21.(8分)一个代数式只含有字母$x,y$,把$x$替换成$y$,把$y$替换成$x$,得到一个新的代数式。若不论$x,y$如何取值,新代数式的值与原代数式的值始终相等,则称原代数式为对称式。例如:代数式$\frac{x+y}{xy}$,新代数式为$\frac{y+x}{yx}$,因为$\frac{x+y}{xy}=\frac{y+x}{yx}$,所以$\frac{x+y}{xy}$是对称式。而代数式$\frac{x-y}{x}$,新代数式为$\frac{y-x}{y}$,因为当$x=2,y=1$时,代数式值为$\frac{1}{2}$,新代数式值为$-1$,两者不相等,所以$\frac{x-y}{x}$不是对称式。
(1)请判断$x^2y+xy^2$和$\frac{x}{y}-\frac{y}{x}$是不是对称式,模仿上面的格式说明理由。
(2)关于字母$x,y$的代数式$\frac{x+my}{xy}+\frac{x-y}{xy}$($m$为常数)是对称式,求$m$的值。

(1)$x^2y+xy^2$是对称式,$\frac{x}{y}-\frac{y}{x}$不是对称式。理由如下:因为$x^2y+xy^2$交换x和y后为$y^2x+yx^2$,且$y^2x+yx^2=x^2y+xy^2$,所以$x^2y+xy^2$是对称式。$\frac{x}{y}-\frac{y}{x}=\frac{x^2}{xy}-\frac{y^2}{xy}=\frac{x^2-y^2}{xy}$,$\frac{x}{y}-\frac{y}{x}$交换x和y后为$\frac{y}{x}-\frac{x}{y}=\frac{y^2}{xy}-\frac{x^2}{xy}=\frac{y^2-x^2}{xy}$,因为$\frac{x^2-y^2}{xy}≠\frac{y^2-x^2}{xy}$,所以$\frac{x}{y}-\frac{y}{x}$不是对称式。
(2)因为关于字母x,y的代数式$\frac{x+my}{xy}+\frac{x-y}{xy}$(m为常数)是对称式,所以$\frac{x+my}{xy}+\frac{x-y}{xy}=\frac{y+mx}{yx}+\frac{y-x}{yx}$,即$\frac{2x+(m-1)y}{xy}=\frac{2y+(m-1)x}{yx}$。所以$2x+(m-1)y=2y+(m-1)x$。所以$m-1=2$,即$m=3$。

【分析】首先明确对称式的定义：交换代数式中的x和y，所得新代数式与原代数式的值始终相等。对于问题（1），需分别对两个代数式交换x和y，通过化简比较是否与原代数式相等来判断；对于问题（2），先化简原代数式，再交换x和y得到新代数式，根据对称式性质令两式相等，结合等式恒成立的条件求解m的值。
【解析】
（1）判断两个代数式是否为对称式：
① 对$x^2y+xy^2$，交换x和y后得到$y^2x+yx^2$，由加法交换律得$y^2x+yx^2=x^2y+xy^2$，新代数式与原代数式相等，故$x^2y+xy^2$是对称式。
② 对$\frac{x}{y}-\frac{y}{x}$，先通分化简：$\frac{x}{y}-\frac{y}{x}=\frac{x^2-y^2}{xy}$；交换x和y后得到$\frac{y}{x}-\frac{x}{y}=\frac{y^2-x^2}{xy}$。因为$\frac{x^2-y^2}{xy}≠\frac{y^2-x^2}{xy}$，所以$\frac{x}{y}-\frac{y}{x}$不是对称式。
（2）求m的值：
先化简原代数式$\frac{x+my}{xy}+\frac{x-y}{xy}$，合并分子得：$\frac{(x+my)+(x-y)}{xy}=\frac{2x+(m-1)y}{xy}$。
因该代数式是对称式，交换x和y后新代数式与原代数式相等，即：
$\frac{2x+(m-1)y}{xy}=\frac{2y+(m-1)x}{yx}$，分母相同，故分子相等：
$2x+(m-1)y=2y+(m-1)x$，整理得：
$(3-m)x=(3-m)y$。该等式对任意x、y成立，故系数为0，即$3-m=0$，解得$m=3$。
【答案】
（1）$x^2y+xy^2$是对称式，$\frac{x}{y}-\frac{y}{x}$不是对称式；（2）$m=3$
【知识点】
对称式的定义、分式化简、等式恒成立
【点评】
本题考查新定义“对称式”的应用，核心是理解交换x、y后代数式值不变的性质，通过分式运算和等式恒成立条件求解参数，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6

22.(10分)如图1,两张边长分别为a,b(a＞b)的正方形纸片A,B。
(1)如图2,将A,B两张纸片放置于一个大正方形的纸片中(无重叠),若大正方形纸片的边长为10,阴影部分的面积为35。
①求A,B两张纸片的面积和$a^2+b^2$。
②求A,B两张纸片的边长差$a-b$。
(2)如图3,将A,B两张纸片放置于一个大正方形的纸片中,若已知A,B两张纸片的边长差为2,A,B两张纸片的面积和为20,求阴影部分的面积。

(1)①由题意得,$a+b=10$,$S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{大正方形}}-S_{\mathrm{正方形}A}-S_{\mathrm{正方形}B}=(a+b)^2-a^2-b^2=35$,即$2ab=35$,所以A,B两张纸片的面积和$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=100-35=65$。②因为$a+b=10$,$2ab=35$,所以$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab=100-70=30$。因为$a＞b＞0$,所以$a-b=\sqrt{30}$。
(2)由题意得,$a-b=2$,$a^2+b^2=20$,因为$(a-b)^2=a^2+b^2-2ab$,所以$4=20-2ab$。所以$ab=8$。所以$S_{\mathrm{阴影}}=\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}ab=ab=8$。

【分析】
本题结合正方形、三角形的面积计算，利用完全平方公式的变形求解。对于(1)①，观察图2得大正方形边长为$a+b$，结合已知大正方形边长和阴影面积，通过面积关系推导$ab$的值，再用完全平方公式变形求面积和；②利用完全平方公式变形$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab$，代入数值并结合$a＞b$求$a-b$。对于(2)，分析图3阴影部分的面积组成，化简得阴影面积等于$ab$，再利用完全平方公式变形求出$ab$的值，即阴影面积。
【解析】
(1)① 由图2可知，大正方形的边长为$a+b$，已知大正方形边长为10，故$a+b=10$。
阴影部分面积$S_{阴影}=S_{大正方形}-S_{正方形A}-S_{正方形B}=(a+b)^2 - a^2 - b^2$，代入$S_{阴影}=35$得：
$10^2 - a^2 - b^2 = 35$，即$100 - (a^2 + b^2) = 35$，因此$a^2 + b^2 = 100 - 35 = 65$。
② 由完全平方公式变形：$(a - b)^2 = (a + b)^2 - 4ab$，先由①知$a+b=10$，且$ab=\frac{(a+b)^2 - (a^2 + b^2)}{2}=\frac{100 - 65}{2}=\frac{35}{2}$，故$4ab=70$。
代入得$(a - b)^2 = 10^2 - 70 = 30$，因为$a＞b＞0$，所以$a - b = \sqrt{30}$。
(2) 由图3可知，阴影部分由两个三角形组成，两个三角形的面积和为$\frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}ab = ab$。
已知$a - b = 2$，$a^2 + b^2 = 20$，根据完全平方公式$(a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab$，代入得：
$2^2 = 20 - 2ab$，即$4 = 20 - 2ab$，解得$ab = 8$，故阴影部分面积为$8$。
【答案】
(1)① $a^2 + b^2 = 65$；② $a - b = \sqrt{30}$；(2) 阴影部分面积为$8$。
【知识点】
完全平方公式、正方形面积、三角形面积
【点评】
本题结合几何图形面积计算，重点考查完全平方公式的灵活变形，需具备数形结合思维，属于代数与几何结合的典型中等题型。
【难度系数】
0.5