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1. 若二次根式$\sqrt{x-2}$有意义,则$x$的取值范围为(
A.$x＞2$
B.$x≥2$
C.$x≠2$
D.$x≤2$
B
).A.$x＞2$
B.$x≥2$
C.$x≠2$
D.$x≤2$
答案
1. B 【点拨】本题考查二次根式有意义的条件.
【解析】$\because \sqrt{x-2}$有意义,$\therefore x-2≥0$,解得$x≥2$.故选B.
【解析】$\because \sqrt{x-2}$有意义,$\therefore x-2≥0$,解得$x≥2$.故选B.
解析
【分析】
要确定二次根式$\sqrt{x-2}$有意义时$x$的取值范围，需回忆二次根式有意义的核心条件：被开方数必须为非负数，据此列出关于$x$的不等式，解不等式后对应选项即可得出答案。
【解析】
$\because$二次根式$\sqrt{x-2}$有意义，
$\therefore$被开方数$x-2$需满足非负性，即$x-2≥0$，
解这个不等式得：$x≥2$，
对应选项可知答案为B。
【答案】
B
【知识点】
二次根式有意义的条件，解一元一次不等式
【点评】
本题属于代数基础题，直接考查二次根式有意义的基本条件，解题思路清晰，仅需牢记被开方数非负的规则即可快速解答，是初中数学的常考基础题型。
【难度系数】
0.9
要确定二次根式$\sqrt{x-2}$有意义时$x$的取值范围，需回忆二次根式有意义的核心条件：被开方数必须为非负数，据此列出关于$x$的不等式，解不等式后对应选项即可得出答案。
【解析】
$\because$二次根式$\sqrt{x-2}$有意义，
$\therefore$被开方数$x-2$需满足非负性，即$x-2≥0$，
解这个不等式得：$x≥2$，
对应选项可知答案为B。
【答案】
B
【知识点】
二次根式有意义的条件，解一元一次不等式
【点评】
本题属于代数基础题，直接考查二次根式有意义的基本条件，解题思路清晰，仅需牢记被开方数非负的规则即可快速解答，是初中数学的常考基础题型。
【难度系数】
0.9
2. 下列计算正确的是(
A.$\sqrt{8}+\sqrt{2}=\sqrt{10}$
B.$2\sqrt{2}-\sqrt{2}=2$
C.$\sqrt{2} × \sqrt{3}=6$
D.$\sqrt{12} ÷ \sqrt{2}=\sqrt{6}$
D
).A.$\sqrt{8}+\sqrt{2}=\sqrt{10}$
B.$2\sqrt{2}-\sqrt{2}=2$
C.$\sqrt{2} × \sqrt{3}=6$
D.$\sqrt{12} ÷ \sqrt{2}=\sqrt{6}$
答案
2. D 【点拨】本题考查二次根式的混合运算,熟练掌握其运算法则是解题的关键.
【解析】A.$\sqrt{8}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}+\sqrt{2}=3\sqrt{2}$,故A错误;B.$2\sqrt{2}-\sqrt{2}=\sqrt{2}$,故B错误;C.$\sqrt{2} × \sqrt{3}=\sqrt{6}$,故C错误;D. $\sqrt{12} ÷ \sqrt{2} = \sqrt{12 ÷ 2} = \sqrt{6}$,故D正确.故选D.
【解析】A.$\sqrt{8}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}+\sqrt{2}=3\sqrt{2}$,故A错误;B.$2\sqrt{2}-\sqrt{2}=\sqrt{2}$,故B错误;C.$\sqrt{2} × \sqrt{3}=\sqrt{6}$,故C错误;D. $\sqrt{12} ÷ \sqrt{2} = \sqrt{12 ÷ 2} = \sqrt{6}$,故D正确.故选D.
解析
【分析】
本题是判断二次根式运算的正确性，需依据二次根式的加减、乘除运算法则逐一分析选项。先明确相关法则：二次根式加减时，仅同类二次根式（被开方数相同）可合并，合并时系数相加减、根式部分不变；二次根式乘法法则为$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$；除法法则为$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}(a≥0,b＞0)$，再对每个选项计算验证。
【解析】
A选项：先化简$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，再合并同类二次根式，$\sqrt{8}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}+\sqrt{2}=3\sqrt{2}≠\sqrt{10}$，故A错误；
B选项：$2\sqrt{2}$与$\sqrt{2}$是同类二次根式，合并得$2\sqrt{2}-\sqrt{2}=\sqrt{2}≠2$，故B错误；
C选项：根据二次根式乘法法则，$\sqrt{2}×\sqrt{3}=\sqrt{2×3}=\sqrt{6}≠6$，故C错误；
D选项：根据二次根式除法法则，$\sqrt{12}÷\sqrt{2}=\sqrt{12÷2}=\sqrt{6}$，计算正确，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的加减运算、二次根式的乘除运算
【点评】
本题考查二次根式的基础运算，解题关键是熟练掌握二次根式的加减、乘除运算法则，注意同类二次根式的合并条件，避免运算时的常见错误，属于基础题型。
【难度系数】
0.7
本题是判断二次根式运算的正确性，需依据二次根式的加减、乘除运算法则逐一分析选项。先明确相关法则：二次根式加减时，仅同类二次根式（被开方数相同）可合并，合并时系数相加减、根式部分不变；二次根式乘法法则为$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$；除法法则为$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}(a≥0,b＞0)$，再对每个选项计算验证。
【解析】
A选项：先化简$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，再合并同类二次根式，$\sqrt{8}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}+\sqrt{2}=3\sqrt{2}≠\sqrt{10}$，故A错误；
B选项：$2\sqrt{2}$与$\sqrt{2}$是同类二次根式，合并得$2\sqrt{2}-\sqrt{2}=\sqrt{2}≠2$，故B错误；
C选项：根据二次根式乘法法则，$\sqrt{2}×\sqrt{3}=\sqrt{2×3}=\sqrt{6}≠6$，故C错误；
D选项：根据二次根式除法法则，$\sqrt{12}÷\sqrt{2}=\sqrt{12÷2}=\sqrt{6}$，计算正确，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的加减运算、二次根式的乘除运算
【点评】
本题考查二次根式的基础运算，解题关键是熟练掌握二次根式的加减、乘除运算法则，注意同类二次根式的合并条件，避免运算时的常见错误，属于基础题型。
【难度系数】
0.7
3. 满足下列条件的三角形中,不是直角三角形的是(
A.三内角之比为$1:2:3$
B.三边长的平方之比为$1:2:3$
C.三边长之比为$3:4:5$
D.三内角之比为$3:4:5$
D
).A.三内角之比为$1:2:3$
B.三边长的平方之比为$1:2:3$
C.三边长之比为$3:4:5$
D.三内角之比为$3:4:5$
答案
3. D 【点拨】本题考查直角三角形的判定.
【解析】A. 最大的内角为$180° × \dfrac{3}{1 + 2 + 3} = 90°$,是直角三角形,故A不符合题意;B.$1 + 2 = 3$,是直角三角形,故B不符合题意;C.$3^2 + 4^2 = 5^2$,是直角三角形,故C不符合题意;D. 最大的内角为$180° × \dfrac{5}{3 + 4 + 5} = 75°$,不是直角三角形,故D符合题意.故选D.
【解析】A. 最大的内角为$180° × \dfrac{3}{1 + 2 + 3} = 90°$,是直角三角形,故A不符合题意;B.$1 + 2 = 3$,是直角三角形,故B不符合题意;C.$3^2 + 4^2 = 5^2$,是直角三角形,故C不符合题意;D. 最大的内角为$180° × \dfrac{5}{3 + 4 + 5} = 75°$,不是直角三角形,故D符合题意.故选D.
解析
【分析】要判断一个三角形是否为直角三角形，常用两种方法：一是利用三角形内角和为180°，计算最大内角是否为90°；二是利用勾股定理的逆定理，验证两短边的平方和是否等于最长边的平方。我们逐个分析选项即可得出答案。
【解析】A选项：三内角之比为1:2:3，最大内角为$180° × \dfrac{3}{1+2+3}=90°$，是直角三角形，不符合题意；B选项：三边长的平方之比为1:2:3，设三边平方为$k、2k、3k(k＞0)$，满足$k+2k=3k$，符合勾股定理逆定理，是直角三角形，不符合题意；C选项：三边长之比为3:4:5，设三边为$3k、4k、5k(k＞0)$，则$(3k)^2+(4k)^2=25k^2=(5k)^2$，符合勾股定理逆定理，是直角三角形，不符合题意；D选项：三内角之比为3:4:5，最大内角为$180° × \dfrac{5}{3+4+5}=75°≠90°$，不是直角三角形，符合题意。故选D。
【答案】D
【知识点】直角三角形的判定、三角形内角和定理、勾股定理的逆定理
【点评】本题考查直角三角形的基础判定，需熟练掌握三角形内角和定理与勾股定理的逆定理，通过简单计算或验证即可解题，属于常规基础题。
【难度系数】0.8
【解析】A选项：三内角之比为1:2:3，最大内角为$180° × \dfrac{3}{1+2+3}=90°$，是直角三角形，不符合题意；B选项：三边长的平方之比为1:2:3，设三边平方为$k、2k、3k(k＞0)$，满足$k+2k=3k$，符合勾股定理逆定理，是直角三角形，不符合题意；C选项：三边长之比为3:4:5，设三边为$3k、4k、5k(k＞0)$，则$(3k)^2+(4k)^2=25k^2=(5k)^2$，符合勾股定理逆定理，是直角三角形，不符合题意；D选项：三内角之比为3:4:5，最大内角为$180° × \dfrac{5}{3+4+5}=75°≠90°$，不是直角三角形，符合题意。故选D。
【答案】D
【知识点】直角三角形的判定、三角形内角和定理、勾股定理的逆定理
【点评】本题考查直角三角形的基础判定，需熟练掌握三角形内角和定理与勾股定理的逆定理，通过简单计算或验证即可解题，属于常规基础题。
【难度系数】0.8
4. 若一个多边形的每个外角都是$30°$,则这个多边形的边数为(
A.6
B.8
C.10
D.12
D
).A.6
B.8
C.10
D.12
答案
4. D 【点拨】本题考查多边形的外角和定理.
【解析】$\because$ 该多边形的每一个外角都是$30°$,$\therefore$ 该多边形的边数$= 360° ÷ 30° = 12$.故选D.
【解析】$\because$ 该多边形的每一个外角都是$30°$,$\therefore$ 该多边形的边数$= 360° ÷ 30° = 12$.故选D.
解析
【分析】
要确定该多边形的边数，需利用多边形外角和定理：任意多边形的外角和固定为360°。已知每个外角的度数，用外角和除以每个外角的度数，即可求出多边形的边数。
【解析】
根据多边形外角和定理，任意多边形的外角和为360°。已知该多边形每个外角是30°，则边数 = 外角和 ÷ 每个外角的度数 = 360° ÷ 30° = 12，因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
多边形外角和定理
【点评】
本题考查多边形外角和的基础应用，直接利用外角和定理计算即可，属于常见的基础题型，难度较低。
【难度系数】
0.8
要确定该多边形的边数，需利用多边形外角和定理：任意多边形的外角和固定为360°。已知每个外角的度数，用外角和除以每个外角的度数，即可求出多边形的边数。
【解析】
根据多边形外角和定理，任意多边形的外角和为360°。已知该多边形每个外角是30°，则边数 = 外角和 ÷ 每个外角的度数 = 360° ÷ 30° = 12，因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
多边形外角和定理
【点评】
本题考查多边形外角和的基础应用，直接利用外角和定理计算即可，属于常见的基础题型，难度较低。
【难度系数】
0.8
5. 若 $ n $ 是正整数，$\sqrt{12n}$ 是整数，则 $ n $ 的最小值为(
A.1
B.2
C.3
D.12
C
).A.1
B.2
C.3
D.12
答案
5. C 【点拨】本题考查二次根式化简、完全平方数.
【解析】$\because \sqrt{12n} = 2\sqrt{3n}$,且$\sqrt{12n}$是整数,$\therefore 2\sqrt{3n}$是整数,$\therefore 3n$是完全平方数,$\therefore$ 满足条件的最小正整数$n$为3.故选C.
【解析】$\because \sqrt{12n} = 2\sqrt{3n}$,且$\sqrt{12n}$是整数,$\therefore 2\sqrt{3n}$是整数,$\therefore 3n$是完全平方数,$\therefore$ 满足条件的最小正整数$n$为3.故选C.
解析
【分析】
要解决这个问题，需先对二次根式$\sqrt{12n}$进行化简，再根据“二次根式为整数时，其被开方数需为完全平方数”的性质，确定正整数$n$的最小值。具体思路：先将$\sqrt{12n}$化为最简二次根式，再根据根式为整数的条件推导$n$需满足的要求，最终找到最小正整数$n$。
【解析】
$\because \sqrt{12n} = \sqrt{4 × 3n} = 2\sqrt{3n}$，且$\sqrt{12n}$是整数，
$\therefore 2\sqrt{3n}$为整数，即$\sqrt{3n}$必须为整数，
$\therefore 3n$是完全平方数。
由于$n$是正整数，要使$3n$为完全平方数，最小的$n$需满足$3n=9$（9是最小的含因数3的完全平方数），解得$n=3$。
故选C。
【答案】C
【知识点】二次根式化简、完全平方数
【点评】本题考查二次根式化简与完全平方数的应用，属于基础题，解题核心是掌握“二次根式为整数时被开方数为完全平方数”的性质，难度较低。
【难度系数】0.7
要解决这个问题，需先对二次根式$\sqrt{12n}$进行化简，再根据“二次根式为整数时，其被开方数需为完全平方数”的性质，确定正整数$n$的最小值。具体思路：先将$\sqrt{12n}$化为最简二次根式，再根据根式为整数的条件推导$n$需满足的要求，最终找到最小正整数$n$。
【解析】
$\because \sqrt{12n} = \sqrt{4 × 3n} = 2\sqrt{3n}$，且$\sqrt{12n}$是整数，
$\therefore 2\sqrt{3n}$为整数，即$\sqrt{3n}$必须为整数，
$\therefore 3n$是完全平方数。
由于$n$是正整数，要使$3n$为完全平方数，最小的$n$需满足$3n=9$（9是最小的含因数3的完全平方数），解得$n=3$。
故选C。
【答案】C
【知识点】二次根式化简、完全平方数
【点评】本题考查二次根式化简与完全平方数的应用，属于基础题，解题核心是掌握“二次根式为整数时被开方数为完全平方数”的性质，难度较低。
【难度系数】0.7
6. 下列命题的逆命题正确的是(
A.对顶角相等
B.如果两个实数相等,那么它们的绝对值相等
C.两直线平行,同旁内角互补
D.全等三角形的对应角相等
C
).A.对顶角相等
B.如果两个实数相等,那么它们的绝对值相等
C.两直线平行,同旁内角互补
D.全等三角形的对应角相等
答案
6. C 【点拨】本题考查逆命题,真假命题的判断.
【解析】A. 逆命题为相等的角是对顶角,是假命题;B. 逆命题为如果两个实数的平方相等,那么这两个实数相等,是假命题;C. 逆命题为同旁内角互补,两条直线平行,是真命题;D. 逆命题为对应角相等的三角形全等,是假命题.故选C.
【解析】A. 逆命题为相等的角是对顶角,是假命题;B. 逆命题为如果两个实数的平方相等,那么这两个实数相等,是假命题;C. 逆命题为同旁内角互补,两条直线平行,是真命题;D. 逆命题为对应角相等的三角形全等,是假命题.故选C.
解析
【分析】要解决这道题，首先需明确逆命题的定义：将原命题的题设（条件）和结论互换，即可得到该命题的逆命题；接下来需逐一写出每个选项的逆命题，再判断逆命题的真假，最终选出逆命题正确的选项。
【解析】根据逆命题的构造方法，逐个分析选项：
1. 选项A：原命题为“对顶角相等”，逆命题是“相等的角是对顶角”。相等的角不一定是对顶角（如两直线平行时的同位角相等，但不是对顶角），因此该逆命题是假命题。
2. 选项B：原命题为“如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等”，逆命题是“如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等”。绝对值相等的两个实数可能互为相反数（如2和-2），并不一定相等，因此该逆命题是假命题。
3. 选项C：原命题为“两直线平行，同旁内角互补”，逆命题是“同旁内角互补，两直线平行”。这是平行线的判定定理，是真命题，因此该逆命题正确。
4. 选项D：原命题为“全等三角形的对应角相等”，逆命题是“对应角相等的三角形全等”。对应角相等的三角形仅相似，不一定全等（如边长不同的等边三角形），因此该逆命题是假命题。
综上，逆命题正确的是选项C。
【答案】C
【知识点】逆命题，真假命题的判断
【点评】本题考查逆命题的构造与真假命题的判断，属于基础题型，需学生熟练掌握逆命题的改写方法，结合相关概念判断命题真假，难度适中。
【难度系数】0.6
【解析】根据逆命题的构造方法，逐个分析选项：
1. 选项A：原命题为“对顶角相等”，逆命题是“相等的角是对顶角”。相等的角不一定是对顶角（如两直线平行时的同位角相等，但不是对顶角），因此该逆命题是假命题。
2. 选项B：原命题为“如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等”，逆命题是“如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等”。绝对值相等的两个实数可能互为相反数（如2和-2），并不一定相等，因此该逆命题是假命题。
3. 选项C：原命题为“两直线平行，同旁内角互补”，逆命题是“同旁内角互补，两直线平行”。这是平行线的判定定理，是真命题，因此该逆命题正确。
4. 选项D：原命题为“全等三角形的对应角相等”，逆命题是“对应角相等的三角形全等”。对应角相等的三角形仅相似，不一定全等（如边长不同的等边三角形），因此该逆命题是假命题。
综上，逆命题正确的是选项C。
【答案】C
【知识点】逆命题，真假命题的判断
【点评】本题考查逆命题的构造与真假命题的判断，属于基础题型，需学生熟练掌握逆命题的改写方法，结合相关概念判断命题真假，难度适中。
【难度系数】0.6
7. 已知一直角三角形的两直角边长分别为1,2,则斜边上的高线长为(
A.$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
B.$\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$
C.$\dfrac{\sqrt{5}}{2}$
D.$\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$
D
).A.$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
B.$\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$
C.$\dfrac{\sqrt{5}}{2}$
D.$\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$
答案
7. D 【点拨】本题考查勾股定理和三角形面积公式.
【解析】$\because$ 该直角三角形的两直角边长分别为1,2,$\therefore$ 由勾股定理可得,斜边长$= \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$. 设斜边上的高线长为$h$,则$\dfrac{1}{2} × 1 × 2 = \dfrac{1}{2} × \sqrt{5}h$,解得$h = \dfrac{2\sqrt{5}}{5}$. 故选D.
【解析】$\because$ 该直角三角形的两直角边长分别为1,2,$\therefore$ 由勾股定理可得,斜边长$= \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$. 设斜边上的高线长为$h$,则$\dfrac{1}{2} × 1 × 2 = \dfrac{1}{2} × \sqrt{5}h$,解得$h = \dfrac{2\sqrt{5}}{5}$. 故选D.
解析
【分析】
要解决这个问题，首先利用勾股定理求出直角三角形的斜边长，再根据三角形面积的两种计算方式（两直角边乘积的一半、斜边与斜边上高乘积的一半）建立等式，即可求出斜边上的高线长，核心是运用面积法简化计算。
【解析】
1. 求斜边长：已知直角三角形两直角边长为1和2，根据勾股定理，斜边长为$\sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$。
2. 求斜边上的高：设斜边上的高线长为$h$，三角形面积可表示为$\frac{1}{2}×直角边1×直角边2$，也可表示为$\frac{1}{2}×斜边×h$，因此建立等式：$\frac{1}{2}×1×2 = \frac{1}{2}×\sqrt{5}h$，两边约去$\frac{1}{2}$得$2 = \sqrt{5}h$，解得$h = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理、三角形面积公式
【点评】
本题是基础题型，重点考查勾股定理和三角形面积公式的灵活运用，用面积法求斜边上的高是解题的关键，整体难度不大，适合巩固基础知识点。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先利用勾股定理求出直角三角形的斜边长，再根据三角形面积的两种计算方式（两直角边乘积的一半、斜边与斜边上高乘积的一半）建立等式，即可求出斜边上的高线长，核心是运用面积法简化计算。
【解析】
1. 求斜边长：已知直角三角形两直角边长为1和2，根据勾股定理，斜边长为$\sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$。
2. 求斜边上的高：设斜边上的高线长为$h$，三角形面积可表示为$\frac{1}{2}×直角边1×直角边2$，也可表示为$\frac{1}{2}×斜边×h$，因此建立等式：$\frac{1}{2}×1×2 = \frac{1}{2}×\sqrt{5}h$，两边约去$\frac{1}{2}$得$2 = \sqrt{5}h$，解得$h = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理、三角形面积公式
【点评】
本题是基础题型，重点考查勾股定理和三角形面积公式的灵活运用，用面积法求斜边上的高是解题的关键，整体难度不大，适合巩固基础知识点。
【难度系数】
0.8
