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1. 给出下列说法：① 直径是弦；② 半圆是弧；③ 半径相等的两个圆是等圆；④ 长度相等的两条弧是等弧；⑤ 在同圆中任意两条直径都互相平分.其中，正确的有（
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
D
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
直径是弦,故①正确.半圆是弧,故②正确.半径相等的两个圆是等圆,故③正确.长度相等的两条弧不一定是等弧,故④错误.在同圆中任意两条直径都互相平分,故⑤正确.综上所述,①②③⑤正确,共4个.
解析
【分析】
我们可以逐个对照圆的相关基础定义，对5个说法逐一验证判断：
1. 先回忆弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫做弦，直径的两个端点都在圆上，且过圆心，完全符合弦的特征，因此可以判断①的正误。
2. 再回忆弧的定义：圆上任意两点间的部分叫做弧，半圆是圆的直径把圆分成的两部分，属于弧的范畴，可判断②的正误。
3. 等圆的定义是能够完全重合的两个圆，半径相等的两个圆周长、面积都相等，必然可以完全重合，据此判断③。
4. 等弧的要求是能够完全重合的弧，仅长度相等的两条弧，如果所在圆的半径不同，是无法完全重合的，由此判断④的对错。
5. 同圆中所有直径都经过圆心，两条直径的交点就是圆心，圆心是两条直径的中点，因此两条直径必然互相平分，判断⑤的正误。最后统计正确说法的数量，对应选项即可。
【解析】
我们逐个分析每个说法：
① 根据弦的定义，直径的两个端点都在圆上，是特殊的弦，故①正确；
② 弧是圆上两点之间的部分，半圆是直径分割圆得到的部分，属于弧，故②正确；
③ 半径相等的两个圆可以完全重合，符合等圆的定义，故③正确；
④ 只有在同圆或等圆中，长度相等的弧才是等弧，仅长度相等的两条弧无法保证可以完全重合，因此长度相等的两条弧不一定是等弧，故④错误；
⑤ 在同圆中，所有直径都经过圆心，两条直径的交点就是各自的中点，因此任意两条直径都互相平分，故⑤正确。
综上，正确的说法是①②③⑤，共4个。
【答案】
D
【知识点】
圆的弦的定义，圆的弧的定义，等圆与等弧概念
【点评】
本题属于圆的入门概念辨析题，核心考察对圆相关基础定义的严谨掌握，易错点是等弧的判定，很多同学容易忽略“能完全重合”这个核心要求，误将长度相等直接等同于等弧，学习这类几何基础概念时要注意完整记忆定义的全部限定条件，避免疏漏。
【难度系数】
0.7
我们可以逐个对照圆的相关基础定义，对5个说法逐一验证判断：
1. 先回忆弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫做弦，直径的两个端点都在圆上，且过圆心，完全符合弦的特征，因此可以判断①的正误。
2. 再回忆弧的定义：圆上任意两点间的部分叫做弧，半圆是圆的直径把圆分成的两部分，属于弧的范畴，可判断②的正误。
3. 等圆的定义是能够完全重合的两个圆，半径相等的两个圆周长、面积都相等，必然可以完全重合，据此判断③。
4. 等弧的要求是能够完全重合的弧，仅长度相等的两条弧，如果所在圆的半径不同，是无法完全重合的，由此判断④的对错。
5. 同圆中所有直径都经过圆心，两条直径的交点就是圆心，圆心是两条直径的中点，因此两条直径必然互相平分，判断⑤的正误。最后统计正确说法的数量，对应选项即可。
【解析】
我们逐个分析每个说法：
① 根据弦的定义，直径的两个端点都在圆上，是特殊的弦，故①正确；
② 弧是圆上两点之间的部分，半圆是直径分割圆得到的部分，属于弧，故②正确；
③ 半径相等的两个圆可以完全重合，符合等圆的定义，故③正确；
④ 只有在同圆或等圆中，长度相等的弧才是等弧，仅长度相等的两条弧无法保证可以完全重合，因此长度相等的两条弧不一定是等弧，故④错误；
⑤ 在同圆中，所有直径都经过圆心，两条直径的交点就是各自的中点，因此任意两条直径都互相平分，故⑤正确。
综上，正确的说法是①②③⑤，共4个。
【答案】
D
【知识点】
圆的弦的定义，圆的弧的定义，等圆与等弧概念
【点评】
本题属于圆的入门概念辨析题，核心考察对圆相关基础定义的严谨掌握，易错点是等弧的判定，很多同学容易忽略“能完全重合”这个核心要求，误将长度相等直接等同于等弧，学习这类几何基础概念时要注意完整记忆定义的全部限定条件，避免疏漏。
【难度系数】
0.7
2. 如图,点$A , D , G , M$ 在半圆$O$上,四边形$ABOC , DEOF , HMNO$ 均为矩形.设$BC = a , EF = b$ ,$NH=c$,则下列各式中正确的是（
A.$a＞b＞c$
B.$a=b=c$
C.$c＞a＞b$
D.$b＞c＞a$
B
）A.$a＞b＞c$
B.$a=b=c$
C.$c＞a＞b$
D.$b＞c＞a$
答案
如图,连接OA,OD,OM,则OA=OD=OM.
∵ 四边形ABOC,DEOF,HMNO均为矩形,
∴ OA=BC=a,OD=EF=b,OM=NH=c.
∴ a=b=c.
∵ 四边形ABOC,DEOF,HMNO均为矩形,
∴ OA=BC=a,OD=EF=b,OM=NH=c.
∴ a=b=c.
解析
【分析】
这道题的核心是把待比较的三条线段a、b、c和半圆的半径建立等量关联。首先观察图形，三个矩形的对角线都有一个端点是圆心O，另一个端点A、D、M都在半圆上，我们可以利用矩形对角线相等的性质，把a、b、c分别转化为对应圆弧上的点到圆心的连线，而所有在半圆上的点到圆心的距离都是半圆的半径，同圆的半径全部相等，由此就可以直接判断三者的大小关系。解题第一步先连接圆心O和三个圆弧上的点A、D、M，再通过矩形性质做等量代换即可推导结论。
【解析】
解：连接OA、OD、OM，
∵ 点A、D、M均在半圆O上，
∴ OA、OD、OM都是半圆O的半径，可得OA=OD=OM。
∵ 四边形ABOC是矩形，根据矩形对角线相等的性质，得BC=OA=a；
同理，四边形DEOF是矩形，得EF=OD=b；
四边形HMNO是矩形，得NH=OM=c。
结合OA=OD=OM，可推出a=b=c。
【答案】
B
【知识点】
矩形对角线相等；同圆半径相等
【点评】
本题是几何等量转化的典型基础题，不需要计算矩形的具体边长，通过构造辅助线将待比较的线段转化为同圆的半径，直接利用圆的基本性质得到结论，避开了复杂的边长推导，能很好地锻炼学生的几何转化思维。
【难度系数】
0.8
这道题的核心是把待比较的三条线段a、b、c和半圆的半径建立等量关联。首先观察图形，三个矩形的对角线都有一个端点是圆心O，另一个端点A、D、M都在半圆上，我们可以利用矩形对角线相等的性质，把a、b、c分别转化为对应圆弧上的点到圆心的连线，而所有在半圆上的点到圆心的距离都是半圆的半径，同圆的半径全部相等，由此就可以直接判断三者的大小关系。解题第一步先连接圆心O和三个圆弧上的点A、D、M，再通过矩形性质做等量代换即可推导结论。
【解析】
解：连接OA、OD、OM，
∵ 点A、D、M均在半圆O上，
∴ OA、OD、OM都是半圆O的半径，可得OA=OD=OM。
∵ 四边形ABOC是矩形，根据矩形对角线相等的性质，得BC=OA=a；
同理，四边形DEOF是矩形，得EF=OD=b；
四边形HMNO是矩形，得NH=OM=c。
结合OA=OD=OM，可推出a=b=c。
【答案】
B
【知识点】
矩形对角线相等；同圆半径相等
【点评】
本题是几何等量转化的典型基础题，不需要计算矩形的具体边长，通过构造辅助线将待比较的线段转化为同圆的半径，直接利用圆的基本性质得到结论，避开了复杂的边长推导，能很好地锻炼学生的几何转化思维。
【难度系数】
0.8
3. 如图,延长$\odot O$的弦$AB$、半径$OC$,两者交于点$D$,$BD=OA$.若$∠ AOC=120^{\circ }$,则$∠ D$的度数是
20°
.答案
连接OB.
∵ BD=OA,OB=OA,
∴ OA=OB=BD.
∴ ∠A=∠OBA,∠BOD=∠D. 设∠D=∠BOD=x,则∠A=∠ABO=∠D+∠BOD=2x.
∵ ∠AOC=120°,
∴ ∠AOB=120°-x. 在△AOB中,由∠AOB+∠A+∠ABO=180°,可得120°-x+2x+2x=180°,解得x=20°.
∴ ∠D=20°.
∵ BD=OA,OB=OA,
∴ OA=OB=BD.
∴ ∠A=∠OBA,∠BOD=∠D. 设∠D=∠BOD=x,则∠A=∠ABO=∠D+∠BOD=2x.
∵ ∠AOC=120°,
∴ ∠AOB=120°-x. 在△AOB中,由∠AOB+∠A+∠ABO=180°,可得120°-x+2x+2x=180°,解得x=20°.
∴ ∠D=20°.
解析
【分析】
解题时首先观察到已知条件BD=OA，而OA是⊙O的半径，根据同圆半径相等，OB也等于OA，因此优先考虑连接辅助线OB，这样就能得到OB=BD，构造出两个等腰三角形△OAB和△OBD。接下来利用等腰三角形等边对等角的性质，结合三角形外角的性质，将∠A、∠ABO都用∠D表示出来，再结合已知的∠AOC=120°，在△AOB中利用三角形内角和为180°建立关于∠D的方程，解方程即可求出∠D的度数。
【解析】
解：连接OB，
∵ OA、OB都是⊙O的半径，
∴ OB=OA，
又
∵ BD=OA，
∴ OA=OB=BD，
∴ △OAB和△OBD均为等腰三角形，
可得∠A=∠OBA，∠BOD=∠D。
设∠D=∠BOD=x，
根据三角形外角的性质，∠ABO是△OBD的外角，
∴ ∠ABO=∠D+∠BOD=2x，
因此∠A=∠ABO=2x。
已知∠AOC=120°，即∠AOB + ∠BOD = 120°，
∴ ∠AOB=120° - x。
在△AOB中，根据三角形内角和定理：∠AOB + ∠A + ∠ABO = 180°，
代入各角的表达式得：
120° - x + 2x + 2x = 180°，
整理得：120° + 3x = 180°，
解得x=20°，
即∠D=20°。
【答案】
20°
【知识点】
同圆半径相等，等腰三角形性质，三角形内角和定理
【点评】
本题的核心突破口是通过连接OB构造辅助线，将分散的等长线段转化为等腰三角形的腰，利用设元的方法将多个角用同一个未知数表示，借助内角和建立方程求解，体现了几何中的转化思想，是圆与三角形性质结合的典型基础题型。
【难度系数】
0.5
解题时首先观察到已知条件BD=OA，而OA是⊙O的半径，根据同圆半径相等，OB也等于OA，因此优先考虑连接辅助线OB，这样就能得到OB=BD，构造出两个等腰三角形△OAB和△OBD。接下来利用等腰三角形等边对等角的性质，结合三角形外角的性质，将∠A、∠ABO都用∠D表示出来，再结合已知的∠AOC=120°，在△AOB中利用三角形内角和为180°建立关于∠D的方程，解方程即可求出∠D的度数。
【解析】
解：连接OB，
∵ OA、OB都是⊙O的半径，
∴ OB=OA，
又
∵ BD=OA，
∴ OA=OB=BD，
∴ △OAB和△OBD均为等腰三角形，
可得∠A=∠OBA，∠BOD=∠D。
设∠D=∠BOD=x，
根据三角形外角的性质，∠ABO是△OBD的外角，
∴ ∠ABO=∠D+∠BOD=2x，
因此∠A=∠ABO=2x。
已知∠AOC=120°，即∠AOB + ∠BOD = 120°，
∴ ∠AOB=120° - x。
在△AOB中，根据三角形内角和定理：∠AOB + ∠A + ∠ABO = 180°，
代入各角的表达式得：
120° - x + 2x + 2x = 180°，
整理得：120° + 3x = 180°，
解得x=20°，
即∠D=20°。
【答案】
20°
【知识点】
同圆半径相等，等腰三角形性质，三角形内角和定理
【点评】
本题的核心突破口是通过连接OB构造辅助线，将分散的等长线段转化为等腰三角形的腰，利用设元的方法将多个角用同一个未知数表示，借助内角和建立方程求解，体现了几何中的转化思想，是圆与三角形性质结合的典型基础题型。
【难度系数】
0.5
4. 如图,$AB$ 是半径为 2 的$\odot O$的弦,$C$ 是$\odot O$上的一个动点. 若 $M,N$ 分别是 $AB,BC$ 的中点,则$MN$ 长的最大值是
2
。答案
∵ M,N分别是AB,BC的中点,
∴ MN是△ABC的中位线.
∴ MN=$\frac{1}{2}$AC.由题意可知,当AC为$\odot O$的直径时,AC的长取得最大值,最大值是4,
∴ MN长的最大值是2.
解析
【分析】
首先观察M、N的位置，二者分别是AB、BC的中点，可直接联想到三角形中位线的性质，将MN的长度转化为和线段AC相关的表达式。要得到MN的最大值，等价于求AC的最大值，而C是⊙O上的动点，圆内最长的弦就是直径，因此AC的最大值就是圆的直径长度，代入MN和AC的数量关系即可算出MN的最大值，整个过程通过转化思想把陌生的最值问题转化为已知的圆的性质问题，思路清晰直接。
【解析】
解：
∵ M、N分别是AB、BC的中点，
∴ MN是△ABC的中位线，
由三角形中位线的性质可得：$MN=\frac{1}{2}AC$。
已知⊙O的半径为2，圆中最长的弦为直径，因此当AC为⊙O的直径时，AC的长度取得最大值，此时$AC_{max}=2×2=4$。
将AC的最大值代入MN的表达式，可得$MN_{max}=\frac{1}{2}×4=2$。
【答案】2
【知识点】三角形中位线，圆的直径性质
【点评】本题运用转化的数学思想，将求MN的最值问题转化为求圆内弦AC的最值问题，巧妙利用“圆中直径是最长弦”的基础性质快速求解，不需要复杂辅助线和计算，侧重考查学生对基础几何性质的灵活迁移运用能力。
【难度系数】0.7
首先观察M、N的位置，二者分别是AB、BC的中点，可直接联想到三角形中位线的性质，将MN的长度转化为和线段AC相关的表达式。要得到MN的最大值，等价于求AC的最大值，而C是⊙O上的动点，圆内最长的弦就是直径，因此AC的最大值就是圆的直径长度，代入MN和AC的数量关系即可算出MN的最大值，整个过程通过转化思想把陌生的最值问题转化为已知的圆的性质问题，思路清晰直接。
【解析】
解：
∵ M、N分别是AB、BC的中点，
∴ MN是△ABC的中位线，
由三角形中位线的性质可得：$MN=\frac{1}{2}AC$。
已知⊙O的半径为2，圆中最长的弦为直径，因此当AC为⊙O的直径时，AC的长度取得最大值，此时$AC_{max}=2×2=4$。
将AC的最大值代入MN的表达式，可得$MN_{max}=\frac{1}{2}×4=2$。
【答案】2
【知识点】三角形中位线，圆的直径性质
【点评】本题运用转化的数学思想，将求MN的最值问题转化为求圆内弦AC的最值问题，巧妙利用“圆中直径是最长弦”的基础性质快速求解，不需要复杂辅助线和计算，侧重考查学生对基础几何性质的灵活迁移运用能力。
【难度系数】0.7
5. 如图,$A , B , C$ 是$\odot O$ 上的三点,$∠ AOB=50^{\circ },∠ OBC=40^{\circ }$,求$∠ OAC$ 的度数.
答案
∵ OB=OC,
∴ ∠OBC=∠OCB=40°.
∴ ∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-40°-40°=100°.
∴ ∠AOC=∠AOB+∠BOC=50°+100°=150°. 又
∵ OA=OC,
∴ ∠OAC=∠OCA=$\frac{1}{2}(180°-∠AOC)=\frac{1}{2}×(180°-150°)=15°$.
解析
【分析】
解题时首先要抓住圆的核心隐含条件：同圆的所有半径长度相等。第一步，已知OB、OC都是⊙O的半径，可得OB=OC，结合给出的∠OBC=40°，利用等腰三角形两底角相等的性质，先求出△OBC的顶角∠BOC的度数；第二步，观察图形可知∠AOC是∠AOB与∠BOC的和，代入已知的∠AOB=50°即可算出∠AOC的总度数；第三步，OA和OC同样都是⊙O的半径，因此OA=OC，△OAC也是等腰三角形，再利用三角形内角和为180°，就能算出等腰△OAC的底角∠OAC的度数。
【解析】
解：
∵ OB、OC都是⊙O的半径，
∴ OB=OC，
∴ ∠OBC=∠OCB=40°，
在△OBC中，由三角形内角和定理得：
∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-40°-40°=100°，
由此可得∠AOC=∠AOB+∠BOC=50°+100°=150°，
又
∵ OA、OC都是⊙O的半径，
∴ OA=OC，即△OAC为等腰三角形，
∴ ∠OAC=∠OCA=$\frac{1}{2}(180°-∠AOC)=\frac{1}{2}×(180°-150°)=15°$。
【答案】
15°
【知识点】
同圆半径相等；等腰三角形性质；三角形内角和
【点评】
本题是圆的基础计算题型，解题的突破口是主动挖掘“同圆半径相等”的隐含条件，将圆的角度问题转化为等腰三角形的常规计算问题，整体逻辑清晰，不需要添加复杂辅助线，适合刚接触圆相关知识的学生巩固基础。
【难度系数】
0.7
解题时首先要抓住圆的核心隐含条件：同圆的所有半径长度相等。第一步，已知OB、OC都是⊙O的半径，可得OB=OC，结合给出的∠OBC=40°，利用等腰三角形两底角相等的性质，先求出△OBC的顶角∠BOC的度数；第二步，观察图形可知∠AOC是∠AOB与∠BOC的和，代入已知的∠AOB=50°即可算出∠AOC的总度数；第三步，OA和OC同样都是⊙O的半径，因此OA=OC，△OAC也是等腰三角形，再利用三角形内角和为180°，就能算出等腰△OAC的底角∠OAC的度数。
【解析】
解：
∵ OB、OC都是⊙O的半径，
∴ OB=OC，
∴ ∠OBC=∠OCB=40°，
在△OBC中，由三角形内角和定理得：
∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-40°-40°=100°，
由此可得∠AOC=∠AOB+∠BOC=50°+100°=150°，
又
∵ OA、OC都是⊙O的半径，
∴ OA=OC，即△OAC为等腰三角形，
∴ ∠OAC=∠OCA=$\frac{1}{2}(180°-∠AOC)=\frac{1}{2}×(180°-150°)=15°$。
【答案】
15°
【知识点】
同圆半径相等；等腰三角形性质；三角形内角和
【点评】
本题是圆的基础计算题型，解题的突破口是主动挖掘“同圆半径相等”的隐含条件，将圆的角度问题转化为等腰三角形的常规计算问题，整体逻辑清晰，不需要添加复杂辅助线，适合刚接触圆相关知识的学生巩固基础。
【难度系数】
0.7
6. 如图,$AB$是$\odot O$的弦,$OC⊥ AB$,垂足为$C$,$OD// AB$,$OC=\dfrac{1}{2}OD$,则$∠ ABD$的度数为 （
A.$90°$
B.$95°$
C.$100°$
D.$105°$
D
）A.$90°$
B.$95°$
C.$100°$
D.$105°$
答案
连接OB,则OB=OD.
∵ OC=$\frac{1}{2}OD$,
∴ OC=$\frac{1}{2}OB$.
∵ OC⊥AB,
∴ ∠OCB=90°.
∴ 在Rt△OCB中,易得∠OBC=30°.
∵ OD//AB,
∴ ∠BOD=∠OBC=30°.
∵ OB=OD,
∴ ∠OBD=∠ODB=$\frac{1}{2} ×( 180°-∠BOD)=\frac{1}{2}×(180°-30°)=75°$.
∴ ∠ABD=∠OBC+∠OBD=30°+75°=105°.
∵ OC=$\frac{1}{2}OD$,
∴ OC=$\frac{1}{2}OB$.
∵ OC⊥AB,
∴ ∠OCB=90°.
∴ 在Rt△OCB中,易得∠OBC=30°.
∵ OD//AB,
∴ ∠BOD=∠OBC=30°.
∵ OB=OD,
∴ ∠OBD=∠ODB=$\frac{1}{2} ×( 180°-∠BOD)=\frac{1}{2}×(180°-30°)=75°$.
∴ ∠ABD=∠OBC+∠OBD=30°+75°=105°.
解析
【分析】
解题时首先观察图形和已知条件，先利用圆的半径相等的隐含性质，连接辅助线OB，将OD转化为等长的半径OB，这样已知的OC=1/2OD就可以转化为Rt△OCB中直角边OC等于斜边OB的一半，根据直角三角形的性质就能得到∠OBC=30°；接下来根据OD平行AB，利用平行线内错角相等得到∠BOD的度数；再结合OB=OD得到△OBD是等腰三角形，计算出它的底角∠OBD的度数，最后把∠OBC和∠OBD相加，就能得到所求的∠ABD的度数，匹配对应选项即可。
【解析】
解：连接OB，
∵ OB、OD都是⊙O的半径，
∴ OB=OD，
由已知OC=1/2 OD，代入OB=OD可得：OC=1/2 OB，
又
∵ OC⊥AB，
∴ ∠OCB=90°，即△OCB是直角三角形，
在Rt△OCB中，直角边OC等于斜边OB的一半，因此可得∠OBC=30°，
∵ OD//AB，根据平行线内错角相等，可得∠BOD=∠OBC=30°，
在△OBD中，OB=OD，因此△OBD是等腰三角形，两个底角相等：
∠OBD=∠ODB=1/2×(180°-∠BOD)=1/2×(180°-30°)=75°，
因此∠ABD=∠OBC + ∠OBD=30°+75°=105°。
【答案】
D
【知识点】
直角三角形30°角性质，平行线性质，等腰三角形性质
【点评】
本题属于圆中角度计算的基础题型，解题的关键是主动连接半径OB作为辅助线，将分散的已知线段条件集中到直角三角形中得到特殊30°角，再依次结合平行线、等腰三角形的角度性质逐步推导，整体逻辑链条清晰，侧重考察学生对基础几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
解题时首先观察图形和已知条件，先利用圆的半径相等的隐含性质，连接辅助线OB，将OD转化为等长的半径OB，这样已知的OC=1/2OD就可以转化为Rt△OCB中直角边OC等于斜边OB的一半，根据直角三角形的性质就能得到∠OBC=30°；接下来根据OD平行AB，利用平行线内错角相等得到∠BOD的度数；再结合OB=OD得到△OBD是等腰三角形，计算出它的底角∠OBD的度数，最后把∠OBC和∠OBD相加，就能得到所求的∠ABD的度数，匹配对应选项即可。
【解析】
解：连接OB，
∵ OB、OD都是⊙O的半径，
∴ OB=OD，
由已知OC=1/2 OD，代入OB=OD可得：OC=1/2 OB，
又
∵ OC⊥AB，
∴ ∠OCB=90°，即△OCB是直角三角形，
在Rt△OCB中，直角边OC等于斜边OB的一半，因此可得∠OBC=30°，
∵ OD//AB，根据平行线内错角相等，可得∠BOD=∠OBC=30°，
在△OBD中，OB=OD，因此△OBD是等腰三角形，两个底角相等：
∠OBD=∠ODB=1/2×(180°-∠BOD)=1/2×(180°-30°)=75°，
因此∠ABD=∠OBC + ∠OBD=30°+75°=105°。
【答案】
D
【知识点】
直角三角形30°角性质，平行线性质，等腰三角形性质
【点评】
本题属于圆中角度计算的基础题型，解题的关键是主动连接半径OB作为辅助线，将分散的已知线段条件集中到直角三角形中得到特殊30°角，再依次结合平行线、等腰三角形的角度性质逐步推导，整体逻辑链条清晰，侧重考察学生对基础几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
7. 易错题 将两个正方形按图示方式放置(点$B$,$C$,$E$共线,点$D$,$C$,$G$共线).若$AB=3$,$EF=2$,点$O$在线段$BC$上,以$OF$为半径作半圆$O$,点$A$,$F$都在半圆$O$上,则$OD$的长是（
A.4
B.$\sqrt{10}$
C.$\sqrt{13}$
D.$\sqrt{26}$
B
）A.4
B.$\sqrt{10}$
C.$\sqrt{13}$
D.$\sqrt{26}$
答案
连接OA.
∵ OF是半圆O的半径,
∴ OA=OF.
∵ 四边形ABCD、四边形EFGC都是正方形,
∴ ∠ABC=∠DCB=∠FEC=90°,AB=BC=CD=3,CE=EF=2. 设OC=x,则BO=BC-OC=3-x,OE=OC+CE=x+2. 在Rt△ABO和Rt△EFO中,$AB^2+BO^2=OA^2$,$OE^2+EF^2=OF^2$,
∴ $3^2+(3-x)^2=OA^2$,$(x+2)^2+2^2=OF^2$.
∵ OA=OF,
∴ $3^2+(3-x)^2=(x+2)^2+2^2$,解得x=1,即OC=1. 在Rt△DOC中,$DO^2=OC^2+DC^2$,
∴ $OD=\sqrt{OC^2+CD^2}=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$.
∵ OF是半圆O的半径,
∴ OA=OF.
∵ 四边形ABCD、四边形EFGC都是正方形,
∴ ∠ABC=∠DCB=∠FEC=90°,AB=BC=CD=3,CE=EF=2. 设OC=x,则BO=BC-OC=3-x,OE=OC+CE=x+2. 在Rt△ABO和Rt△EFO中,$AB^2+BO^2=OA^2$,$OE^2+EF^2=OF^2$,
∴ $3^2+(3-x)^2=OA^2$,$(x+2)^2+2^2=OF^2$.
∵ OA=OF,
∴ $3^2+(3-x)^2=(x+2)^2+2^2$,解得x=1,即OC=1. 在Rt△DOC中,$DO^2=OC^2+DC^2$,
∴ $OD=\sqrt{OC^2+CD^2}=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$.
解析
【分析】
解题思路：首先抓住核心条件“点A、F都在半圆O上”，可得OA和OF都是半圆O的半径，因此OA=OF，这是本题的核心等量关系。接下来两个图形都是正方形，所有内角都是直角，已知边长AB=3、EF=2，可得到AB=BC=CD=3，CE=EF=2。我们设OC的长度为x，就能用x表示出BO=3-x、OE=x+2，分别在Rt△ABO和Rt△FEO中用勾股定理表示出OA²和OF²，利用OA=OF列方程解出OC的长度。最后观察OD在Rt△DOC中，已知DC=3、OC已求出，直接用勾股定理即可算出OD的长度。
【解析】
解：连接OA，
∵ 点A、F都在以O为圆心的半圆上，
∴ OA=OF，二者均为半圆的半径。
∵ 四边形ABCD、四边形EFGC都是正方形，
∴ ∠ABC=∠BCD=∠CEF=90°，AB=BC=CD=3，CE=EF=2。
设OC=x，则BO=BC-OC=3-x，OE=OC+CE=x+2。
在Rt△ABO中，由勾股定理得：$OA^2=AB^2+BO^2=3^2+(3-x)^2$
在Rt△FEO中，由勾股定理得：$OF^2=OE^2+EF^2=(x+2)^2+2^2$
∵ OA=OF，
∴ $OA^2=OF^2$，即：
$3^2+(3-x)^2=(x+2)^2+2^2$
展开化简得：$18-6x=4x+8$，解得$x=1$，即OC=1。
在Rt△DOC中，∠OCD=90°，由勾股定理得：
$OD=\sqrt{OC^2 + CD^2}=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$
【答案】B
【知识点】勾股定理，同圆半径相等，正方形性质
【点评】本题是几何代数结合的易错题，核心突破口是利用同圆半径相等建立等量关系，通过设未知数列一元一次方程求出OC的长度，再用勾股定理计算OD。部分同学容易忽略OA=OF这个隐藏条件，找不到解题切入点，整体计算难度不大，重点考察几何性质的综合应用能力。
【难度系数】0.5
解题思路：首先抓住核心条件“点A、F都在半圆O上”，可得OA和OF都是半圆O的半径，因此OA=OF，这是本题的核心等量关系。接下来两个图形都是正方形，所有内角都是直角，已知边长AB=3、EF=2，可得到AB=BC=CD=3，CE=EF=2。我们设OC的长度为x，就能用x表示出BO=3-x、OE=x+2，分别在Rt△ABO和Rt△FEO中用勾股定理表示出OA²和OF²，利用OA=OF列方程解出OC的长度。最后观察OD在Rt△DOC中，已知DC=3、OC已求出，直接用勾股定理即可算出OD的长度。
【解析】
解：连接OA，
∵ 点A、F都在以O为圆心的半圆上，
∴ OA=OF，二者均为半圆的半径。
∵ 四边形ABCD、四边形EFGC都是正方形，
∴ ∠ABC=∠BCD=∠CEF=90°，AB=BC=CD=3，CE=EF=2。
设OC=x，则BO=BC-OC=3-x，OE=OC+CE=x+2。
在Rt△ABO中，由勾股定理得：$OA^2=AB^2+BO^2=3^2+(3-x)^2$
在Rt△FEO中，由勾股定理得：$OF^2=OE^2+EF^2=(x+2)^2+2^2$
∵ OA=OF，
∴ $OA^2=OF^2$，即：
$3^2+(3-x)^2=(x+2)^2+2^2$
展开化简得：$18-6x=4x+8$，解得$x=1$，即OC=1。
在Rt△DOC中，∠OCD=90°，由勾股定理得：
$OD=\sqrt{OC^2 + CD^2}=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$
【答案】B
【知识点】勾股定理，同圆半径相等，正方形性质
【点评】本题是几何代数结合的易错题，核心突破口是利用同圆半径相等建立等量关系，通过设未知数列一元一次方程求出OC的长度，再用勾股定理计算OD。部分同学容易忽略OA=OF这个隐藏条件，找不到解题切入点，整体计算难度不大，重点考察几何性质的综合应用能力。
【难度系数】0.5
8. 如图,$P$是$\odot O$外一点,$Q$是$\odot O$上的动点,线段$PQ$的中点为$M$,连接$OP$,$OM$. 若$\odot O$的半径为$4$,$OP=8$,则$OM$长的最小值是
2
.答案
如图,设OP交$\odot O$于点N,连接MN,OQ.
∵ OP=8,ON=4,
∴ N是OP的中点. 又
∵ M是PQ的中点,
∴ MN为△POQ的中位线.
∴ MN=$\frac{1}{2}OQ=\frac{1}{2}×4=2$.
∴ 点M在以点N为圆心,2为半径的圆上.
∴ 当点M在ON上时,OM的长取得最小值,最小值为4-2=2.
解析
【分析】
我们要计算OM的最小值，首先观察到M是线段PQ的中点，Q是圆O上的动点，OQ长度固定为圆的半径4。首先取OP与圆O的交点N，由OP=8、圆O半径为4可推出N恰好是OP的中点，这样MN就成为△POQ的中位线，由此可得到MN的长度恒为2，说明动点M到定点N的距离始终为定值2，即可确定M的运动轨迹是一个以N为圆心、半径为2的圆。接下来根据点到圆上点的距离的最值规律，点O到圆N上点的最小距离就是ON的长度减去圆N的半径，就能直接算出OM的最小值。
【解析】
1. 设OP交⊙O于点N，连接MN、OQ。
2. 已知⊙O的半径为4，因此OQ=ON=4，又OP=8，可得NP=OP-ON=8-4=4，即N是OP的中点。
3. 因为M是PQ的中点，所以MN是△POQ的中位线，根据三角形中位线性质：
$MN=\frac{1}{2}OQ=\frac{1}{2}×4=2$
4. 由此可知，无论Q如何运动，点M到定点N的距离恒为2，因此点M的轨迹是以N为圆心、2为半径的圆。
5. 点O到圆心N的距离为ON=4，根据点与圆的位置关系，点到圆上点的最小距离为点到圆心的距离减去圆的半径，因此OM的最小值为$ON - 2 = 4-2=2$。
【答案】
【知识点】
三角形中位线，点圆最值，隐圆模型
【点评】
本题是典型的隐圆最值问题，核心是利用双中点的条件构造三角形中位线，将动点M的轨迹转化为确定的圆，再利用点到圆的距离最值规律求解，避免了复杂的坐标运算，重点考察学生对几何轨迹的识别和转化能力。
【难度系数】
0.4
我们要计算OM的最小值，首先观察到M是线段PQ的中点，Q是圆O上的动点，OQ长度固定为圆的半径4。首先取OP与圆O的交点N，由OP=8、圆O半径为4可推出N恰好是OP的中点，这样MN就成为△POQ的中位线，由此可得到MN的长度恒为2，说明动点M到定点N的距离始终为定值2，即可确定M的运动轨迹是一个以N为圆心、半径为2的圆。接下来根据点到圆上点的距离的最值规律，点O到圆N上点的最小距离就是ON的长度减去圆N的半径，就能直接算出OM的最小值。
【解析】
1. 设OP交⊙O于点N，连接MN、OQ。
2. 已知⊙O的半径为4，因此OQ=ON=4，又OP=8，可得NP=OP-ON=8-4=4，即N是OP的中点。
3. 因为M是PQ的中点，所以MN是△POQ的中位线，根据三角形中位线性质：
$MN=\frac{1}{2}OQ=\frac{1}{2}×4=2$
4. 由此可知，无论Q如何运动，点M到定点N的距离恒为2，因此点M的轨迹是以N为圆心、2为半径的圆。
5. 点O到圆心N的距离为ON=4，根据点与圆的位置关系，点到圆上点的最小距离为点到圆心的距离减去圆的半径，因此OM的最小值为$ON - 2 = 4-2=2$。
【答案】
【知识点】
三角形中位线，点圆最值，隐圆模型
【点评】
本题是典型的隐圆最值问题，核心是利用双中点的条件构造三角形中位线，将动点M的轨迹转化为确定的圆，再利用点到圆的距离最值规律求解，避免了复杂的坐标运算，重点考察学生对几何轨迹的识别和转化能力。
【难度系数】
0.4
