10. 按如图所示的方式放置的两个正方形，B,F,G,C四点在同一条直线上，且$BF=CG$。若已知图中阴影部分的面积，下列各式中，一定能求出其值的是 （）

A.$BF· BG$
B.$BF· CG$
C.$FG· CG$
D.$BC· FG$

A 【解析】设正方形ABCD的边长为a,正方形EFGH的边长为b,阴影部分的面积为S,所以BC=a,FG=b,$a^2−b^2=S$。因为B,F,G,C四点在同一条直线上,所以BF+FG+CG=BC。因为BF=CG,所以2BF+FG=BC,即2BF+b=a。所以BF=CG=$\frac{a−b}{2}$。所以BG=BF+FG=$\frac{a−b}{2}$+b=$\frac{a+b}{2}$。对于选项A,$BF·BG=\frac{a−b}{2}×\frac{a+b}{2}=\frac{a^2−b^2}{4}=\frac{S}{4}$,所以当已知图中阴影部分的面积,一定能求出$BF·BG$的值,故选项A符合题意。对于选项B,$BF·CG=\frac{a−b}{2}×\frac{a−b}{2}=\frac{(a−b)^2}{4}$,所以当已知图中阴影部分的面积,不能求出$BF·CG$的值,故选项B不符合题意。对于选项C,$FG·CG=b×\frac{a−b}{2}=\frac{ab−b^2}{2}$,所以当已知图中阴影部分的面积,不能求出$FG·CG$的值,故选项C不符合题意。对于选项D,$BC·FG=ab$,所以当已知图中阴影部分的面积,不能求出$BC·FG$的值,故选项D不符合题意。故选A。

【分析】
要解决这个问题，我们通过设两个正方形的边长，结合线段关系和阴影面积的表达式，将各选项转化为与阴影面积相关的式子，从而判断哪个选项的值可求。首先设大正方形ABCD的边长为$a$，小正方形EFGH的边长为$b$，阴影面积$S = a^2 - b^2$；再根据$BF=CG$和四点共线的条件，推导出各线段的表达式，最后逐一分析选项即可。
【解析】
设大正方形$ABCD$的边长为$a$，小正方形$EFGH$的边长为$b$，则阴影部分面积$S = a^2 - b^2$。
因为$B,F,G,C$四点在同一直线上，且$BF=CG$，所以$BC = BF + FG + CG$，即$a = 2BF + b$，解得$BF = CG = \frac{a - b}{2}$。
又$BG = BF + FG$，代入$BF=\frac{a - b}{2}$、$FG=b$，得$BG = \frac{a - b}{2} + b = \frac{a + b}{2}$。
对各选项逐一分析：
选项A：$BF·BG = \frac{a - b}{2} × \frac{a + b}{2} = \frac{a^2 - b^2}{4} = \frac{S}{4}$，已知$S$，可求出该值；
选项B：$BF·CG = \frac{a - b}{2} × \frac{a - b}{2} = \frac{(a - b)^2}{4}$，无法转化为含$S$的式子，不能确定值；
选项C：$FG·CG = b × \frac{a - b}{2} = \frac{ab - b^2}{2}$，无法转化为含$S$的式子，不能确定值；
选项D：$BC·FG = a×b$，无法转化为含$S$的式子，不能确定值。
综上，只有选项A符合要求。
【答案】
A
【知识点】
正方形面积、整式运算、平方差公式
【点评】
本题结合正方形面积性质与线段关系，通过设元推导，利用平方差公式关联选项与阴影面积，考查代数几何结合的解题能力，需要学生具备代数变形和逻辑推导能力。
【难度系数】
0.5

11.计算：$2025^{-1}=$$\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad}$。

$\frac{1}{2025}$

【分析】首先回忆负整数指数幂的运算法则：对于非零数$a$，负整数指数幂的定义为$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数），即一个数的负整数次幂等于这个数正整数次幂的倒数。本题需计算$2025^{-1}$，直接套用该法则即可求解。
【解析】根据负整数指数幂的运算法则：$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$（$a≠0$，$n$为正整数），可得$2025^{-1}=\frac{1}{2025^1}=\frac{1}{2025}$。
【答案】$\frac{1}{2025}$
【知识点】负整数指数幂
【点评】本题考查负整数指数幂的基本运算，属于基础题型，主要考查学生对负整数指数幂运算法则的掌握，难度较低。
【难度系数】0.9

12.因式分解：$a^2 - 3a=$。

$a(a-3)$

【分析】这道题是因式分解的基础题，解题思路是先确定多项式各项的公因式，再利用提公因式法完成分解。观察式子$a^2 - 3a$，两项都含有公因式$a$，提取该公因式即可得到结果。
【解析】对于多项式$a^2 - 3a$，先确定公因式：$a^2$的因式为$a · a$，$-3a$的因式为$-3 · a$，因此公因式是$a$。将公因式$a$提取后，剩余的项分别为$a$和$-3$，所以分解结果为$a(a - 3)$。
【答案】$a(a-3)$
【知识点】因式分解-提公因式法
【点评】本题考查因式分解的基本方法——提公因式法，属于基础题型，侧重考查学生对因式分解核心方法的掌握，难度较低。
【难度系数】0.9

13.若一个长方形的面积是$6a^2 - 4ab$，一边长为$2a$，则另外一边长为$\underline{\hspace{5cm}}$(用含$a,b$的代数式表示)。

$3a-2b$

【分析】
要解决这个问题，需利用长方形的面积公式：长方形面积=长×宽，因此已知面积和其中一边长，求另一边长，只需用面积除以已知边长即可。这里涉及多项式除以单项式的运算，需将多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。
【解析】
根据长方形面积公式，另一边长 = 面积 ÷ 已知边长，代入得：
$\begin{aligned}(6a^2 - 4ab) ÷ 2a&= 6a^2 ÷ 2a - 4ab ÷ 2a\\&= 3a - 2b\end{aligned}$
【答案】
$3a-2b$
【知识点】
多项式除以单项式、长方形面积公式
【点评】
本题结合长方形面积公式考查整式除法的基本运算，属于基础题型，主要检验学生对多项式除以单项式法则的掌握情况，难度较低。
【难度系数】
0.8

14. 已知$\dfrac{x}{y}=2$，则代数式$\dfrac{2y+5x}{x-y}$的值为________。

12

【分析】
已知x与y的比值，可通过代入消元法，将x用含y的式子表示，代入所求代数式消去变量y，进而计算出结果，核心是利用比例关系简化代数式。
【解析】
由$\dfrac{x}{y}=2$，可得$x=2y$（$y≠0$，保证代数式分母不为0）。
将$x=2y$代入$\dfrac{2y+5x}{x-y}$：
分子：$2y +5x =2y +5×2y=12y$
分母：$x - y=2y - y=y$
则原式$=\dfrac{12y}{y}=12$（$y≠0$，约去y）。
【答案】
12
【知识点】
代数式求值、比例的应用
【点评】
本题为基础代数式求值题，利用已知比例关系进行消元，将二元代数式转化为一元后计算，难度较低，主要考察学生对比例性质和代入法的掌握。
【难度系数】
0.8

15. 如图,在一次数学实践活动课中,某同学将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠,折痕分别为AB,CD。若$CD// BF$,且$CE⊥ DF$,则$∠ ABF$的大小为$\underline{\hspace{3cm}}$。

$67.5°$ 【解析】如图,延长BC到点G。因为AF//BG,CE⊥DF,所以$∠ ECG=∠ CED=90°$。由折叠得$∠ DCG=∠ ECD=45°$,因为CD//BF,所以$∠ CBF=∠ DCG=45°$。由折叠得$∠ ABF=\frac{1}{2}(180°-∠ CBF)=67.5°$。

【分析】
要计算∠ABF的度数，需结合纸带对边平行的性质、折叠的性质以及平行线的角度关系推导。首先延长BC至G，利用CE⊥DF得到直角，通过折叠性质和CD//BF的条件求出∠CBF，再根据AB是折痕，利用平角关系计算∠ABF。
【解析】
延长BC至点G。
∵ CE⊥DF，
∴ ∠CED=90°，
∵ 纸带对边平行，即AF//BG，
∴ ∠ECG=∠CED=90°（两直线平行，同位角相等），
由折叠的性质得∠DCG=∠ECD，
∴ ∠DCG=∠ECD=½∠ECG=½×90°=45°，
∵ CD//BF，
∴ ∠CBF=∠DCG=45°（两直线平行，同位角相等），
由折叠的性质，AB为折痕，故∠ABF=½(180°−∠CBF)=½×(180°−45°)=67.5°。
【答案】
67.5°
【知识点】
平行线的性质、折叠的性质
【点评】
本题是几何折叠问题的典型应用，综合考查平行线性质与折叠前后角度相等的特点，需逐步推导角度关系，难度适中。
【难度系数】
0.5

16.某河道绿化工程由甲、乙两支工程队合作完成。已知甲工程队每天完成$a\ \mathrm{m}$，共完成了$s\ \mathrm{m}$，用时$m_1$天；乙工程队每天完成$b\ \mathrm{m}$，共完成了$2s\ \mathrm{m}$，用时$m_2$天。若$m_1 + m_2 = 30$，则$s=$。（用含$a,b$的最简分式表示）

$\frac{30ab}{2a+b}$ 【解析】因为甲工程队每天完成a m,共完成了s m,用时$m_1$天,所以$m_1=\frac{s}{a}$。同理可得,$m_2=\frac{2s}{b}$。因为$m_1+m_2=30$,所以$\frac{s}{a}+\frac{2s}{b}=30$,整理得,$s=\frac{30ab}{2a+b}$。

【分析】
首先明确工程问题中“工作时间=工作量÷工作效率”的基本关系，分别求出甲、乙两队的工作时间$m_1$和$m_2$；再根据题目给出的$m_1 + m_2 = 30$列出关于$s$的方程；最后通过分式运算整理方程，求出$s$的表达式，结果需化为含$a,b$的最简分式。
【解析】
1. 计算甲队工作时间：甲队每天完成$a\ \mathrm{m}$，总工作量为$s\ \mathrm{m}$，根据工作时间公式得$m_1 = \frac{s}{a}$；
2. 计算乙队工作时间：乙队每天完成$b\ \mathrm{m}$，总工作量为$2s\ \mathrm{m}$，同理得$m_2 = \frac{2s}{b}$；
3. 代入条件列方程：已知$m_1 + m_2 = 30$，因此$\frac{s}{a} + \frac{2s}{b} = 30$；
4. 解方程求$s$：提取公因式$s$得$s( \frac{1}{a} + \frac{2}{b} ) = 30$，对括号内通分，$\frac{1}{a} + \frac{2}{b} = \frac{2a + b}{ab}$，代入后得$s · \frac{2a + b}{ab} = 30$，两边同乘$\frac{ab}{2a + b}$，解得$s = \frac{30ab}{2a + b}$。
【答案】
$\frac{30ab}{2a+b}$
【知识点】
分式的运算、工程问题
【点评】
本题结合工程问题考查分式运算，核心是利用工作时间、工作量、效率的关系建立方程，再通过通分、解方程得到结果，属于基础题型，只要理清各量间的关系即可正确解答。
【难度系数】
0.6

17.(8分)计算:
(1)$2a(b-a)$。
(2)$\dfrac{7y}{6x^{2}}·\dfrac{3x^{3}}{7y^{2}}$。

(1)原式=$2ab-2a^2$。 (2)原式=$\frac{x}{2y}$。

【分析】
本题考查整式乘法与分式乘法的运算，解题思路：第(1)题是单项式乘多项式，利用分配律将单项式分别乘多项式的每一项，再合并结果；第(2)题是分式乘法，按法则分子乘分子、分母乘分母后，约去公因式化为最简分式。
【解析】
(1) 根据单项式乘多项式的运算法则：
原式 = 2a·b - 2a·a = 2ab - 2a²；
(2) 根据分式乘法法则：
原式 = (7y·3x³)/(6x²·7y²)，约去分子分母的公因数7，再约去y（分子1个y，分母2个y，剩余1个y在分母），约去x²（分子3个x³，分母2个x²，剩余1个x在分子），约分后得：(3x)/(6y) = x/(2y)。
【答案】
(1) 2ab - 2a²；(2) x/(2y)
【知识点】
单项式乘多项式、分式的乘法
【点评】
本题为基础运算题，考查核心运算法则，只要掌握单项式乘多项式的分配律、分式乘法的约分技巧，即可轻松解答，难度较低。
【难度系数】
0.8