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18.(8分)解方程(组):
(1)$\begin{cases} 3x - 2y = 2, \\ x + 2y = 6。 \end{cases}$
(2)$\dfrac{2}{x - 2} - \dfrac{4x}{2 - x} = 1$。
(1)$\begin{cases} 3x - 2y = 2, \\ x + 2y = 6。 \end{cases}$
(2)$\dfrac{2}{x - 2} - \dfrac{4x}{2 - x} = 1$。
答案
(1)$\begin{cases} x=2, \\ y=2。 \end{cases}$ (2)$x=-\frac{4}{3}$。
解析
【分析】
本题包含二元一次方程组和分式方程的求解。对于二元一次方程组，观察到两个方程中y的系数互为相反数，适合用加减消元法消去y，先求出x的值，再代入求y；对于分式方程，先将分母变形为相同形式，找到最简公分母去分母转化为整式方程，最后必须检验解是否使原分式分母不为0。
【解析】
(1) 解二元一次方程组：
$\begin{cases} 3x - 2y = 2 ① \\ x + 2y = 6 ② \end{cases}$
①+②得：$4x = 8$，解得$x=2$。
把$x=2$代入②得：$2 + 2y =6$，解得$y=2$。
所以方程组的解为$\begin{cases} x=2 \\ y=2 \end{cases}$。
(2) 解分式方程：
原方程变形为：$\frac{2}{x-2} + \frac{4x}{x-2} =1$，
两边同乘最简公分母$(x-2)$得：$2 +4x =x -2$，
移项合并同类项得：$3x = -4$，解得$x=-\frac{4}{3}$。
检验：当$x=-\frac{4}{3}$时，$x-2=-\frac{10}{3}≠0$，所以$x=-\frac{4}{3}$是原方程的解。
【答案】
(1)$\begin{cases} x=2, \\ y=2。 \end{cases}$ (2)$x=-\frac{4}{3}$。
【知识点】
二元一次方程组的解法，分式方程的解法，分式方程的检验
【点评】
本题为基础题型，分别考察二元一次方程组的加减消元法和分式方程的解法，需注意分式方程求解后必须检验，避免增根，整体难度较低，是学生应掌握的核心基础内容。
【难度系数】
0.7
本题包含二元一次方程组和分式方程的求解。对于二元一次方程组，观察到两个方程中y的系数互为相反数，适合用加减消元法消去y，先求出x的值，再代入求y；对于分式方程，先将分母变形为相同形式，找到最简公分母去分母转化为整式方程，最后必须检验解是否使原分式分母不为0。
【解析】
(1) 解二元一次方程组：
$\begin{cases} 3x - 2y = 2 ① \\ x + 2y = 6 ② \end{cases}$
①+②得：$4x = 8$，解得$x=2$。
把$x=2$代入②得：$2 + 2y =6$，解得$y=2$。
所以方程组的解为$\begin{cases} x=2 \\ y=2 \end{cases}$。
(2) 解分式方程：
原方程变形为：$\frac{2}{x-2} + \frac{4x}{x-2} =1$，
两边同乘最简公分母$(x-2)$得：$2 +4x =x -2$，
移项合并同类项得：$3x = -4$，解得$x=-\frac{4}{3}$。
检验：当$x=-\frac{4}{3}$时，$x-2=-\frac{10}{3}≠0$，所以$x=-\frac{4}{3}$是原方程的解。
【答案】
(1)$\begin{cases} x=2, \\ y=2。 \end{cases}$ (2)$x=-\frac{4}{3}$。
【知识点】
二元一次方程组的解法，分式方程的解法，分式方程的检验
【点评】
本题为基础题型，分别考察二元一次方程组的加减消元法和分式方程的解法，需注意分式方程求解后必须检验，避免增根，整体难度较低，是学生应掌握的核心基础内容。
【难度系数】
0.7
19.(8分)某校为了解学生寒假期间运动锻炼的情况,从本校三个年级学生中随机抽取部分学生,调查他们寒假期间一周的运动时长$t$(单位:h),将收集到的数据整理分成四组:A.$0{≤}t{＜}4$,B.$4{≤}t{＜}8$,C.$8{≤}t{＜}12$,D.$12{≤}t{＜}16$(每组包含前一个边界值,不包含后一个边界值,抽取的学生运动时长均小于16h),并绘制了如图所示的两幅不完整的统计图。根据以上信息,解答下列问题:
(1)在这次抽样调查中,共调查了多少名学生?
(2)请通过计算将频数分布直方图补充完整,并求出在扇形统计图中C组所对应的圆心角的度数。
(3)已知寒假假期每周运动时间不少于4h为达标。若该校有1600名学生,估计运动时间达标的学生共有多少人。
(1)在这次抽样调查中,共调查了多少名学生?
(2)请通过计算将频数分布直方图补充完整,并求出在扇形统计图中C组所对应的圆心角的度数。
(3)已知寒假假期每周运动时间不少于4h为达标。若该校有1600名学生,估计运动时间达标的学生共有多少人。
答案
(1)$36÷30\%=120$(名),所以共调查了120名学生。
(2)C组对应的学生人数为$120-12-36-30=42$(人)。补全频数直方图如图所示。在扇形统计图中C组所对应的圆心角的度数为$360°×\frac{42}{120}=126°$。
(3)$1600×\frac{36+42+30}{120}=1440$(人),所以估计运动时间达标的学生共有1440人。
解析
【分析】
要解决这道题，需结合频数分布直方图和扇形统计图的关联信息：
1. 求总调查人数：已知B组的频数和对应占比，用“频数÷对应占比”计算总人数；
2. 补全直方图并求C组圆心角：用总人数减去A、B、D组的频数得到C组人数，再通过“360°×（C组人数÷总人数）”计算C组对应的圆心角度数；
3. 估计达标人数：先算出样本中达标组（B、C、D组）的总人数占比，再乘以全校总人数得到达标学生的估计值。
【解析】
(1) 由扇形统计图可知B组占比为30%，频数分布直方图中B组频数为36，因此总调查人数为：
$36 ÷ 30\% = 120$（名）
(2) C组的频数 = 总人数 - A组频数 - B组频数 - D组频数，即：
$120 - 12 - 36 - 30 = 42$（人），据此补全频数分布直方图（如图）。
扇形统计图中C组对应的圆心角度数为：
$360° × \frac{42}{120} = 126°$
(3) 达标学生为运动时长不少于4h的，即B、C、D组，样本中达标人数为$36 + 42 + 30 = 108$（人），占样本的比例为$\frac{108}{120}$，因此全校1600名学生中达标人数估计为：
$1600 × \frac{108}{120} = 1440$（人）
【答案】
(1) 共调查了120名学生；
(2) C组人数为42人，补全频数直方图如图所示，C组对应的圆心角为126°；
(3) 估计运动时间达标的学生共有1440人。
【知识点】
频数分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体
【点评】
本题结合两种统计图考查统计基础应用，解题核心是利用统计图的数据关系计算，难度适中，属于常规统计题型。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，需结合频数分布直方图和扇形统计图的关联信息：
1. 求总调查人数：已知B组的频数和对应占比，用“频数÷对应占比”计算总人数；
2. 补全直方图并求C组圆心角：用总人数减去A、B、D组的频数得到C组人数，再通过“360°×（C组人数÷总人数）”计算C组对应的圆心角度数；
3. 估计达标人数：先算出样本中达标组（B、C、D组）的总人数占比，再乘以全校总人数得到达标学生的估计值。
【解析】
(1) 由扇形统计图可知B组占比为30%，频数分布直方图中B组频数为36，因此总调查人数为：
$36 ÷ 30\% = 120$（名）
(2) C组的频数 = 总人数 - A组频数 - B组频数 - D组频数，即：
$120 - 12 - 36 - 30 = 42$（人），据此补全频数分布直方图（如图）。
扇形统计图中C组对应的圆心角度数为：
$360° × \frac{42}{120} = 126°$
(3) 达标学生为运动时长不少于4h的，即B、C、D组，样本中达标人数为$36 + 42 + 30 = 108$（人），占样本的比例为$\frac{108}{120}$，因此全校1600名学生中达标人数估计为：
$1600 × \frac{108}{120} = 1440$（人）
【答案】
(1) 共调查了120名学生；
(2) C组人数为42人，补全频数直方图如图所示，C组对应的圆心角为126°；
(3) 估计运动时间达标的学生共有1440人。
【知识点】
频数分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体
【点评】
本题结合两种统计图考查统计基础应用，解题核心是利用统计图的数据关系计算，难度适中，属于常规统计题型。
【难度系数】
0.7
20.(8分)如图,已知$AB// CD$,$∠ CAB+∠ EFD=180°$。
(1)判断$AC,EF$是否平行,并说明理由。
(2)若$∠ AEF=50°$,$∠ D=60°$,求$∠ CAD$的度数。
(1)判断$AC,EF$是否平行,并说明理由。
(2)若$∠ AEF=50°$,$∠ D=60°$,求$∠ CAD$的度数。
答案
(1)$AC// EF$。理由如下:因为$AB// CD$,所以$∠ CAB+∠ C=180°$。因为$∠ CAB+∠ EFD=180°$,所以$∠ C=∠ EFD$。所以$AC// EF$。
(2)因为$AB// CD$,所以$∠ AEF=∠ EFD=50°$。所以$∠ C=∠ EFD=50°$。因为$∠ D=60°$,所以$∠ CAD=180°-∠ C-∠ D=180°-50°-60°=70°$。
(2)因为$AB// CD$,所以$∠ AEF=∠ EFD=50°$。所以$∠ C=∠ EFD=50°$。因为$∠ D=60°$,所以$∠ CAD=180°-∠ C-∠ D=180°-50°-60°=70°$。
解析
【分析】
要判断AC与EF是否平行，可利用平行线的性质和补角关系推导角相等，再根据平行线的判定得出结论；求∠CAD的度数时，需结合平行线的性质得到相关角的度数，再利用三角形内角和定理计算。
【解析】
(1) $AC // EF$，理由如下：
$\because AB // CD$，
$\therefore ∠ CAB + ∠ C = 180°$（两直线平行，同旁内角互补）。
又$\because ∠ CAB + ∠ EFD = 180°$，
$\therefore ∠ C = ∠ EFD$（同角的补角相等），
$\therefore AC // EF$（同位角相等，两直线平行）。
(2) 求$∠ CAD$的度数：
$\because AB // CD$，
$\therefore ∠ AEF = ∠ EFD = 50°$（两直线平行，内错角相等）。
由(1)知$AC // EF$，
$\therefore ∠ C = ∠ EFD = 50°$（两直线平行，同位角相等）。
在$△ ACD$中，根据三角形内角和为$180°$，
$∠ CAD = 180° - ∠ C - ∠ D = 180° - 50° - 60° = 70°$。
【答案】
(1) $AC // EF$，理由见解析；(2) $∠ CAD = 70°$。
【知识点】
平行线的判定与性质、三角形内角和定理
【点评】
本题综合考查平行线的性质与判定、三角形内角和定理的应用，解题关键是通过平行线的性质进行角的转换，利用同角的补角相等推导角相等，进而解决问题，属于中等难度的几何题。
【难度系数】
0.5
要判断AC与EF是否平行，可利用平行线的性质和补角关系推导角相等，再根据平行线的判定得出结论；求∠CAD的度数时，需结合平行线的性质得到相关角的度数，再利用三角形内角和定理计算。
【解析】
(1) $AC // EF$，理由如下：
$\because AB // CD$，
$\therefore ∠ CAB + ∠ C = 180°$（两直线平行，同旁内角互补）。
又$\because ∠ CAB + ∠ EFD = 180°$，
$\therefore ∠ C = ∠ EFD$（同角的补角相等），
$\therefore AC // EF$（同位角相等，两直线平行）。
(2) 求$∠ CAD$的度数：
$\because AB // CD$，
$\therefore ∠ AEF = ∠ EFD = 50°$（两直线平行，内错角相等）。
由(1)知$AC // EF$，
$\therefore ∠ C = ∠ EFD = 50°$（两直线平行，同位角相等）。
在$△ ACD$中，根据三角形内角和为$180°$，
$∠ CAD = 180° - ∠ C - ∠ D = 180° - 50° - 60° = 70°$。
【答案】
(1) $AC // EF$，理由见解析；(2) $∠ CAD = 70°$。
【知识点】
平行线的判定与性质、三角形内角和定理
【点评】
本题综合考查平行线的性质与判定、三角形内角和定理的应用，解题关键是通过平行线的性质进行角的转换，利用同角的补角相等推导角相等，进而解决问题，属于中等难度的几何题。
【难度系数】
0.5
