23. (10分)如图,已知$MN// PQ$,小墅将一把三角尺$ABC$的顶点$A$放置在直线$PQ$上,点$B$在直线$PQ$与直线$MN$之间,边$AC$与直线$MN$相交于点$D$,边$BC$与直线$MN$相交于点$E$,其中$∠ CAB=90°$,$∠ B=60°$。
(1)若$∠ CDM=68°$,求$∠ BAQ$的度数。
(2)旋转三角尺,并保持本题主干部分的所有条件不变。
①当$∠ BAQ=∠ NEB$时,求$∠ DAP$的度数。
②说明$∠ DAP$与$∠ NEB$的差是定值。

(1)因为$MN// PQ$,所以$∠ CAP=∠ CDM=68°$。因为$∠ CAB=90°$,所以$∠ BAQ=180°-∠ CAP-∠ CAB=180°-68°-90°=22°$。
(2)①如图,过点B作$BH// MN$。所以$∠ NEB=∠ EBH$。因为$MN// PQ$,所以$BH// PQ$。所以$∠ BAQ=∠ HBA$。所以$∠ NEB+∠ BAQ=∠ EBH+∠ HBA=60°$。因为$∠ BAQ=∠ NEB$,所以$∠ BAQ=30°$。所以$∠ DAP=180°-∠ CAB-∠ BAQ=180°-90°-30°=60°$。
②因为$∠ DAP=180°-∠ CAB-∠ BAQ=90°-∠ BAQ$,$∠ NEB=∠ CBA-∠ BAQ=60°-∠ BAQ$,所以$∠ DAP-∠ NEB=90°-∠ BAQ-(60°-∠ BAQ)=30°$,即$∠ DAP$与$∠ NEB$的差是定值。

【分析】
本题围绕平行线的性质、角度的和差关系展开求解。(1) 利用MN与PQ平行的同位角相等，先求∠CAP，再结合直角∠CAB和平角定义计算∠BAQ；(2) ① 通过过点B作辅助平行线，利用平行的传递性和内错角相等，将∠NEB与∠BAQ转化为∠CBA的和，结合已知相等关系求出∠BAQ，再计算∠DAP；② 分别用∠BAQ表示∠DAP和∠NEB，通过代数运算证明差为定值。
【解析】
(1)
∵ MN//PQ，
∴ ∠CAP=∠CDM=68°（两直线平行，同位角相等）。
又
∵ ∠CAP + ∠CAB + ∠BAQ = 180°（平角定义），∠CAB=90°，
∴ ∠BAQ = 180° - 68° - 90° = 22°。
(2) ① 过点B作BH//MN，如图：
∵ BH//MN，
∴ ∠NEB=∠EBH（两直线平行，内错角相等）。
∵ MN//PQ，
∴ BH//PQ（平行于同一直线的两直线平行），
∴ ∠BAQ=∠HBA（两直线平行，内错角相等）。
∴ ∠NEB + ∠BAQ = ∠EBH + ∠HBA = ∠CBA=60°。
∵ ∠BAQ=∠NEB，
∴ ∠BAQ=30°。
又
∵ ∠DAP + ∠CAB + ∠BAQ=180°，∠CAB=90°，
∴ ∠DAP=180° - 90° - 30°=60°。
②
∵ ∠DAP=180° - ∠CAB - ∠BAQ=90° - ∠BAQ，
∠NEB=∠CBA - ∠BAQ=60° - ∠BAQ，
∴ ∠DAP - ∠NEB=(90° - ∠BAQ)-(60° - ∠BAQ)=30°，即∠DAP与∠NEB的差是定值。
【答案】
(1) 22°；
(2) ① 60°；② 差为定值30°。

【知识点】
平行线的性质、平角定义、角度和差计算
【点评】
本题综合考查平行线的性质与角度运算，构造辅助线转化角度是解题核心，需掌握平行线的传递性及内错角、同位角的性质，属于中档几何题。
【难度系数】
0.5