂线，该点、垂足、原点组成的直角三角形面积等于$\frac{1}{2}|k_1|$，代入面积数值求出$|k_1|$。最后结合图像里反比例函数分布在第二、四象限，判断k1的符号，即可得到最终结果。
【解析】
解：
1. 因为反比例函数$y=\dfrac{k_{1}}{x}$与正比例函数$y=k_{2}x$的图像都关于原点中心对称，所以它们的交点A、B也关于原点O对称，因此$AO=BO$，点O是线段AB的中点。
2. 由O是AB中点可知，OC是△ABC的中线，根据三角形中线等分面积的性质：
$S_{△ AOC}=\dfrac{1}{2}S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}×8=4$
3. 已知$AC⊥ x$轴，根据反比例函数中k的几何意义，可得：
$S_{△ AOC}=\dfrac{1}{2}|k_1|=4$
解得$|k_1|=8$
4. 观察题图，反比例函数图像分布在第二、第四象限，因此$k_1＜0$，最终得到$k_1=-8$。
【答案】
$-8$
【知识点】
反比例函数k的几何意义，正反比例交点对称性
【点评】
本题是反比例函数的经典基础题型，结合了中心对称性质和反比例函数的核心几何特征，大部分同学都能顺利推出面积关系，最容易出错的点是忽略图像象限对k的符号的限制，直接得到k=8的错误结果，解题时要注意结合图像判断参数符号。
【难度系数】
0.6
15. 如图,在平面直角坐标系中,将$△ OAB$沿边$AB$翻折至$△ O'AB$,$O'A$与函数$y=\dfrac{3\sqrt{3}}{x}(x＞0)$的图象交于点$C$.若$∠ OAB=30^{ \circ }$,$C$为$O'A$的中点,则点$O'$的坐标为
$(2,2\sqrt{3})$
.答案
15. $(2,2\sqrt{3})$ 如图，连接$O'O$，过点$O'$作$O'D⊥ OA$于点D，过点C作$CE⊥ OA$于点E. 由翻折的性质，得$OA=O'A$，$∠ O'AB=∠ OAB=30°$，
∴ $∠ O'AO=∠ O'AB+∠ OAB=60°$.
∴ $△ O'OA$是等边三角形.
∵ $O'D⊥ OA$，
∴ $OD=AD=\dfrac{1}{2}OA$.
∵ $CE⊥ OA$，
∴ $△ ACE$是直角三角形. 在$\mathrm{Rt}△ ACE$中，$∠ ACE=90°-∠ O'AO=30°$. 设$AE=a$，$a＞0$，则$AC=2AE=2a$. 由勾股定理，得$CE=\sqrt{AC^2-AE^2}=\sqrt{(2a)^2-a^2}=\sqrt{3}a$.
∵ C为$O'A$的中点，
∴ $O'A=2AC=4a$.
∴ $OA=O'A=4a$.
∴ $OD=AD=\dfrac{1}{2}OA=2a$.
∴ $DE=AD-AE=a$，$OE=OD+DE=3a$.
∴ 点C的坐标为$(3a,\sqrt{3}a)$.
∵ 点C在函数$y=\dfrac{3\sqrt{3}}{x}(x＞0)$的图象上，
∴ $3a·\sqrt{3}a=3\sqrt{3}$，解得$a=1$或$a=-1$(不合题意，舍去).
∴ $OD=AD=2a=2$，$OA=O'A=4a=4$.在$\mathrm{Rt}△ O'AD$中，由勾股定理，得$O'D=\sqrt{O'A^2-AD^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$，
∴ 点$O'$的坐标为$(2,2\sqrt{3})$.
∴ $∠ O'AO=∠ O'AB+∠ OAB=60°$.
∴ $△ O'OA$是等边三角形.
∵ $O'D⊥ OA$，
∴ $OD=AD=\dfrac{1}{2}OA$.
∵ $CE⊥ OA$，
∴ $△ ACE$是直角三角形. 在$\mathrm{Rt}△ ACE$中，$∠ ACE=90°-∠ O'AO=30°$. 设$AE=a$，$a＞0$，则$AC=2AE=2a$. 由勾股定理，得$CE=\sqrt{AC^2-AE^2}=\sqrt{(2a)^2-a^2}=\sqrt{3}a$.
∵ C为$O'A$的中点，
∴ $O'A=2AC=4a$.
∴ $OA=O'A=4a$.
∴ $OD=AD=\dfrac{1}{2}OA=2a$.
∴ $DE=AD-AE=a$，$OE=OD+DE=3a$.
∴ 点C的坐标为$(3a,\sqrt{3}a)$.
∵ 点C在函数$y=\dfrac{3\sqrt{3}}{x}(x＞0)$的图象上，
∴ $3a·\sqrt{3}a=3\sqrt{3}$，解得$a=1$或$a=-1$(不合题意，舍去).
∴ $OD=AD=2a=2$，$OA=O'A=4a=4$.在$\mathrm{Rt}△ O'AD$中，由勾股定理，得$O'D=\sqrt{O'A^2-AD^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$，
∴ 点$O'$的坐标为$(2,2\sqrt{3})$.
解析
【分析】
解题思路如下：第一步先从翻折的性质入手，翻折后对应边相等、对应角相等，已知∠OAB=30°，可得翻折后∠O'AB也等于30°，因此∠OAO'=60°，结合OA=O'A，可判定△OO'A是等边三角形。第二步，过点C作CE垂直x轴构造含特殊角的直角三角形，设AE=a，利用30°直角三角形的边长关系，用a表示出CE、AC的长度，再结合C是O'A中点的条件，把OA、OE的长度都用a表示，得到点C的坐标。第三步，将C点坐标代入反比例函数解析式，求出参数a的正数值，最后结合等边三角形的性质，计算出O'的横纵坐标即可得到答案。
【解析】
解：连接O'O，过点O'作O'D⊥OA于点D，过点C作CE⊥OA于点E。
1. 由翻折的性质可得：$OA=O'A$，$∠ O'AB=∠ OAB=30°$，
因此$∠ O'AO=∠ O'AB+∠ OAB=60°$，
所以$△ O'OA$是等边三角形。
2. 因为$O'D⊥ OA$，根据等边三角形三线合一，可得$OD=AD=\frac{1}{2}OA$。
3. 因为$CE⊥ OA$，所以$△ ACE$是直角三角形，在$\mathrm{Rt}△ ACE$中，$∠ CAE=60°$，因此$∠ ACE=30°$。
设$AE=a\ (a＞0)$，则$AC=2AE=2a$，由勾股定理得：
$CE=\sqrt{AC^2-AE^2}=\sqrt{(2a)^2-a^2}=\sqrt{3}a$。
4. 已知C为$O'A$的中点，因此$O'A=2AC=4a$，结合$OA=O'A$可得$OA=4a$，
因此$OD=AD=\frac{1}{2}OA=2a$，
$OE=OA-AE=4a-a=3a$，
所以点C的坐标为$(3a,\sqrt{3}a)$。
5. 因为点C在反比例函数$y=\frac{3\sqrt{3}}{x}\ (x＞0)$的图象上，代入坐标得：
$3a· \sqrt{3}a=3\sqrt{3}$，
化简得$3\sqrt{3}a^2=3\sqrt{3}$，即$a^2=1$，
解得$a=1$（$a=-1$不符合题意，舍去）。
6. 因此$OD=2a=2$，$O'A=4a=4$，在$\mathrm{Rt}△ O'AD$中，由勾股定理得：
$O'D=\sqrt{O'A^2-AD^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$，
所以点$O'$的坐标为$(2,2\sqrt{3})$。
【答案】
$(2,2\sqrt{3})$
【知识点】
翻折变换性质；反比例函数性质；含30°角直角三角形性质
【点评】
本题是几何与反比例函数的综合填空题，核心突破口是通过翻折得到60°的特殊角，快速判定△OO'A为等边三角形，通过设参数的方式用同一个字母表示点C的横纵坐标，利用反比例函数“横纵坐标乘积等于k”的性质求出参数，最终得到目标点坐标，既考察了特殊三角形的性质应用，也考察了函数与几何结合的转化思维。
【难度系数】
0.4
解题思路如下：第一步先从翻折的性质入手，翻折后对应边相等、对应角相等，已知∠OAB=30°，可得翻折后∠O'AB也等于30°，因此∠OAO'=60°，结合OA=O'A，可判定△OO'A是等边三角形。第二步，过点C作CE垂直x轴构造含特殊角的直角三角形，设AE=a，利用30°直角三角形的边长关系，用a表示出CE、AC的长度，再结合C是O'A中点的条件，把OA、OE的长度都用a表示，得到点C的坐标。第三步，将C点坐标代入反比例函数解析式，求出参数a的正数值，最后结合等边三角形的性质，计算出O'的横纵坐标即可得到答案。
【解析】
解：连接O'O，过点O'作O'D⊥OA于点D，过点C作CE⊥OA于点E。
1. 由翻折的性质可得：$OA=O'A$，$∠ O'AB=∠ OAB=30°$，
因此$∠ O'AO=∠ O'AB+∠ OAB=60°$，
所以$△ O'OA$是等边三角形。
2. 因为$O'D⊥ OA$，根据等边三角形三线合一，可得$OD=AD=\frac{1}{2}OA$。
3. 因为$CE⊥ OA$，所以$△ ACE$是直角三角形，在$\mathrm{Rt}△ ACE$中，$∠ CAE=60°$，因此$∠ ACE=30°$。
设$AE=a\ (a＞0)$，则$AC=2AE=2a$，由勾股定理得：
$CE=\sqrt{AC^2-AE^2}=\sqrt{(2a)^2-a^2}=\sqrt{3}a$。
4. 已知C为$O'A$的中点，因此$O'A=2AC=4a$，结合$OA=O'A$可得$OA=4a$，
因此$OD=AD=\frac{1}{2}OA=2a$，
$OE=OA-AE=4a-a=3a$，
所以点C的坐标为$(3a,\sqrt{3}a)$。
5. 因为点C在反比例函数$y=\frac{3\sqrt{3}}{x}\ (x＞0)$的图象上，代入坐标得：
$3a· \sqrt{3}a=3\sqrt{3}$，
化简得$3\sqrt{3}a^2=3\sqrt{3}$，即$a^2=1$，
解得$a=1$（$a=-1$不符合题意，舍去）。
6. 因此$OD=2a=2$，$O'A=4a=4$，在$\mathrm{Rt}△ O'AD$中，由勾股定理得：
$O'D=\sqrt{O'A^2-AD^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$，
所以点$O'$的坐标为$(2,2\sqrt{3})$。
【答案】
$(2,2\sqrt{3})$
【知识点】
翻折变换性质；反比例函数性质；含30°角直角三角形性质
【点评】
本题是几何与反比例函数的综合填空题，核心突破口是通过翻折得到60°的特殊角，快速判定△OO'A为等边三角形，通过设参数的方式用同一个字母表示点C的横纵坐标，利用反比例函数“横纵坐标乘积等于k”的性质求出参数，最终得到目标点坐标，既考察了特殊三角形的性质应用，也考察了函数与几何结合的转化思维。
【难度系数】
0.4
