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1. 用适当的方法解下列方程：
(1)$x^{2}-\sqrt{3}x - 1 = 0$；
(2)$x(x - 3) + x - 3 = 0$；
(3)$3(x - 1)(x + 2) = x + 4$；
(4)$(x + 3)^{2} - 5(x + 3) + 6 = 0$。
(1)$x^{2}-\sqrt{3}x - 1 = 0$；
(2)$x(x - 3) + x - 3 = 0$；
(3)$3(x - 1)(x + 2) = x + 4$；
(4)$(x + 3)^{2} - 5(x + 3) + 6 = 0$。
答案
(1)$x_{1}=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{7}}{2},x_{2}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{7}}{2}$；
(2)$x_{1}=3,x_{2}=-1$；
(3)$x_{1}=-\frac{1+\sqrt{31}}{3},x_{2}=\frac{\sqrt{31}-1}{3}$；
(4)$x_{1}=-1,x_{2}=0$。
(2)$x_{1}=3,x_{2}=-1$；
(3)$x_{1}=-\frac{1+\sqrt{31}}{3},x_{2}=\frac{\sqrt{31}-1}{3}$；
(4)$x_{1}=-1,x_{2}=0$。
解析
【分析】
解一元二次方程需先观察方程结构选择最优解法：
(1) 方程为一般形式，一次项系数带根号，因式分解难度大，适合用公式法，先确定a、b、c的值，计算判别式后再代入求根公式求解即可；
(2) 方程左侧存在公因式$(x-3)$，优先用因式分解法，提取公因式后转化为两个一次方程即可快速求解；
(3) 先去括号、移项合并同类项，整理为一元二次方程的一般形式，再用公式法求解；
(4) 可将$(x+3)$看作整体，用因式分解法解关于$(x+3)$的方程，再求x的值，比展开原式计算更简便。
【解析】
(1) 对于$x^{2}-\sqrt{3}x - 1 = 0$，其中$a=1$，$b=-\sqrt{3}$，$c=-1$，
计算判别式：$\Delta = b^2-4ac=(-\sqrt{3})^2-4×1×(-1)=3+4=7＞0$，
代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，得$x=\frac{\sqrt{3}\pm\sqrt{7}}{2}$。
(2) 对于$x(x - 3) + x - 3 = 0$，
提取公因式得：$(x-3)(x+1)=0$，
$\therefore x-3=0$或$x+1=0$，
解得$x=3$或$x=-1$。
(3) 先整理$3(x - 1)(x + 2) = x + 4$：
左边展开得$3(x^2+x-2)=3x^2+3x-6$，
移项合并同类项得$3x^2+2x-10=0$，其中$a=3$，$b=2$，$c=-10$，
计算判别式：$\Delta=2^2-4×3×(-10)=4+120=124＞0$，
代入求根公式得$x=\frac{-2\pm\sqrt{124}}{6}=\frac{-1\pm\sqrt{31}}{3}$。
(4) 对于$(x + 3)^{2} - 5(x + 3) + 6 = 0$，将$x+3$看作整体因式分解得：
$(x+3-2)(x+3-3)=0$，即$x(x+1)=0$，
$\therefore x=0$或$x+1=0$，
解得$x=0$或$x=-1$。
【答案】
(1)$x_{1}=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{7}}{2},x_{2}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{7}}{2}$；
(2)$x_{1}=3,x_{2}=-1$；
(3)$x_{1}=-\frac{1+\sqrt{31}}{3},x_{2}=\frac{\sqrt{31}-1}{3}$；
(4)$x_{1}=-1,x_{2}=0$。
【知识点】
一元二次方程的解法，因式分解法，公式法
【点评】
本题主要考查一元二次方程的解法选择，解题时需先观察方程的结构特征，优先选择简便解法（如因式分解法）简化运算，若无法直接因式分解，再整理为一般式用公式法求解，可有效提升解题效率和正确率。
【难度系数】
0.7
解一元二次方程需先观察方程结构选择最优解法：
(1) 方程为一般形式，一次项系数带根号，因式分解难度大，适合用公式法，先确定a、b、c的值，计算判别式后再代入求根公式求解即可；
(2) 方程左侧存在公因式$(x-3)$，优先用因式分解法，提取公因式后转化为两个一次方程即可快速求解；
(3) 先去括号、移项合并同类项，整理为一元二次方程的一般形式，再用公式法求解；
(4) 可将$(x+3)$看作整体，用因式分解法解关于$(x+3)$的方程，再求x的值，比展开原式计算更简便。
【解析】
(1) 对于$x^{2}-\sqrt{3}x - 1 = 0$，其中$a=1$，$b=-\sqrt{3}$，$c=-1$，
计算判别式：$\Delta = b^2-4ac=(-\sqrt{3})^2-4×1×(-1)=3+4=7＞0$，
代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，得$x=\frac{\sqrt{3}\pm\sqrt{7}}{2}$。
(2) 对于$x(x - 3) + x - 3 = 0$，
提取公因式得：$(x-3)(x+1)=0$，
$\therefore x-3=0$或$x+1=0$，
解得$x=3$或$x=-1$。
(3) 先整理$3(x - 1)(x + 2) = x + 4$：
左边展开得$3(x^2+x-2)=3x^2+3x-6$，
移项合并同类项得$3x^2+2x-10=0$，其中$a=3$，$b=2$，$c=-10$，
计算判别式：$\Delta=2^2-4×3×(-10)=4+120=124＞0$，
代入求根公式得$x=\frac{-2\pm\sqrt{124}}{6}=\frac{-1\pm\sqrt{31}}{3}$。
(4) 对于$(x + 3)^{2} - 5(x + 3) + 6 = 0$，将$x+3$看作整体因式分解得：
$(x+3-2)(x+3-3)=0$，即$x(x+1)=0$，
$\therefore x=0$或$x+1=0$，
解得$x=0$或$x=-1$。
【答案】
(1)$x_{1}=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{7}}{2},x_{2}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{7}}{2}$；
(2)$x_{1}=3,x_{2}=-1$；
(3)$x_{1}=-\frac{1+\sqrt{31}}{3},x_{2}=\frac{\sqrt{31}-1}{3}$；
(4)$x_{1}=-1,x_{2}=0$。
【知识点】
一元二次方程的解法，因式分解法，公式法
【点评】
本题主要考查一元二次方程的解法选择，解题时需先观察方程的结构特征，优先选择简便解法（如因式分解法）简化运算，若无法直接因式分解，再整理为一般式用公式法求解，可有效提升解题效率和正确率。
【难度系数】
0.7
2. 已知关于$ x $的一元二次方程$(m - 1)x^2 - (2m - 1)x + m + 1 = 0$（$ m $为常数）有两个实数根，求$ m $的取值范围。
答案
∵关于x的一元二次方程$(m-1)x^{2}-(2m-1)· x+m+1=0$(m 为常数)有两个实数根，
∴$\Delta≥0$且$m-1≠0$,即$[-(2m-1)]^{2}-4(m-1)(m+1)≥0$且$m≠1$,
解得$m≤\frac{5}{4}$且$m≠1$.
故 m 的取值范围是$m≤\frac{5}{4}$且$m≠1$.
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确两个核心限制条件：一是题目明确说明是一元二次方程，因此二次项系数不能为0；二是方程有两个实数根，根据一元二次方程根的判别式的性质，此时判别式$\Delta≥0$。我们先分别根据这两个条件列出关于$m$的不等式，再求解两个不等式的公共解集，即可得到$m$的取值范围。
【解析】
∵关于$x$的一元二次方程$(m-1)x^{2}-(2m-1)x+m+1=0$（$m$为常数）有两个实数根，
∴需同时满足二次项系数不为0和判别式非负两个条件：
1. 二次项系数限制：$m-1≠ 0$，解得$m≠ 1$；
2. 判别式限制：$\Delta ≥ 0$，代入判别式公式$\Delta = b^2-4ac$（其中$a=m-1$，$b=-(2m-1)$，$c=m+1$）得：
$[-(2m-1)]^2 - 4(m-1)(m+1) ≥ 0$
展开计算：
$(4m^2 -4m +1) -4(m^2 -1) ≥ 0$
$4m^2 -4m +1 -4m^2 +4 ≥ 0$
合并同类项得：$-4m +5 ≥ 0$
解得：$m≤ \frac{5}{4}$
综上，取两个条件的公共部分，得$m≤ \frac{5}{4}$且$m≠ 1$。
【答案】
$m≤ \frac{5}{4}$且$m≠ 1$
【知识点】
一元二次方程定义，根的判别式，不等式求解
【点评】
本题是一元二次方程根的判定类的易错题，解题时最容易遗漏“一元二次方程二次项系数不为0”的限制条件，只根据判别式求解范围导致出错。需注意先根据方程类型确定参数的基础限制，再结合根的情况列不等式求解，最终解集要同时满足所有限制条件。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，首先明确两个核心限制条件：一是题目明确说明是一元二次方程，因此二次项系数不能为0；二是方程有两个实数根，根据一元二次方程根的判别式的性质，此时判别式$\Delta≥0$。我们先分别根据这两个条件列出关于$m$的不等式，再求解两个不等式的公共解集，即可得到$m$的取值范围。
【解析】
∵关于$x$的一元二次方程$(m-1)x^{2}-(2m-1)x+m+1=0$（$m$为常数）有两个实数根，
∴需同时满足二次项系数不为0和判别式非负两个条件：
1. 二次项系数限制：$m-1≠ 0$，解得$m≠ 1$；
2. 判别式限制：$\Delta ≥ 0$，代入判别式公式$\Delta = b^2-4ac$（其中$a=m-1$，$b=-(2m-1)$，$c=m+1$）得：
$[-(2m-1)]^2 - 4(m-1)(m+1) ≥ 0$
展开计算：
$(4m^2 -4m +1) -4(m^2 -1) ≥ 0$
$4m^2 -4m +1 -4m^2 +4 ≥ 0$
合并同类项得：$-4m +5 ≥ 0$
解得：$m≤ \frac{5}{4}$
综上，取两个条件的公共部分，得$m≤ \frac{5}{4}$且$m≠ 1$。
【答案】
$m≤ \frac{5}{4}$且$m≠ 1$
【知识点】
一元二次方程定义，根的判别式，不等式求解
【点评】
本题是一元二次方程根的判定类的易错题，解题时最容易遗漏“一元二次方程二次项系数不为0”的限制条件，只根据判别式求解范围导致出错。需注意先根据方程类型确定参数的基础限制，再结合根的情况列不等式求解，最终解集要同时满足所有限制条件。
【难度系数】
0.6
3. 已知$A=2a-7,B=a^2-4a+3,C=a^2+6a-28$，其中$a＞2$。
(1)求证:$B＞A$；
(2)比较$A$与$C$的大小，并说明你的理由。
(1)求证:$B＞A$；
(2)比较$A$与$C$的大小，并说明你的理由。
答案
(1)$\because B-A=a^{2}-4a+3-2a+7=a^{2}-6a+10=(a-3)^{2}+1＞0,\therefore B＞A$.
(2)$C-A=a^{2}+6a-28-2a+7$
$=a^{2}+4a-21=(a+7)(a-3)$.
$\because a＞2,\therefore a+7＞0$.
$\therefore$当$2＜a＜3$时,$A＞C$;
当$a=3$时,$A=C$;
当$a＞3$时,$A＜C$.
(2)$C-A=a^{2}+6a-28-2a+7$
$=a^{2}+4a-21=(a+7)(a-3)$.
$\because a＞2,\therefore a+7＞0$.
$\therefore$当$2＜a＜3$时,$A＞C$;
当$a=3$时,$A=C$;
当$a＞3$时,$A＜C$.
解析
【分析】
比较两个代数式的大小通常采用作差法，通过判断差的正负即可得出大小关系。(1)问中先计算B与A的差，对得到的整式配方，利用平方的非负性可证明差恒为正，即可证得B＞A；(2)问同样先计算C与A的差，将差因式分解，结合已知a＞2的条件分析因式的正负性，分情况讨论差的正负，进而比较A和C的大小。
【解析】
(1) 证明：
$B-A=(a^2-4a+3)-(2a-7)$
$=a^2-4a+3-2a+7$
$=a^2-6a+10$
配方可得：$a^2-6a+10=(a-3)^2+1$
∵ 对任意实数a，都有$(a-3)^2≥0$
∴ $(a-3)^2+1≥1＞0$，即$B-A＞0$
∴ $B＞A$
(2) 解：
$C-A=(a^2+6a-28)-(2a-7)$
$=a^2+6a-28-2a+7$
$=a^2+4a-21$
因式分解可得：$a^2+4a-21=(a+7)(a-3)$
∵ $a＞2$，
∴ $a+7＞9＞0$，$C-A$的符号由$a-3$的符号决定：
① 当$2＜a＜3$时，$a-3＜0$，则$C-A＜0$，即$A＞C$；
② 当$a=3$时，$a-3=0$，则$C-A=0$，即$A=C$；
③ 当$a＞3$时，$a-3＞0$，则$C-A＞0$，即$A＜C$。
【答案】
(1) $\because B-A=a^{2}-4a+3-2a+7=a^{2}-6a+10=(a-3)^{2}+1＞0,\therefore B＞A$；
(2) 当$2＜a＜3$时,$A＞C$；当$a=3$时,$A=C$；当$a＞3$时,$A＜C$。
【知识点】
作差法比较大小，配方法，因式分解
【点评】
本题重点考查代数式大小的比较方法，作差法是解决这类问题的基础常用方法，解题时需熟练掌握整式化简、配方、因式分解等变形技能，第二问要结合参数的取值范围分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
比较两个代数式的大小通常采用作差法，通过判断差的正负即可得出大小关系。(1)问中先计算B与A的差，对得到的整式配方，利用平方的非负性可证明差恒为正，即可证得B＞A；(2)问同样先计算C与A的差，将差因式分解，结合已知a＞2的条件分析因式的正负性，分情况讨论差的正负，进而比较A和C的大小。
【解析】
(1) 证明：
$B-A=(a^2-4a+3)-(2a-7)$
$=a^2-4a+3-2a+7$
$=a^2-6a+10$
配方可得：$a^2-6a+10=(a-3)^2+1$
∵ 对任意实数a，都有$(a-3)^2≥0$
∴ $(a-3)^2+1≥1＞0$，即$B-A＞0$
∴ $B＞A$
(2) 解：
$C-A=(a^2+6a-28)-(2a-7)$
$=a^2+6a-28-2a+7$
$=a^2+4a-21$
因式分解可得：$a^2+4a-21=(a+7)(a-3)$
∵ $a＞2$，
∴ $a+7＞9＞0$，$C-A$的符号由$a-3$的符号决定：
① 当$2＜a＜3$时，$a-3＜0$，则$C-A＜0$，即$A＞C$；
② 当$a=3$时，$a-3=0$，则$C-A=0$，即$A=C$；
③ 当$a＞3$时，$a-3＞0$，则$C-A＞0$，即$A＜C$。
【答案】
(1) $\because B-A=a^{2}-4a+3-2a+7=a^{2}-6a+10=(a-3)^{2}+1＞0,\therefore B＞A$；
(2) 当$2＜a＜3$时,$A＞C$；当$a=3$时,$A=C$；当$a＞3$时,$A＜C$。
【知识点】
作差法比较大小，配方法，因式分解
【点评】
本题重点考查代数式大小的比较方法，作差法是解决这类问题的基础常用方法，解题时需熟练掌握整式化简、配方、因式分解等变形技能，第二问要结合参数的取值范围分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
4. 如图,若篱笆(虚线部分)的长度是16 m,当所围成的矩形ABCD的面积是60 m²时,求矩形的长.
答案
设矩形的长为 x m,则宽为$(16-x)$ m.
由题意,得$x(16-x)=60$,
解得$x_1=6,x_2=10,\therefore 16-x=10$或6.
$\because 6＜10,\therefore$矩形的长为10 m.
由题意,得$x(16-x)=60$,
解得$x_1=6,x_2=10,\therefore 16-x=10$或6.
$\because 6＜10,\therefore$矩形的长为10 m.
解析
【分析】
观察图形可知，虚线篱笆的总长度是矩形ABCD相邻两条边的长度和，为16m。解题时首先设矩形的长为x m，即可用含x的代数式表示出矩形的宽；再根据矩形面积公式“面积=长×宽”找到等量关系，列出一元二次方程；求解方程后，结合“矩形的长大于宽”的隐含条件对解进行取舍，即可得到最终结果。
【解析】
解：设矩形的长为x m，则矩形的宽为$(16 - x)$ m。
由题意得：
$x(16-x)=60$
整理得$x^2-16x+60=0$
因式分解得$(x-6)(x-10)=0$
解得$x_1=6$，$x_2=10$。
当$x=6$时，宽为$16-6=10\ \mathrm{m}$，此时长小于宽，不符合长的定义，舍去；
当$x=10$时，宽为$16-10=6\ \mathrm{m}$，$10＞6$，符合要求。
因此矩形的长为10 m。
【答案】
10 m
【知识点】
一元二次方程的应用、矩形面积计算、一元二次方程的求解
【点评】
本题是方程与几何结合的基础应用题，解题关键是正确梳理题干中的数量关系列出方程，求解后要注意结合实际问题的隐含条件对解进行筛选，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.75
观察图形可知，虚线篱笆的总长度是矩形ABCD相邻两条边的长度和，为16m。解题时首先设矩形的长为x m，即可用含x的代数式表示出矩形的宽；再根据矩形面积公式“面积=长×宽”找到等量关系，列出一元二次方程；求解方程后，结合“矩形的长大于宽”的隐含条件对解进行取舍，即可得到最终结果。
【解析】
解：设矩形的长为x m，则矩形的宽为$(16 - x)$ m。
由题意得：
$x(16-x)=60$
整理得$x^2-16x+60=0$
因式分解得$(x-6)(x-10)=0$
解得$x_1=6$，$x_2=10$。
当$x=6$时，宽为$16-6=10\ \mathrm{m}$，此时长小于宽，不符合长的定义，舍去；
当$x=10$时，宽为$16-10=6\ \mathrm{m}$，$10＞6$，符合要求。
因此矩形的长为10 m。
【答案】
10 m
【知识点】
一元二次方程的应用、矩形面积计算、一元二次方程的求解
【点评】
本题是方程与几何结合的基础应用题，解题关键是正确梳理题干中的数量关系列出方程，求解后要注意结合实际问题的隐含条件对解进行筛选，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.75
