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1. (泰州中考)关于$x$的一元二次方程$x^2 + 2x - 1 = 0$的两根之和为________.
答案
1. -2
解析
【分析】
本题要求一元二次方程的两根之和，首先回忆所学的一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：对于形如$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一元二次方程，若两根为$x_1$、$x_2$，则两根之和为$-\frac{b}{a}$。解题时首先确定给定方程的二次项系数$a$、一次项系数$b$，再代入公式计算即可，注意不要弄错系数的符号。
【解析】
解：对于一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若方程的两根为$x_1$、$x_2$，根据根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$
题目所给方程为$x^2+2x-1=0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=2$，
将$a$、$b$代入公式得两根之和为：
$-\frac{b}{a}=-\frac{2}{1}=-2$
【答案】
-2
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的系数识别
【点评】
本题是基础题，考查一元二次方程根与系数关系的直接应用，解题核心是准确识别方程各项系数，牢记公式的符号规则，避免因符号误判导致失分。
【难度系数】
0.9
本题要求一元二次方程的两根之和，首先回忆所学的一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：对于形如$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一元二次方程，若两根为$x_1$、$x_2$，则两根之和为$-\frac{b}{a}$。解题时首先确定给定方程的二次项系数$a$、一次项系数$b$，再代入公式计算即可，注意不要弄错系数的符号。
【解析】
解：对于一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若方程的两根为$x_1$、$x_2$，根据根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$
题目所给方程为$x^2+2x-1=0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=2$，
将$a$、$b$代入公式得两根之和为：
$-\frac{b}{a}=-\frac{2}{1}=-2$
【答案】
-2
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的系数识别
【点评】
本题是基础题，考查一元二次方程根与系数关系的直接应用，解题核心是准确识别方程各项系数，牢记公式的符号规则，避免因符号误判导致失分。
【难度系数】
0.9
2. 已知$x_1,x_2$是关于$x$的方程$x^2+ax-2b=0$的两个实数根，且$x_1+x_2=-2$，$x_1· x_2=1$，求$b^a$的值.
答案
2. $\because x_1,x_2$是关于$x$的方程$x^2 +ax -2b=0$的两个实数根，
$\therefore x_1+x_2=-a=-2,x_1 · x_2=-2b=1$，
解得$a=2,b=-\frac{1}{2},\therefore b^a=(-\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$.
$\therefore x_1+x_2=-a=-2,x_1 · x_2=-2b=1$，
解得$a=2,b=-\frac{1}{2},\therefore b^a=(-\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$.
解析
【分析】
解题时首先观察题目条件，已知一元二次方程的两个实数根的和与积，应联想到一元二次方程根与系数的关系。第一步先根据根与系数的关系，写出方程两根之和、两根之积对应方程系数的表达式；第二步结合题目给出的$x_1+x_2$和$x_1·x_2$的取值，列等式求出参数$a$、$b$的值；第三步将$a$、$b$的值代入$b^a$计算即可得到结果。
【解析】
解：$\because x_1,x_2$是关于$x$的方程$x^2+ax-2b=0$的两个实数根，
根据一元二次方程根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=-a$，$x_1·x_2=-2b$，
又$\because x_1+x_2=-2$，$x_1·x_2=1$，
$\therefore \begin{cases}-a=-2\\-2b=1\end{cases}$，
解得：$a=2$，$b=-\frac{1}{2}$，
将$a=2$，$b=-\frac{1}{2}$代入$b^a$得：
$b^a=(-\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$。
【答案】
$\frac{1}{4}$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 有理数乘方运算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程根与系数关系的应用，解题关键是准确对应两根和、两根积与方程系数的关系，计算乘方时注意负数的偶次幂为正，避免符号出错。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察题目条件，已知一元二次方程的两个实数根的和与积，应联想到一元二次方程根与系数的关系。第一步先根据根与系数的关系，写出方程两根之和、两根之积对应方程系数的表达式；第二步结合题目给出的$x_1+x_2$和$x_1·x_2$的取值，列等式求出参数$a$、$b$的值；第三步将$a$、$b$的值代入$b^a$计算即可得到结果。
【解析】
解：$\because x_1,x_2$是关于$x$的方程$x^2+ax-2b=0$的两个实数根，
根据一元二次方程根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=-a$，$x_1·x_2=-2b$，
又$\because x_1+x_2=-2$，$x_1·x_2=1$，
$\therefore \begin{cases}-a=-2\\-2b=1\end{cases}$，
解得：$a=2$，$b=-\frac{1}{2}$，
将$a=2$，$b=-\frac{1}{2}$代入$b^a$得：
$b^a=(-\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$。
【答案】
$\frac{1}{4}$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 有理数乘方运算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程根与系数关系的应用，解题关键是准确对应两根和、两根积与方程系数的关系，计算乘方时注意负数的偶次幂为正，避免符号出错。
【难度系数】
0.8
3. 如果$a,b$是方程$2x^2 - 6x + 3 = 0$的两个实数根，求$a^2 + 3b^2 - 6b + 9$的值.
答案
3. $\because a,b$是方程$2x^2 -6x +3=0$的两个实数根，
$\therefore 2b^2 -6b=-3,a+b=3,ab=\frac{3}{2}$.
$\therefore a^2 +3b^2 -6b +9=a^2 +b^2 +2b^2 -6b +9=(a+b)^2 -2ab -3 +9=3^2 -2×\frac{3}{2}+6=12$.
$\therefore 2b^2 -6b=-3,a+b=3,ab=\frac{3}{2}$.
$\therefore a^2 +3b^2 -6b +9=a^2 +b^2 +2b^2 -6b +9=(a+b)^2 -2ab -3 +9=3^2 -2×\frac{3}{2}+6=12$.
解析
【分析】
遇到这类已知一元二次方程的两根，求含两根的代数式值的问题，优先考虑整体代入法避免复杂计算，思考步骤如下：①观察所求代数式，发现含$b^2$和$-6b$的项，可结合方程根的定义：根代入原方程等式成立，得到$2b^2-6b$的定值，先对所求代数式拆分，把$3b^2$拆为$b^2+2b^2$，替换掉$2b^2-6b$为常数；②剩余的$a^2+b^2$可通过完全平方公式变形为$(a+b)^2-2ab$，再利用一元二次方程根与系数的关系求出两根和$a+b$、两根积$ab$的值；③最后将所有定值整体代入变形后的式子计算即可。
【解析】
$\because a,b$是方程$2x^2 -6x +3=0$的两个实数根，
$\therefore$ 将$b$代入方程得$2b^2 -6b +3=0$，即$2b^2 -6b=-3$，
根据根与系数的关系可得：$a+b=\frac{6}{2}=3$，$ab=\frac{3}{2}$。
对所求代数式变形：
$a^2 +3b^2 -6b +9$
$=a^2 +b^2 +(2b^2 -6b) +9$
$=(a+b)^2 -2ab +(2b^2 -6b) +9$
将$2b^2 -6b=-3$，$a+b=3$，$ab=\frac{3}{2}$代入得：
原式$=3^2 -2×\frac{3}{2} + (-3) +9$
$=9-3-3+9$
$=12$
【答案】
$12$
【知识点】
一元二次方程根的定义；根与系数的关系；完全平方公式
【点评】
本题是一元二次方程性质的典型综合题，解题核心是运用整体代入思想简化运算，无需算出两根的具体值，只需合理拆分代数式，结合根的定义、根与系数的关系和完全平方公式变形即可求解，能有效考查学生的代数变形能力和整体思想应用能力。
【难度系数】
0.6
遇到这类已知一元二次方程的两根，求含两根的代数式值的问题，优先考虑整体代入法避免复杂计算，思考步骤如下：①观察所求代数式，发现含$b^2$和$-6b$的项，可结合方程根的定义：根代入原方程等式成立，得到$2b^2-6b$的定值，先对所求代数式拆分，把$3b^2$拆为$b^2+2b^2$，替换掉$2b^2-6b$为常数；②剩余的$a^2+b^2$可通过完全平方公式变形为$(a+b)^2-2ab$，再利用一元二次方程根与系数的关系求出两根和$a+b$、两根积$ab$的值；③最后将所有定值整体代入变形后的式子计算即可。
【解析】
$\because a,b$是方程$2x^2 -6x +3=0$的两个实数根，
$\therefore$ 将$b$代入方程得$2b^2 -6b +3=0$，即$2b^2 -6b=-3$，
根据根与系数的关系可得：$a+b=\frac{6}{2}=3$，$ab=\frac{3}{2}$。
对所求代数式变形：
$a^2 +3b^2 -6b +9$
$=a^2 +b^2 +(2b^2 -6b) +9$
$=(a+b)^2 -2ab +(2b^2 -6b) +9$
将$2b^2 -6b=-3$，$a+b=3$，$ab=\frac{3}{2}$代入得：
原式$=3^2 -2×\frac{3}{2} + (-3) +9$
$=9-3-3+9$
$=12$
【答案】
$12$
【知识点】
一元二次方程根的定义；根与系数的关系；完全平方公式
【点评】
本题是一元二次方程性质的典型综合题，解题核心是运用整体代入思想简化运算，无需算出两根的具体值，只需合理拆分代数式，结合根的定义、根与系数的关系和完全平方公式变形即可求解，能有效考查学生的代数变形能力和整体思想应用能力。
【难度系数】
0.6
4. 不解方程$2x^2 - 6x + 1 = 0$，求：
(1)此方程的两根的倒数和；
(2)两根差的平方。
(1)此方程的两根的倒数和；
(2)两根差的平方。
答案
4. (1)设方程$2x^2 -6x +1=0$的两根为$x_1,x_2$.
由根与系数的关系，得$x_1+x_2=3,x_1x_2=\frac{1}{2}$，
$\therefore \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{3}{\frac{1}{2}}=6$.
(2)$(x_1 -x_2)^2=(x_1+x_2)^2 -4x_1x_2$
$=3^2 -4×\frac{1}{2}=9-2=7$.
由根与系数的关系，得$x_1+x_2=3,x_1x_2=\frac{1}{2}$，
$\therefore \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{3}{\frac{1}{2}}=6$.
(2)$(x_1 -x_2)^2=(x_1+x_2)^2 -4x_1x_2$
$=3^2 -4×\frac{1}{2}=9-2=7$.
解析
【分析】
本题要求不解方程求关于两根的代数式的值，解题思路如下：第一步，先设出方程的两个根，根据一元二次方程根与系数的关系，直接求出两根之和与两根之积；第二步，将所求的代数式进行恒等变形，转化为只含两根之和、两根之积的形式；第三步，将求出的两根和、两根积代入变形后的式子计算即可，不需要求解方程的具体根。其中(1)的倒数和可通过通分变形，(2)的两根差的平方可通过完全平方公式变形推导。
【解析】
设方程$2x^2 -6x +1=0$的两根为$x_1,x_2$。
根据一元二次方程根与系数的关系，可得：
$x_1+x_2=-\frac{-6}{2}=3$，$x_1x_2=\frac{1}{2}$。
(1) 对$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$通分可得：
$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}$，
将$x_1+x_2=3$，$x_1x_2=\frac{1}{2}$代入得：
原式$=\frac{3}{\frac{1}{2}}=6$。
(2) 根据完全平方公式变形可得：
$(x_1 -x_2)^2=(x_1+x_2)^2 -4x_1x_2$，
将$x_1+x_2=3$，$x_1x_2=\frac{1}{2}$代入得：
原式$=3^2 -4×\frac{1}{2}=9-2=7$。
【答案】
(1) $\boxed{6}$；(2) $\boxed{7}$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，代数式恒等变形，完全平方公式
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的基础应用题型，核心技巧是将待求代数式转化为仅含两根之和、两根之积的形式，避免了解方程的繁琐，熟练掌握常见代数式的变形方法是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.8
本题要求不解方程求关于两根的代数式的值，解题思路如下：第一步，先设出方程的两个根，根据一元二次方程根与系数的关系，直接求出两根之和与两根之积；第二步，将所求的代数式进行恒等变形，转化为只含两根之和、两根之积的形式；第三步，将求出的两根和、两根积代入变形后的式子计算即可，不需要求解方程的具体根。其中(1)的倒数和可通过通分变形，(2)的两根差的平方可通过完全平方公式变形推导。
【解析】
设方程$2x^2 -6x +1=0$的两根为$x_1,x_2$。
根据一元二次方程根与系数的关系，可得：
$x_1+x_2=-\frac{-6}{2}=3$，$x_1x_2=\frac{1}{2}$。
(1) 对$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$通分可得：
$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}$，
将$x_1+x_2=3$，$x_1x_2=\frac{1}{2}$代入得：
原式$=\frac{3}{\frac{1}{2}}=6$。
(2) 根据完全平方公式变形可得：
$(x_1 -x_2)^2=(x_1+x_2)^2 -4x_1x_2$，
将$x_1+x_2=3$，$x_1x_2=\frac{1}{2}$代入得：
原式$=3^2 -4×\frac{1}{2}=9-2=7$。
【答案】
(1) $\boxed{6}$；(2) $\boxed{7}$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，代数式恒等变形，完全平方公式
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的基础应用题型，核心技巧是将待求代数式转化为仅含两根之和、两根之积的形式，避免了解方程的繁琐，熟练掌握常见代数式的变形方法是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.8
5. 已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程$2x^2 - 8x + 7 = 0$的两个根，求这个直角三角形的斜边长.
答案
5. 设直角三角形的两条直角边的长分别为$a,b$.
由题意，得$a+b=4,ab=\frac{7}{2}$.
由勾股定理，得斜边$c=\sqrt{a^2 +b^2}=\sqrt{(a+b)^2 -2ab}=\sqrt{16-7}=3$.
由题意，得$a+b=4,ab=\frac{7}{2}$.
由勾股定理，得斜边$c=\sqrt{a^2 +b^2}=\sqrt{(a+b)^2 -2ab}=\sqrt{16-7}=3$.
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以顺着以下思路推导：首先，要求直角三角形的斜边长，核心依据是勾股定理，即斜边长的平方等于两条直角边长的平方和。已知两条直角边是给定一元二次方程的两个根，我们不需要费力求出两根的具体值，可先利用一元二次方程根与系数的关系直接得到两根之和与两根之积，再借助完全平方公式将“两直角边的平方和”变形为“（两直角边之和）的平方减去2倍的两直角边之积”，整体代入数值计算即可，这种方法比直接解方程更简便。
【解析】
设直角三角形的两条直角边的长分别为$a,b$。
根据一元二次方程根与系数的关系，对于方程$2x^2 - 8x + 7 = 0$，可得：
$a+b = -\frac{-8}{2} = 4$，$ab = \frac{7}{2}$。
根据勾股定理，直角三角形的斜边长$c = \sqrt{a^2 + b^2}$，利用完全平方公式变形得$a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$，将$a+b=4$、$ab=\frac{7}{2}$代入可得：
$c = \sqrt{(a+b)^2 - 2ab} = \sqrt{4^2 - 2×\frac{7}{2}} = \sqrt{16 - 7} = \sqrt{9} = 3$。
【答案】
这个直角三角形的斜边长为$3$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系；2. 勾股定理；3. 完全平方公式变形
【点评】
本题是代数与几何结合的基础题，解题的核心是运用整体代入思想，无需解出一元二次方程的根，通过代数式变形结合根与系数的关系即可快速求解，能大幅简化计算过程。
【难度系数】
0.75
要解决这道题，我们可以顺着以下思路推导：首先，要求直角三角形的斜边长，核心依据是勾股定理，即斜边长的平方等于两条直角边长的平方和。已知两条直角边是给定一元二次方程的两个根，我们不需要费力求出两根的具体值，可先利用一元二次方程根与系数的关系直接得到两根之和与两根之积，再借助完全平方公式将“两直角边的平方和”变形为“（两直角边之和）的平方减去2倍的两直角边之积”，整体代入数值计算即可，这种方法比直接解方程更简便。
【解析】
设直角三角形的两条直角边的长分别为$a,b$。
根据一元二次方程根与系数的关系，对于方程$2x^2 - 8x + 7 = 0$，可得：
$a+b = -\frac{-8}{2} = 4$，$ab = \frac{7}{2}$。
根据勾股定理，直角三角形的斜边长$c = \sqrt{a^2 + b^2}$，利用完全平方公式变形得$a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$，将$a+b=4$、$ab=\frac{7}{2}$代入可得：
$c = \sqrt{(a+b)^2 - 2ab} = \sqrt{4^2 - 2×\frac{7}{2}} = \sqrt{16 - 7} = \sqrt{9} = 3$。
【答案】
这个直角三角形的斜边长为$3$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系；2. 勾股定理；3. 完全平方公式变形
【点评】
本题是代数与几何结合的基础题，解题的核心是运用整体代入思想，无需解出一元二次方程的根，通过代数式变形结合根与系数的关系即可快速求解，能大幅简化计算过程。
【难度系数】
0.75
