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1. 已知关于 $ x $ 的方程 $ x^2 + (m - 1)x + m - 10 = 0 $ 的一个根是 3，求 $ m $ 的值及方程的另一个根。
答案
把$x=3$代入方程，得
$9+3(m-1)+m-10=0$，解得$m=1$，
则原方程为$x^2-9=0$，
解得$x=3$或$-3$。
故$m$的值为1，方程的另一个根为$-3$。
$9+3(m-1)+m-10=0$，解得$m=1$，
则原方程为$x^2-9=0$，
解得$x=3$或$-3$。
故$m$的值为1，方程的另一个根为$-3$。
解析
【分析】
已知一元二次方程的一个根，根据方程根的定义，将已知根代入原方程，可得到关于m的一元一次方程，求解就能得到m的值；再将m的值代回原方程，解确定后的一元二次方程，即可求出方程的另一个根，也可在求出m后利用根与系数的关系直接计算另一个根。
【解析】
第一步：将$x=3$代入原方程求$m$的值
把$x=3$代入方程$x^2 + (m - 1)x + m - 10 = 0$，得：
$3^2 + 3(m - 1) + m - 10 = 0$
化简计算：
$9 + 3m - 3 + m - 10 = 0$
$4m - 4 = 0$
解得$m=1$
第二步：求方程的另一个根
把$m=1$代入原方程，得：
$x^2 + (1-1)x + 1 - 10 = 0$
即$x^2 - 9 = 0$
因式分解得$(x-3)(x+3)=0$
解得$x_1=3$，$x_2=-3$
因此方程的另一个根为$-3$
【答案】
$m$的值为1，方程的另一个根为$-3$
【知识点】
一元二次方程根的定义、解一元二次方程、代入求值
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，核心考查对根的定义的应用，解题思路清晰直接，既可以用代入法求解，也可以结合根与系数的关系简化计算，有助于巩固一元二次方程的基础性质。
【难度系数】
0.9
已知一元二次方程的一个根，根据方程根的定义，将已知根代入原方程，可得到关于m的一元一次方程，求解就能得到m的值；再将m的值代回原方程，解确定后的一元二次方程，即可求出方程的另一个根，也可在求出m后利用根与系数的关系直接计算另一个根。
【解析】
第一步：将$x=3$代入原方程求$m$的值
把$x=3$代入方程$x^2 + (m - 1)x + m - 10 = 0$，得：
$3^2 + 3(m - 1) + m - 10 = 0$
化简计算：
$9 + 3m - 3 + m - 10 = 0$
$4m - 4 = 0$
解得$m=1$
第二步：求方程的另一个根
把$m=1$代入原方程，得：
$x^2 + (1-1)x + 1 - 10 = 0$
即$x^2 - 9 = 0$
因式分解得$(x-3)(x+3)=0$
解得$x_1=3$，$x_2=-3$
因此方程的另一个根为$-3$
【答案】
$m$的值为1，方程的另一个根为$-3$
【知识点】
一元二次方程根的定义、解一元二次方程、代入求值
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，核心考查对根的定义的应用，解题思路清晰直接，既可以用代入法求解，也可以结合根与系数的关系简化计算，有助于巩固一元二次方程的基础性质。
【难度系数】
0.9
2. 已知关于 $ x $ 的方程 $ x^2 + (2a + 1)x + a^2 - 2 = 0 $ 的两个实数根的平方和等于 11，求 $ a $ 的值.
答案
设方程的两个实数根是$x_1,x_2$。
由题意，得$\Delta=(2a+1)^2-4(a^2-2)≥0$，
解得$a≥-\dfrac{9}{4}$。
$\because x_1+x_2=-(2a+1),x_1x_2=a^2-2$，
$\therefore x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=2a^2+4a+5$。
由题意，得$2a^2+4a+5=11$，
解得$a_1=1,a_2=-3$(不合题意，舍去)，$\therefore a=1$。
由题意，得$\Delta=(2a+1)^2-4(a^2-2)≥0$，
解得$a≥-\dfrac{9}{4}$。
$\because x_1+x_2=-(2a+1),x_1x_2=a^2-2$，
$\therefore x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=2a^2+4a+5$。
由题意，得$2a^2+4a+5=11$，
解得$a_1=1,a_2=-3$(不合题意，舍去)，$\therefore a=1$。
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确题目给出方程有两个实数根，因此第一步需要先通过根的判别式确定参数a的取值范围，避免后续求出的a不符合方程有实根的条件。接下来要求两根的平方和，我们可以利用完全平方公式的变形，将两根平方和转化为两根之和的平方减去两倍的两根之积，而两根之和与两根之积可以通过一元二次方程根与系数的关系直接用含a的代数式表示，最后结合两根平方和等于11的条件列方程求解，再根据之前得到的a的取值范围对解进行取舍即可。
【解析】
设方程的两个实数根是$x_1,x_2$。
首先根据方程有两个实数根，得判别式$\Delta=(2a+1)^2-4(a^2-2)≥0$，
展开计算：$4a^2+4a+1-4a^2+8≥0$，化简得$4a+9≥0$，解得$a≥-\dfrac{9}{4}$。
根据根与系数的关系，得：
$x_1+x_2=-(2a+1)$，$x_1x_2=a^2-2$。
对两根平方和进行变形：
$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$，
将上面的两根和、积代入得：
$x_1^2+x_2^2=[-(2a+1)]^2-2(a^2-2)=4a^2+4a+1-2a^2+4=2a^2+4a+5$。
由题意两根平方和等于11，得：
$2a^2+4a+5=11$，
移项化简得$2a^2+4a-6=0$，即$a^2+2a-3=0$，
因式分解得$(a+3)(a-1)=0$，解得$a_1=1,a_2=-3$。
结合之前得到的$a≥-\dfrac{9}{4}$，可知$a=-3＜-\dfrac{9}{4}$，不符合题意，舍去，因此$a=1$。
【答案】
$a=1$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系
3. 完全平方公式变形
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的常规应用题型，解题的易错点是忽略方程有两个实数根的前提，未通过判别式限定参数范围直接求解，导致得到增根$a=-3$。熟练掌握根的对称式的常见变形方法，牢记先判断根的存在性再求解参数的解题顺序，就能顺利解决这类问题。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，首先明确题目给出方程有两个实数根，因此第一步需要先通过根的判别式确定参数a的取值范围，避免后续求出的a不符合方程有实根的条件。接下来要求两根的平方和，我们可以利用完全平方公式的变形，将两根平方和转化为两根之和的平方减去两倍的两根之积，而两根之和与两根之积可以通过一元二次方程根与系数的关系直接用含a的代数式表示，最后结合两根平方和等于11的条件列方程求解，再根据之前得到的a的取值范围对解进行取舍即可。
【解析】
设方程的两个实数根是$x_1,x_2$。
首先根据方程有两个实数根，得判别式$\Delta=(2a+1)^2-4(a^2-2)≥0$，
展开计算：$4a^2+4a+1-4a^2+8≥0$，化简得$4a+9≥0$，解得$a≥-\dfrac{9}{4}$。
根据根与系数的关系，得：
$x_1+x_2=-(2a+1)$，$x_1x_2=a^2-2$。
对两根平方和进行变形：
$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$，
将上面的两根和、积代入得：
$x_1^2+x_2^2=[-(2a+1)]^2-2(a^2-2)=4a^2+4a+1-2a^2+4=2a^2+4a+5$。
由题意两根平方和等于11，得：
$2a^2+4a+5=11$，
移项化简得$2a^2+4a-6=0$，即$a^2+2a-3=0$，
因式分解得$(a+3)(a-1)=0$，解得$a_1=1,a_2=-3$。
结合之前得到的$a≥-\dfrac{9}{4}$，可知$a=-3＜-\dfrac{9}{4}$，不符合题意，舍去，因此$a=1$。
【答案】
$a=1$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系
3. 完全平方公式变形
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的常规应用题型，解题的易错点是忽略方程有两个实数根的前提，未通过判别式限定参数范围直接求解，导致得到增根$a=-3$。熟练掌握根的对称式的常见变形方法，牢记先判断根的存在性再求解参数的解题顺序，就能顺利解决这类问题。
【难度系数】
0.6
3. 已知关于$ x $的方程$ x^2 - 2(k - 1)x + k^2 = 0 $有两个实数根$ x_1, x_2 $。
(1)求$ k $的取值范围；
(2)若$ x_1 + x_2 = 1 - x_1x_2 $，求$ k $的值。
(1)求$ k $的取值范围；
(2)若$ x_1 + x_2 = 1 - x_1x_2 $，求$ k $的值。
答案
(1)$\because$方程$x^2-2(k-1)x+k^2=0$有两个实数根$x_1,x_2$，
$\therefore \Delta≥0$，
$\therefore 4(k-1)^2-4×1× k^2≥0$，解得$k≤\dfrac{1}{2}$，
$\therefore k$的取值范围为$k≤\dfrac{1}{2}$。
(2)$\because$方程$x^2-2(k-1)x+k^2=0$有两个实数根$x_1,x_2$，
$\therefore x_1+x_2=2(k-1),x_1x_2=k^2$。
$\because x_1+x_2=1-x_1x_2$，
$\therefore 2(k-1)=1-k^2$，即$k^2+2k-3=0$，
解得$k_1=-3,k_2=1$。
$\because k≤\dfrac{1}{2}$，$\therefore k=-3$。
$\therefore \Delta≥0$，
$\therefore 4(k-1)^2-4×1× k^2≥0$，解得$k≤\dfrac{1}{2}$，
$\therefore k$的取值范围为$k≤\dfrac{1}{2}$。
(2)$\because$方程$x^2-2(k-1)x+k^2=0$有两个实数根$x_1,x_2$，
$\therefore x_1+x_2=2(k-1),x_1x_2=k^2$。
$\because x_1+x_2=1-x_1x_2$，
$\therefore 2(k-1)=1-k^2$，即$k^2+2k-3=0$，
解得$k_1=-3,k_2=1$。
$\because k≤\dfrac{1}{2}$，$\therefore k=-3$。
解析
【分析】
（1）已知一元二次方程有两个实数根，根据根的判别式的性质，当$\Delta ≥ 0$时方程有两个实数根（含两个相等实根的情况），先确定方程中二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$的值，代入$\Delta =b^2-4ac ≥ 0$，解不等式即可求出$k$的取值范围。
（2）题干给出两根和与积的等量关系，优先使用一元二次方程根与系数的关系，先写出$x_1+x_2$、$x_1x_2$关于$k$的表达式，代入已知等式得到关于$k$的一元二次方程，求解后结合第（1）问的$k$的取值范围舍去不符合条件的解，即可得到最终$k$的值。
【解析】
(1) $\because$方程$x^2-2(k-1)x+k^2=0$有两个实数根$x_1,x_2$，
$\therefore \Delta ≥ 0$，
$\therefore 4(k-1)^2-4× 1× k^2≥ 0$，
展开化简得$-8k+4≥ 0$，解得$k≤ \dfrac{1}{2}$，
$\therefore k$的取值范围为$k≤ \dfrac{1}{2}$。
(2) $\because$方程$x^2-2(k-1)x+k^2=0$有两个实数根$x_1,x_2$，
$\therefore$根据根与系数的关系得：$x_1+x_2=2(k-1),x_1x_2=k^2$，
$\because x_1+x_2=1-x_1x_2$，
$\therefore$代入得$2(k-1)=1-k^2$，整理得$k^2+2k-3=0$，
因式分解得$(k+3)(k-1)=0$，解得$k_1=-3,k_2=1$，
$\because k≤ \dfrac{1}{2}$，$k=1$不符合取值范围需舍去，
$\therefore k=-3$。
【答案】
(1) $k≤ \dfrac{1}{2}$；(2) $k=-3$
【知识点】
一元二次方程根的判别式；根与系数的关系；解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程的常见综合题型，第一问要注意“两个实数根”包含两个相等实根的情况，判别式需取$≥ 0$，避免漏写等号出错；第二问求解参数后一定要结合第一问的参数范围检验取舍，防止出现增根。
【难度系数】
0.7
（1）已知一元二次方程有两个实数根，根据根的判别式的性质，当$\Delta ≥ 0$时方程有两个实数根（含两个相等实根的情况），先确定方程中二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$的值，代入$\Delta =b^2-4ac ≥ 0$，解不等式即可求出$k$的取值范围。
（2）题干给出两根和与积的等量关系，优先使用一元二次方程根与系数的关系，先写出$x_1+x_2$、$x_1x_2$关于$k$的表达式，代入已知等式得到关于$k$的一元二次方程，求解后结合第（1）问的$k$的取值范围舍去不符合条件的解，即可得到最终$k$的值。
【解析】
(1) $\because$方程$x^2-2(k-1)x+k^2=0$有两个实数根$x_1,x_2$，
$\therefore \Delta ≥ 0$，
$\therefore 4(k-1)^2-4× 1× k^2≥ 0$，
展开化简得$-8k+4≥ 0$，解得$k≤ \dfrac{1}{2}$，
$\therefore k$的取值范围为$k≤ \dfrac{1}{2}$。
(2) $\because$方程$x^2-2(k-1)x+k^2=0$有两个实数根$x_1,x_2$，
$\therefore$根据根与系数的关系得：$x_1+x_2=2(k-1),x_1x_2=k^2$，
$\because x_1+x_2=1-x_1x_2$，
$\therefore$代入得$2(k-1)=1-k^2$，整理得$k^2+2k-3=0$，
因式分解得$(k+3)(k-1)=0$，解得$k_1=-3,k_2=1$，
$\because k≤ \dfrac{1}{2}$，$k=1$不符合取值范围需舍去，
$\therefore k=-3$。
【答案】
(1) $k≤ \dfrac{1}{2}$；(2) $k=-3$
【知识点】
一元二次方程根的判别式；根与系数的关系；解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程的常见综合题型，第一问要注意“两个实数根”包含两个相等实根的情况，判别式需取$≥ 0$，避免漏写等号出错；第二问求解参数后一定要结合第一问的参数范围检验取舍，防止出现增根。
【难度系数】
0.7
4. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 - (2k+1)x + k^2 + 2k = 0 $ 有两个实数根 $ x_1, x_2 $。
(1)求实数 $ k $ 的取值范围。
(2)是否存在实数 $ k $，使得 $ x_1x_2 - x_1^2 - x_2^2 = -16 $ 成立？若存在，请求出 $ k $ 的值；若不存在，请说明理由。
(1)求实数 $ k $ 的取值范围。
(2)是否存在实数 $ k $，使得 $ x_1x_2 - x_1^2 - x_2^2 = -16 $ 成立？若存在，请求出 $ k $ 的值；若不存在，请说明理由。
答案
(1)根据题意，得$\Delta=(2k+1)^2-4(k^2+2k)≥0$，
解得$k≤\dfrac{1}{4}$。
(2)根据题意，得$x_1+x_2=2k+1,x_1x_2=k^2+2k$。
$\because x_1x_2-x_1^2-x_2^2=-16$，
$\therefore x_1x_2-[(x_1+x_2)^2-2x_1x_2]=-16$，
即$-(x_1+x_2)^2+3x_1x_2=-16$，
$\therefore -(2k+1)^2+3(k^2+2k)=-16$，
整理，得$k^2-2k-15=0$，
解得$k_1=5$(舍去)，$k_2=-3$。
故存在实数$k=-3$，使得$x_1x_2-x_1^2-x_2^2=-16$成立。
解得$k≤\dfrac{1}{4}$。
(2)根据题意，得$x_1+x_2=2k+1,x_1x_2=k^2+2k$。
$\because x_1x_2-x_1^2-x_2^2=-16$，
$\therefore x_1x_2-[(x_1+x_2)^2-2x_1x_2]=-16$，
即$-(x_1+x_2)^2+3x_1x_2=-16$，
$\therefore -(2k+1)^2+3(k^2+2k)=-16$，
整理，得$k^2-2k-15=0$，
解得$k_1=5$(舍去)，$k_2=-3$。
故存在实数$k=-3$，使得$x_1x_2-x_1^2-x_2^2=-16$成立。
解析
【分析】
（1）已知一元二次方程有两个实数根，根据一元二次方程根的判别式的性质，当$\Delta ≥ 0$时方程有两个实数根（包含两个相等实根的情况），因此只需将方程对应系数代入判别式，解不等式即可得到$k$的取值范围。
（2）题目给出的等式是关于两根$x_1、x_2$的对称式，无需解方程求根，可利用根与系数的关系（韦达定理）求解：首先将等式中的$x_1^2+x_2^2$变形为$(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$，将原式转化为仅含$x_1+x_2$和$x_1x_2$的形式，再代入韦达定理得到的含$k$的表达式，即可得到关于$k$的方程，求解出$k$后需结合第（1）问得到的$k$的取值范围检验，舍去不符合条件的解，最终判断是否存在符合要求的$k$。
【解析】
（1）$\because$ 一元二次方程$x^2 - (2k+1)x + k^2 + 2k = 0$有两个实数根
$\therefore$ 判别式$\Delta = b^2-4ac ≥ 0$，其中$a=1$，$b=-(2k+1)$，$c=k^2+2k$
代入得：
$\begin{aligned}\Delta&=(2k+1)^2-4(k^2+2k)\\&=4k^2+4k+1-4k^2-8k\\&=1-4k\end{aligned}$
即$1-4k≥0$，解得$k≤\dfrac{1}{4}$。
（2）根据根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=2k+1$，$x_1x_2=k^2+2k$
已知$x_1x_2 - x_1^2 - x_2^2 = -16$，对左侧变形：
$\begin{aligned}x_1x_2 - x_1^2 - x_2^2&=x_1x_2-[(x_1+x_2)^2-2x_1x_2]\\&=3x_1x_2-(x_1+x_2)^2\end{aligned}$
代入韦达定理的结果得：
$-(2k+1)^2+3(k^2+2k)=-16$
展开整理得：
$\begin{aligned}-4k^2-4k-1+3k^2+6k+16&=0\\k^2-2k-15&=0\end{aligned}$
解得$k_1=5$，$k_2=-3$。
结合第（1）问$k≤\dfrac{1}{4}$的限制，$5＞\dfrac{1}{4}$不符合要求，舍去，因此$k=-3$。
【答案】
(1) $k≤\dfrac{1}{4}$
(2) 存在，$k=-3$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系
3. 代数式变形
【点评】
本题综合考察一元二次方程根的相关性质，解题的易错点是求解出$k$的取值后容易忽略根的判别式的限制条件，导致多解，因此得到参数结果后一定要结合判别式的取值范围检验，排除增根。
【难度系数】
0.6
（1）已知一元二次方程有两个实数根，根据一元二次方程根的判别式的性质，当$\Delta ≥ 0$时方程有两个实数根（包含两个相等实根的情况），因此只需将方程对应系数代入判别式，解不等式即可得到$k$的取值范围。
（2）题目给出的等式是关于两根$x_1、x_2$的对称式，无需解方程求根，可利用根与系数的关系（韦达定理）求解：首先将等式中的$x_1^2+x_2^2$变形为$(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$，将原式转化为仅含$x_1+x_2$和$x_1x_2$的形式，再代入韦达定理得到的含$k$的表达式，即可得到关于$k$的方程，求解出$k$后需结合第（1）问得到的$k$的取值范围检验，舍去不符合条件的解，最终判断是否存在符合要求的$k$。
【解析】
（1）$\because$ 一元二次方程$x^2 - (2k+1)x + k^2 + 2k = 0$有两个实数根
$\therefore$ 判别式$\Delta = b^2-4ac ≥ 0$，其中$a=1$，$b=-(2k+1)$，$c=k^2+2k$
代入得：
$\begin{aligned}\Delta&=(2k+1)^2-4(k^2+2k)\\&=4k^2+4k+1-4k^2-8k\\&=1-4k\end{aligned}$
即$1-4k≥0$，解得$k≤\dfrac{1}{4}$。
（2）根据根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=2k+1$，$x_1x_2=k^2+2k$
已知$x_1x_2 - x_1^2 - x_2^2 = -16$，对左侧变形：
$\begin{aligned}x_1x_2 - x_1^2 - x_2^2&=x_1x_2-[(x_1+x_2)^2-2x_1x_2]\\&=3x_1x_2-(x_1+x_2)^2\end{aligned}$
代入韦达定理的结果得：
$-(2k+1)^2+3(k^2+2k)=-16$
展开整理得：
$\begin{aligned}-4k^2-4k-1+3k^2+6k+16&=0\\k^2-2k-15&=0\end{aligned}$
解得$k_1=5$，$k_2=-3$。
结合第（1）问$k≤\dfrac{1}{4}$的限制，$5＞\dfrac{1}{4}$不符合要求，舍去，因此$k=-3$。
【答案】
(1) $k≤\dfrac{1}{4}$
(2) 存在，$k=-3$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系
3. 代数式变形
【点评】
本题综合考察一元二次方程根的相关性质，解题的易错点是求解出$k$的取值后容易忽略根的判别式的限制条件，导致多解，因此得到参数结果后一定要结合判别式的取值范围检验，排除增根。
【难度系数】
0.6
