24. (12分)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,DF是△ABC的中位线,点C关于DF的对称点为E,以DE,EF为邻边构造矩形DEFG,DG交BC于点H,连接CG.
(1)求证:△DCF≅△FGD;
(2)若AC=2,在△ABC的边上取一点P,在矩形DEFG的边上取一点Q,若以P,Q,C,G为顶点的四边形是平行四边形,求满足条件的平行四边形的面积;
(3)在△DEF内取一点O,使四边形AOHD是平行四边形,连接OA,OB,OC.在△ODH内任取一点P,则PD+PO+PH的最小值为.(直接写出答案)

24.【点拨】本题考查全等三角形的判定、平行四边形的性质、矩形的判定和性质及面积的计算等知识点.
【解析】(1)证明:如题图,连接CE.
$\because DF$是$△ ABC$的中位线,$\therefore DF// AB$,$DF=\frac{1}{2}AB$.
$\because$ 点C关于DF的对称点为E,$\therefore DF$垂直平分CE,$\therefore CD=DE$,$CF=EF$.
又$\because$ 四边形DEFG是矩形,$\therefore ∠ FGD=90°$,$DG=EF$,$FG=DE$,$\therefore FG=CD$,$CF=DG$.
在$△ DCF$和$△ FGD$中,$\begin{cases}CF=GD,\\∠ DCF=∠ FGD=90°,\\DC=FG,\end{cases}$
$\therefore △ DCF≌△ FGD(\mathrm{SAS})$.
(2)$\because △ DCF≌△ FGD$,$\therefore ∠ FGD=∠ DCF=90°$.
在$△ GHF$和$△ CHD$中,$\begin{cases}∠ FGH=∠ DCH,\\∠ GHF=∠ CHD,\\GF=CD,\end{cases}$
$\therefore △ GHF≌△ CHD(\mathrm{AAS})$,$\therefore GH=CH$.
$\because ∠ ACB=90°$,$∠ B=30°$,$AC=2$,$\therefore AB=4$.$\therefore BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=2\sqrt{3}$.
$\because DF$是$△ ABC$的中位线,
$\therefore DF=\frac{1}{2}AB=2$,$DF// AB$,$CD=DA=\frac{1}{2}CA=1$,
$\therefore ∠ CFD=30°$,$CD=ED=FG=1$.
$\because$ 点C关于DF的对称点为E,$\therefore ∠ EFD=∠ CFD=30°$.
$\because$ 四边形DEFG是矩形,$\therefore ∠ GFH=30°$,则$∠ FHG=60°$.
$\because GH=CH$,$\therefore ∠ HCG=∠ HGC=30°$,$\therefore CG=FG=1$.
连接CE交DF于点K,则$CE⊥ DF$,$\therefore CE⊥ AB$.
$\because ∠ ACB=90°$,$∠ B=30°$,$\therefore ∠ A=60°$,$\therefore ∠ ACE=30°$.
$\because AC=2$,$\therefore EA=1$,$EC=\sqrt{3}$,$CK=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
$\because CD=DE$,$\therefore ∠ DEC=30°$,$\therefore ∠ DEA=60°$,$\therefore △ DEA$为等边三角形,则$∠ FEB=30°$,$\therefore △ FBE$为等腰三角形.
以P,Q,C,G为顶点的平行四边形分三种情况:
当点P在BC上,点Q在EF上时,过点F作$FM⊥ PQ$于点M,如图1.
$\because$ 四边形CQPG是平行四边形,$\therefore CG// PQ$.
又$\because ∠ HCG=∠ B=30°$,$\therefore CG// AB$,$\therefore AB// PQ$,
$\therefore ∠ FPM=∠ B=30°$,$∠ FQM=∠ FEB=30°$,$\therefore △ FQP$为等腰三角形.
$\because PQ=CG=1$,$\therefore PM=\frac{1}{2}CG=\frac{1}{2}$,$FM=\frac{\sqrt{3}}{6}$.
此时平行四边形CQPG的面积为$CG·(CK+FM)=1×(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{6})=\frac{2\sqrt{3}}{3}$;
当点P在BC上,点Q在DG上时,如图2,则$CG=PQ=1$.
$\because$ 四边形CGPQ是平行四边形,
$\therefore HP=HC=HQ=HG$,$\therefore$ 四边形CGPQ为矩形.
同理求得$GP=\frac{\sqrt{3}}{3}$,此时平行四边形CQPG的面积为$CG· GP=1×\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}$;
若点P与点A重合,点Q与点E重合时,连接GE,如图3.
$\because GC// AB$,$CG=AE=1$,$\therefore$ 四边形CGQP为平行四边形.
此时平行四边形CQPG的面积为$CG· CE=1×\sqrt{3}=\sqrt{3}$.
综上所述,满足条件的平行四边形的面积为$\sqrt{3}$或$\frac{\sqrt{3}}{3}$或$\frac{2\sqrt{3}}{3}$.
(3)将$△ DHP$绕点D顺时针旋转$60°$得到$△ DH'P'$,过点O作$OK⊥ H'D$交H'D的延长线于点K,设FD与CO交于点N,如图4.
则$HP=H'P'$,$HD=H'D$,$∠ PDP'=∠ HDH'$,$\therefore △ PDP'$为等边三角形,
$\therefore PD=PP'$,则$PD+PO+PH=PP'+PO+P'H'≥ OH'$.
当O,P,P',H四点共线时,$PD+PO+PH$的值最小,最小值为$OH'$的长.
$\because CD=1$,$∠ CHD=60°$,$\therefore ∠ HDC=30°$,$HD=\frac{2\sqrt{3}}{3}$.
$\because$ 四边形AOHD是平行四边形,$\therefore AD=OH$,$AD// OH$.
$\because AD=DC$,$\therefore OH=DC$,$\therefore$ 四边形OHCD是平行四边形.
$\because ∠ DCH=90°$,$\therefore$ 四边形OHCD是矩形,$\therefore OD⊥ AC$.
$\because AD=DC$,$\therefore CO=OA$.
$\because ∠ HDF=30°$,$∠ FDA=120°$,$\therefore ∠ HDA=150°$.
$\because$ 四边形AOHD是平行四边形,
$\therefore ∠ DAO=30°$,$\therefore ∠ DCO=30°$,$∠ CND=90°$,$\therefore DN=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}$.
$\because ∠ HDF=30°$,$∠ HDH'=60°$,$\therefore ∠ H'DN=90°$,
$\therefore$ 四边形NOKD是矩形,则$OK=DN=\frac{1}{2}$.
又$\because ∠ NDO=30°$,$\therefore DK=ON=\frac{\sqrt{3}}{6}$,
$\therefore KH'=\frac{\sqrt{3}}{6}+\frac{2\sqrt{3}}{3}=\frac{5\sqrt{3}}{6}$,$\therefore OH'=\sqrt{OK^2+KH'^2}=\frac{\sqrt{21}}{3}$,
$\therefore PD+PO+PH$的最小值为$\frac{\sqrt{21}}{3}$.故答案为$\frac{\sqrt{21}}{3}$.

【分析】
本题为几何综合题，分三小问逐步突破：第(1)问要证△DCF≌△FGD，需结合中位线性质、对称点的性质、矩形的性质，寻找全等的SAS判定条件；第(2)问需分三种情况讨论以P、Q、C、G为顶点的平行四边形，结合已知边长、角度，利用平行四边形性质和面积公式计算；第(3)问求线段和的最小值，采用旋转法转化线段，结合平行四边形、矩形的性质计算最终长度。
【解析】
(1) 证明：连接CE。
∵ DF是△ABC的中位线，
∴ DF//AB，DF=$\frac{1}{2}$AB。
∵ 点C关于DF的对称点为E，
∴ DF垂直平分CE，
∴ CD=DE，CF=EF。
又
∵ 四边形DEFG是矩形，
∴ ∠FGD=90°，DG=EF，FG=DE，
∴ FG=CD，CF=DG。
在△DCF和△FGD中，
$\{\begin{array}{l} CF=GD, \\ ∠DCF=∠FGD=90°, \\ DC=FG, \end{array} $
∴ △DCF≌△FGD（SAS）。
(2) 解：
∵ △DCF≌△FGD，
∴ ∠FGD=∠DCF=90°。
在△GHF和△CHD中，
$\{\begin{array}{l} ∠FGH=∠DCH, \\ ∠GHF=∠CHD, \\ GF=CD, \end{array} $
∴ △GHF≌△CHD（AAS），
∴ GH=CH。
∵ ∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2，
∴ AB=4，BC=$\sqrt{AB^2-AC^2}$=2$\sqrt{3}$。
∵ DF是△ABC的中位线，
∴ DF=$\frac{1}{2}$AB=2，DF//AB，CD=DA=1，
∴ ∠CFD=30°，CD=ED=FG=1。
∵ 点C关于DF的对称点为E，
∴ ∠EFD=∠CFD=30°。
∵ 四边形DEFG是矩形，
∴ ∠GFH=30°，则∠FHG=60°。
∵ GH=CH，
∴ ∠HCG=∠HGC=30°，
∴ CG=FG=1。
连接CE交DF于点K，则CE⊥DF，
∴ CE⊥AB。
∵ ∠ACB=90°，∠B=30°，
∴ ∠A=60°，
∴ ∠ACE=30°。
∵ AC=2，
∴ EA=1，EC=$\sqrt{3}$，CK=$\frac{\sqrt{3}}{2}$。
∵ CD=DE，
∴ ∠DEC=30°，
∴ ∠DEA=60°，
∴ △DEA为等边三角形，∠FEB=30°，△FBE为等腰三角形。
以P、Q、C、G为顶点的平行四边形分三种情况：
① 点P在BC上、点Q在EF上时，平行四边形面积为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
② 点P在BC上、点Q在DG上时，平行四边形面积为$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
③ 点P与A重合、点Q与E重合时，平行四边形面积为$\sqrt{3}$。
综上，满足条件的平行四边形面积为$\sqrt{3}$或$\frac{\sqrt{3}}{3}$或$\frac{2\sqrt{3}}{3}$。
(3) 解：将△DHP绕点D顺时针旋转60°，利用等边三角形性质转化线段，结合平行四边形、矩形性质计算得最小值为$\frac{\sqrt{21}}{3}$。
【答案】
(1) 证明成立；
(2) $\sqrt{3}$或$\frac{\sqrt{3}}{3}$或$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
(3) $\frac{\sqrt{21}}{3}$
【知识点】
全等三角形判定、平行四边形性质、旋转求最值
【点评】
本题为几何压轴题，综合考查多个几何核心知识点，第(2)问需分类讨论平行四边形的不同构成情况，第(3)问通过旋转转化线段求最值，对学生的几何综合应用能力要求较高。
【难度系数】
0.2