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1. 用适当的方法解下列方程：
(1)$(3x+1)^2 - 9=0$；
(2)$x^2 + 4x - 1=0$；
(3)$3x^2 - 2=4x$；
(4)$(y+2)^2=1+2y$；
(5)$x^2 + 3=3\sqrt{2}x$；
(6)$4(x-1)^2=9(x-5)^2$。
(1)$(3x+1)^2 - 9=0$；
(2)$x^2 + 4x - 1=0$；
(3)$3x^2 - 2=4x$；
(4)$(y+2)^2=1+2y$；
(5)$x^2 + 3=3\sqrt{2}x$；
(6)$4(x-1)^2=9(x-5)^2$。
答案
(1)$x_1=-\frac{4}{3},x_2=\frac{2}{3}$；
(2)$x_1=-2+\sqrt{5},x_2=-2-\sqrt{5}$；
(3)$x_1=\frac{2+\sqrt{10}}{3},x_2=\frac{2-\sqrt{10}}{3}$；
(4)无解；
(5)$x_1=\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2},x_2=\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}$；
(6)$x_1=13,x_2=\frac{17}{5}$。
(2)$x_1=-2+\sqrt{5},x_2=-2-\sqrt{5}$；
(3)$x_1=\frac{2+\sqrt{10}}{3},x_2=\frac{2-\sqrt{10}}{3}$；
(4)无解；
(5)$x_1=\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2},x_2=\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}$；
(6)$x_1=13,x_2=\frac{17}{5}$。
解析
【分析】
解一元二次方程时，要先观察方程的结构特征选择最优解法：①若方程形如$(ax+b)^2=c$（$c≥0$），优先选择直接开平方法；②若二次项系数为1，一次项系数为偶数，可选择配方法；③若方程易整理为一般式且不易因式分解，选择公式法，先计算判别式$\Delta=b^2-4ac$，$\Delta≥0$时再代入求根公式，$\Delta＜0$时方程无实数根；④若方程左右两边都是平方形式或可整理为两个因式乘积为0的形式，选择因式分解法。接下来逐个分析每个方程的特征选择对应方法求解即可。
【解析】
(1) 原方程移项得：$(3x+1)^2=9$
直接开平方得：$3x+1=\pm 3$
当$3x+1=3$时，解得$x=\frac{2}{3}$；当$3x+1=-3$时，解得$x=-\frac{4}{3}$
(2) 原方程移项得：$x^2+4x=1$
配方，两边同时加4得：$x^2+4x+4=1+4$，即$(x+2)^2=5$
开平方得：$x+2=\pm\sqrt{5}$
解得$x_1=-2+\sqrt{5}$，$x_2=-2-\sqrt{5}$
(3) 整理为一般式得：$3x^2-4x-2=0$
这里$a=3,b=-4,c=-2$
判别式$\Delta=b^2-4ac=(-4)^2-4×3×(-2)=16+24=40＞0$
代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$得：
$x=\frac{4\pm\sqrt{40}}{2×3}=\frac{4\pm2\sqrt{10}}{6}=\frac{2\pm\sqrt{10}}{3}$
即$x_1=\frac{2+\sqrt{10}}{3}$，$x_2=\frac{2-\sqrt{10}}{3}$
(4) 展开整理得：$y^2+4y+4=1+2y$，即$y^2+2y+3=0$
这里$a=1,b=2,c=3$
判别式$\Delta=2^2-4×1×3=4-12=-8＜0$
所以原方程无实数解
(5) 整理为一般式得：$x^2-3\sqrt{2}x+3=0$
这里$a=1,b=-3\sqrt{2},c=3$
判别式$\Delta=(-3\sqrt{2})^2-4×1×3=18-12=6＞0$
代入求根公式得：
$x=\frac{3\sqrt{2}\pm\sqrt{6}}{2×1}$
即$x_1=\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$，$x_2=\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}$
(6) 移项得：$[2(x-1)]^2-[3(x-5)]^2=0$
利用平方差公式因式分解得：
$[2(x-1)+3(x-5)][2(x-1)-3(x-5)]=0$
化简两个因式得：$(5x-17)(-x+13)=0$
所以$5x-17=0$或$-x+13=0$
解得$x_1=13$，$x_2=\frac{17}{5}$
【答案】
(1)$x_1=-\frac{4}{3},x_2=\frac{2}{3}$；
(2)$x_1=-2+\sqrt{5},x_2=-2-\sqrt{5}$；
(3)$x_1=\frac{2+\sqrt{10}}{3},x_2=\frac{2-\sqrt{10}}{3}$；
(4)无解；
(5)$x_1=\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2},x_2=\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}$；
(6)$x_1=13,x_2=\frac{17}{5}$。
【知识点】
一元二次方程的解法，根的判别式，因式分解
【点评】
本题考查一元二次方程的多种解法，解题时需结合方程特征灵活选择简便方法，注意计算过程中符号的处理，遇到无实数根的情况要明确说明，避免无效计算。
【难度系数】
0.7
解一元二次方程时，要先观察方程的结构特征选择最优解法：①若方程形如$(ax+b)^2=c$（$c≥0$），优先选择直接开平方法；②若二次项系数为1，一次项系数为偶数，可选择配方法；③若方程易整理为一般式且不易因式分解，选择公式法，先计算判别式$\Delta=b^2-4ac$，$\Delta≥0$时再代入求根公式，$\Delta＜0$时方程无实数根；④若方程左右两边都是平方形式或可整理为两个因式乘积为0的形式，选择因式分解法。接下来逐个分析每个方程的特征选择对应方法求解即可。
【解析】
(1) 原方程移项得：$(3x+1)^2=9$
直接开平方得：$3x+1=\pm 3$
当$3x+1=3$时，解得$x=\frac{2}{3}$；当$3x+1=-3$时，解得$x=-\frac{4}{3}$
(2) 原方程移项得：$x^2+4x=1$
配方，两边同时加4得：$x^2+4x+4=1+4$，即$(x+2)^2=5$
开平方得：$x+2=\pm\sqrt{5}$
解得$x_1=-2+\sqrt{5}$，$x_2=-2-\sqrt{5}$
(3) 整理为一般式得：$3x^2-4x-2=0$
这里$a=3,b=-4,c=-2$
判别式$\Delta=b^2-4ac=(-4)^2-4×3×(-2)=16+24=40＞0$
代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$得：
$x=\frac{4\pm\sqrt{40}}{2×3}=\frac{4\pm2\sqrt{10}}{6}=\frac{2\pm\sqrt{10}}{3}$
即$x_1=\frac{2+\sqrt{10}}{3}$，$x_2=\frac{2-\sqrt{10}}{3}$
(4) 展开整理得：$y^2+4y+4=1+2y$，即$y^2+2y+3=0$
这里$a=1,b=2,c=3$
判别式$\Delta=2^2-4×1×3=4-12=-8＜0$
所以原方程无实数解
(5) 整理为一般式得：$x^2-3\sqrt{2}x+3=0$
这里$a=1,b=-3\sqrt{2},c=3$
判别式$\Delta=(-3\sqrt{2})^2-4×1×3=18-12=6＞0$
代入求根公式得：
$x=\frac{3\sqrt{2}\pm\sqrt{6}}{2×1}$
即$x_1=\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$，$x_2=\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}$
(6) 移项得：$[2(x-1)]^2-[3(x-5)]^2=0$
利用平方差公式因式分解得：
$[2(x-1)+3(x-5)][2(x-1)-3(x-5)]=0$
化简两个因式得：$(5x-17)(-x+13)=0$
所以$5x-17=0$或$-x+13=0$
解得$x_1=13$，$x_2=\frac{17}{5}$
【答案】
(1)$x_1=-\frac{4}{3},x_2=\frac{2}{3}$；
(2)$x_1=-2+\sqrt{5},x_2=-2-\sqrt{5}$；
(3)$x_1=\frac{2+\sqrt{10}}{3},x_2=\frac{2-\sqrt{10}}{3}$；
(4)无解；
(5)$x_1=\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2},x_2=\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}$；
(6)$x_1=13,x_2=\frac{17}{5}$。
【知识点】
一元二次方程的解法，根的判别式，因式分解
【点评】
本题考查一元二次方程的多种解法，解题时需结合方程特征灵活选择简便方法，注意计算过程中符号的处理，遇到无实数根的情况要明确说明，避免无效计算。
【难度系数】
0.7
2. 若$(2x+2y+1)(2x+2y-1)=63$，求$(x+y)^2$的值.
答案
设$2x+2y=t$，
则原方程化简为$(t+1)(t-1)=63$，
即$t^2=64$，
$\therefore (x+y)^2=(\frac{t}{2})^2=\frac{t^2}{4}=16$。
则原方程化简为$(t+1)(t-1)=63$，
即$t^2=64$，
$\therefore (x+y)^2=(\frac{t}{2})^2=\frac{t^2}{4}=16$。
解析
【分析】
观察已知等式左边的结构，两个因式中均含有相同的整式2x+2y，且符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的形式，因此可将2x+2y看作整体进行代换，先简化方程求出该整体的平方，再通过变形推导$(x+y)^2$的值，能避免直接展开带来的复杂运算。
【解析】
设$2x+2y=t$，则原方程可化为：
$(t+1)(t-1)=63$
根据平方差公式展开得：
$t^2 - 1 = 63$
移项计算得：
$t^2 = 64$
又因为$t=2x+2y=2(x+y)$，即$x+y=\frac{t}{2}$，因此：
$(x+y)^2=(\frac{t}{2})^2=\frac{t^2}{4}=\frac{64}{4}=16$
【答案】
$16$
【知识点】
平方差公式；换元法；代数式求值
【点评】
本题重点考查整体思想的应用，解题的关键是识别出代数式的平方差结构，将重复出现的整式设为新元简化计算，能有效降低运算量，避免出错。
【难度系数】
0.7
观察已知等式左边的结构，两个因式中均含有相同的整式2x+2y，且符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的形式，因此可将2x+2y看作整体进行代换，先简化方程求出该整体的平方，再通过变形推导$(x+y)^2$的值，能避免直接展开带来的复杂运算。
【解析】
设$2x+2y=t$，则原方程可化为：
$(t+1)(t-1)=63$
根据平方差公式展开得：
$t^2 - 1 = 63$
移项计算得：
$t^2 = 64$
又因为$t=2x+2y=2(x+y)$，即$x+y=\frac{t}{2}$，因此：
$(x+y)^2=(\frac{t}{2})^2=\frac{t^2}{4}=\frac{64}{4}=16$
【答案】
$16$
【知识点】
平方差公式；换元法；代数式求值
【点评】
本题重点考查整体思想的应用，解题的关键是识别出代数式的平方差结构，将重复出现的整式设为新元简化计算，能有效降低运算量，避免出错。
【难度系数】
0.7
3. 新情境 销售旅游纪念品 某商店购进一批旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个.商店为了适当增加销量，第二周决定降价销售.根据市场调研，单价每降低1元，一周可比原来多售出50个，这样两周共获利1 400元，第二周每个纪念品的销售价格为多少元？
答案
设第二周每个纪念品降价$x$元销售，则第二周售出$(200+50x)$个旅游纪念品.
根据题意，得$(10-6)×200+(10-6-x)·(200+50x)=1400$，整理，得$x^2-4=0$，
解得$x_1=2,x_2=-2$(不合题意，舍去)，
$\therefore 10-x=8$.
故第二周每个纪念品的销售价格为8元.
一题多解 设第二周每个纪念品的销售价格为$m$元.
根据题意，得$(10-6)×200+(m-6)[200+50(10-m)]=1400$，
整理，得$m^2-20m+96=0$，
解得$m_1=12$(舍去),$m_2=8$.
故第二周每个纪念品的销售价格为8元.
根据题意，得$(10-6)×200+(10-6-x)·(200+50x)=1400$，整理，得$x^2-4=0$，
解得$x_1=2,x_2=-2$(不合题意，舍去)，
$\therefore 10-x=8$.
故第二周每个纪念品的销售价格为8元.
一题多解 设第二周每个纪念品的销售价格为$m$元.
根据题意，得$(10-6)×200+(m-6)[200+50(10-m)]=1400$，
整理，得$m^2-20m+96=0$，
解得$m_1=12$(舍去),$m_2=8$.
故第二周每个纪念品的销售价格为8元.
解析
【分析】
这是一道销售利润类的一元二次方程应用题，解题核心是抓住“两周总获利1400元”的等量关系。首先回忆利润计算公式：总利润=单个商品利润×销售量。首先可直接算出第一周的利润：第一周单个利润为售价减进价，销量已知；再处理第二周的利润，可设第二周每个降价x元，那么第二周的单个利润为原单个利润减去降价金额，销量为原销量加上每降1元多售的数量乘降价金额；最后将两周利润相加等于总获利1400元列方程，求解后验证解是否符合实际销售情境，舍去不符合的解，即可算出第二周售价。
【解析】
方法一：设第二周每个纪念品降价$x$元销售，则第二周售出$(200+50x)$个旅游纪念品。
根据题意列方程：
$(10-6)×200+(10-6-x)·(200+50x)=1400$
整理得：$x^2-4=0$
解得$x_1=2$，$x_2=-2$（降价金额不能为负，不合题意，舍去）
因此第二周售价为$10-x=10-2=8$元。
方法二：设第二周每个纪念品的销售价格为$m$元。
根据题意列方程：
$(10-6)×200+(m-6)[200+50(10-m)]=1400$
整理得：$m^2-20m+96=0$
解得$m_1=12$（售价高于第一周，不符合降价促销设定，舍去），$m_2=8$。
【答案】
8元
【知识点】
一元二次方程应用，销售利润计算，实际问题验根
【点评】
本题结合实际销售情境考查一元二次方程的应用，解题关键是找准总利润的等量关系，正确表示出第二周的单个利润与销售量，求解后要注意结合实际情境舍去不符合逻辑的根，避免多解错误。
【难度系数】
0.65
这是一道销售利润类的一元二次方程应用题，解题核心是抓住“两周总获利1400元”的等量关系。首先回忆利润计算公式：总利润=单个商品利润×销售量。首先可直接算出第一周的利润：第一周单个利润为售价减进价，销量已知；再处理第二周的利润，可设第二周每个降价x元，那么第二周的单个利润为原单个利润减去降价金额，销量为原销量加上每降1元多售的数量乘降价金额；最后将两周利润相加等于总获利1400元列方程，求解后验证解是否符合实际销售情境，舍去不符合的解，即可算出第二周售价。
【解析】
方法一：设第二周每个纪念品降价$x$元销售，则第二周售出$(200+50x)$个旅游纪念品。
根据题意列方程：
$(10-6)×200+(10-6-x)·(200+50x)=1400$
整理得：$x^2-4=0$
解得$x_1=2$，$x_2=-2$（降价金额不能为负，不合题意，舍去）
因此第二周售价为$10-x=10-2=8$元。
方法二：设第二周每个纪念品的销售价格为$m$元。
根据题意列方程：
$(10-6)×200+(m-6)[200+50(10-m)]=1400$
整理得：$m^2-20m+96=0$
解得$m_1=12$（售价高于第一周，不符合降价促销设定，舍去），$m_2=8$。
【答案】
8元
【知识点】
一元二次方程应用，销售利润计算，实际问题验根
【点评】
本题结合实际销售情境考查一元二次方程的应用，解题关键是找准总利润的等量关系，正确表示出第二周的单个利润与销售量，求解后要注意结合实际情境舍去不符合逻辑的根，避免多解错误。
【难度系数】
0.65
