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7.已知方程组$\begin{cases}5x+y=3, \\ px+5y=2\end{cases}$和$\begin{cases}x-2y=5, \\ 5x+qy=7\end{cases}$有相同的解,则$p,q$的值为 ………………………………………………………………………（ ）
A.$\begin{cases} p=1, \\ q=-2 \end{cases}$
B.$\begin{cases} p=1, \\ q=2 \end{cases}$
C.$\begin{cases} p=12, \\ q=1 \end{cases}$
D.$\begin{cases} p=12, \\ q=-1 \end{cases}$
A.$\begin{cases} p=1, \\ q=-2 \end{cases}$
B.$\begin{cases} p=1, \\ q=2 \end{cases}$
C.$\begin{cases} p=12, \\ q=1 \end{cases}$
D.$\begin{cases} p=12, \\ q=-1 \end{cases}$
答案
D
解析
【分析】
两个方程组有相同的解，说明该公共解同时满足四个方程，因此先选取不含参数$p,q$的方程组成方程组，求出公共解$x,y$，再将解代入含参数的方程，即可求出$p,q$的值，最后对应选项得出答案。
【解析】
1. 求公共解：联立不含参数的方程$\begin{cases}5x+y=3 \\ x-2y=5\end{cases}$，用加减消元法，将第一个方程乘2得$10x+2y=6$，与第二个方程相加得$11x=11$，解得$x=1$；把$x=1$代入$x-2y=5$，得$1-2y=5$，解得$y=-2$，即公共解为$\begin{cases}x=1 \\ y=-2\end{cases}$。
2. 求参数：将$\begin{cases}x=1 \\ y=-2\end{cases}$代入$px+5y=2$，得$p -10=2$，解得$p=12$；代入$5x+qy=7$，得$5 -2q=7$，解得$q=-1$。因此$\begin{cases}p=12 \\ q=-1\end{cases}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
二元一次方程组的解，解二元一次方程组
【点评】
本题考查同解方程组的性质，核心是利用公共解的定义先求出$x,y$的值，再代入参数方程计算，步骤清晰，属于基础题型。
【难度系数】
0.6
两个方程组有相同的解，说明该公共解同时满足四个方程，因此先选取不含参数$p,q$的方程组成方程组，求出公共解$x,y$，再将解代入含参数的方程，即可求出$p,q$的值，最后对应选项得出答案。
【解析】
1. 求公共解：联立不含参数的方程$\begin{cases}5x+y=3 \\ x-2y=5\end{cases}$，用加减消元法，将第一个方程乘2得$10x+2y=6$，与第二个方程相加得$11x=11$，解得$x=1$；把$x=1$代入$x-2y=5$，得$1-2y=5$，解得$y=-2$，即公共解为$\begin{cases}x=1 \\ y=-2\end{cases}$。
2. 求参数：将$\begin{cases}x=1 \\ y=-2\end{cases}$代入$px+5y=2$，得$p -10=2$，解得$p=12$；代入$5x+qy=7$，得$5 -2q=7$，解得$q=-1$。因此$\begin{cases}p=12 \\ q=-1\end{cases}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
二元一次方程组的解，解二元一次方程组
【点评】
本题考查同解方程组的性质，核心是利用公共解的定义先求出$x,y$的值，再代入参数方程计算，步骤清晰，属于基础题型。
【难度系数】
0.6
8.(2024·金华金东、婺城)《孙子算经》中有一道题,原文是:“今有木,不知长短,引绳度之,余绳四尺五寸;屈绳量之,不足一尺,木长几何?”意思是:用一根绳子去量一根长木,绳子还剩余4.5尺;将绳子对折再量长木,长木还剩余1尺,木长多少尺?若设绳子长$ x $尺,木长$ y $尺,所列方程组正确的是 …………（
A.$\begin{cases} x - y = 4.5, \\ 2x + 1 = y \end{cases}$
B.$\begin{cases} x - y = 4.5, \\ \dfrac{1}{2}x - 1 = y \end{cases}$
C.$\begin{cases} y - x = 4.5, \\ 2x - 1 = y \end{cases}$
D.$\begin{cases} x - y = 4.5, \\ \dfrac{1}{2}x + 1 = y \end{cases}$
D
）A.$\begin{cases} x - y = 4.5, \\ 2x + 1 = y \end{cases}$
B.$\begin{cases} x - y = 4.5, \\ \dfrac{1}{2}x - 1 = y \end{cases}$
C.$\begin{cases} y - x = 4.5, \\ 2x - 1 = y \end{cases}$
D.$\begin{cases} x - y = 4.5, \\ \dfrac{1}{2}x + 1 = y \end{cases}$
答案
D
解析
【分析】
本题是二元一次方程组的实际应用，解题关键是根据题意找出两个等量关系。首先明确设绳子长为$x$尺，木长为$y$尺；第一个等量关系来自“用绳子量木，绳子剩余4.5尺”，即绳子长度减去木长等于4.5；第二个等量关系来自“绳子对折后量木，木剩余1尺”，即木长等于对折后绳子长度加1，据此列出方程组即可选出正确选项。
【解析】
设绳子长$x$尺，木长$y$尺。
1. 根据“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺”，可得等量关系：$x - y = 4.5$；
2. 根据“将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺”，对折后绳子长度为$\frac{1}{2}x$，此时木长比对折后绳子长多1尺，可得等量关系：$y = \frac{1}{2}x + 1$。
综上，所列方程组为$\begin{cases} x - y = 4.5, \\ \dfrac{1}{2}x + 1 = y \end{cases}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
二元一次方程组的应用
【点评】
本题将古代数学问题转化为二元一次方程组的应用，重点考查学生从题意中提取等量关系的能力，易错点是对折后绳子长度与木长的关系分析，整体属于基础应用题。
【难度系数】
0.7
本题是二元一次方程组的实际应用，解题关键是根据题意找出两个等量关系。首先明确设绳子长为$x$尺，木长为$y$尺；第一个等量关系来自“用绳子量木，绳子剩余4.5尺”，即绳子长度减去木长等于4.5；第二个等量关系来自“绳子对折后量木，木剩余1尺”，即木长等于对折后绳子长度加1，据此列出方程组即可选出正确选项。
【解析】
设绳子长$x$尺，木长$y$尺。
1. 根据“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺”，可得等量关系：$x - y = 4.5$；
2. 根据“将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺”，对折后绳子长度为$\frac{1}{2}x$，此时木长比对折后绳子长多1尺，可得等量关系：$y = \frac{1}{2}x + 1$。
综上，所列方程组为$\begin{cases} x - y = 4.5, \\ \dfrac{1}{2}x + 1 = y \end{cases}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
二元一次方程组的应用
【点评】
本题将古代数学问题转化为二元一次方程组的应用，重点考查学生从题意中提取等量关系的能力，易错点是对折后绳子长度与木长的关系分析，整体属于基础应用题。
【难度系数】
0.7
9. 已知关于 $ x,y $ 的方程组 $ \begin{cases} x+2y=5-2a, \\ x-y=4a-1, \end{cases} $ 给出下列结论：
①当 $ a=1 $ 时，方程组的解也是 $ x+y=2a+1 $ 的解；
②无论 $ a $ 取何值，$ x,y $ 的值不可能互为相反数；
③$ x,y $ 都为自然数的解有 4 对；
④若 $ 2x+y=8 $，则 $ a=2 $。
正确的有 …………………………………………………………（
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
①当 $ a=1 $ 时，方程组的解也是 $ x+y=2a+1 $ 的解；
②无论 $ a $ 取何值，$ x,y $ 的值不可能互为相反数；
③$ x,y $ 都为自然数的解有 4 对；
④若 $ 2x+y=8 $，则 $ a=2 $。
正确的有 …………………………………………………………（
D
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
解析:①将a=1代入原方程组,得$\begin{cases} x+2y=3,\\x-y=3,\end{cases}$解得$\begin{cases} x=3,\\y=0,\end{cases}$将x=3,y=0,a=1代入方程x+y=2a+1的左右两边,左边=3,右边=3,所以当a=1时,方程组的解也是x+y=2a+1的解;②解原方程组,得$\begin{cases} x=2a+1,\\y=2-2a,\end{cases}$所以x+y=3,无论a取何值,x,y的值不可能互为相反数;③因为x+y=2a+1+2-2a=3,所以x,y为自然数的解有$\begin{cases} x=0,\\y=3,\end{cases}$或$\begin{cases} x=1,\\y=2,\end{cases}$或$\begin{cases} x=2,\\y=1,\end{cases}$或$\begin{cases} x=3,\\y=0;\end{cases}$④因为2x+y=8,所以2(2a+1)+2-2a=8,解得a=2。故选D。
解析
【分析】本题是关于二元一次方程组结论的判断问题，解题思路为：首先利用加减消元法解原方程组，用含a的代数式表示出x和y；再分别对四个结论逐一验证：①代入a=1，求出方程组的解，代入对应方程验证；②计算x+y的值，判断是否可能为0（互为相反数的两数和为0）；③根据x+y的固定值，找出x、y均为自然数的所有解；④将x、y代入2x+y=8，求解a的值，最终统计正确结论的数量。
【解析】解原方程组$\begin{cases} x+2y=5-2a \\ x-y=4a-1 \end{cases}$，
用加减消元法：将第二个方程乘以2得$2x-2y=8a-2$，
与第一个方程相加得：$3x=6a+3$，解得$x=2a+1$，
将$x=2a+1$代入$x-y=4a-1$，得$y=2-2a$，
即方程组的解为$\begin{cases} x=2a+1 \\ y=2-2a \end{cases}$。
验证各结论：
①当$a=1$时，$x=2×1+1=3$，$y=2-2×1=0$，
代入$x+y=2a+1$，左边$=3+0=3$，右边$=2×1+1=3$，左边=右边，故①正确；
②$x+y=(2a+1)+(2-2a)=3$，若x、y互为相反数，则$x+y=0$，但$3≠0$，故无论a取何值，x、y不可能互为相反数，②正确；
③由$x+y=3$，x、y为自然数，即$x≥0$，$y≥0$，则解为：
$\begin{cases} x=0 \\ y=3 \end{cases}$，$\begin{cases} x=1 \\ y=2 \end{cases}$，$\begin{cases} x=2 \\ y=1 \end{cases}$，$\begin{cases} x=3 \\ y=0 \end{cases}$，共4对，故③正确；
④若$2x+y=8$，代入$x=2a+1$，$y=2-2a$，得：
$2(2a+1)+(2-2a)=8$，
化简得$4a+2+2-2a=8$，即$2a+4=8$，解得$a=2$，故④正确。
综上，四个结论都正确，故选D。
【答案】D
【知识点】二元一次方程组的解；代数式求值；自然数的概念
【点评】本题综合考查二元一次方程组的解法及相关性质，需要学生熟练掌握加减消元法解方程组，同时能根据代数式的结果逐一验证结论，难度适中，需细心计算避免出错。
【难度系数】0.5
【解析】解原方程组$\begin{cases} x+2y=5-2a \\ x-y=4a-1 \end{cases}$，
用加减消元法：将第二个方程乘以2得$2x-2y=8a-2$，
与第一个方程相加得：$3x=6a+3$，解得$x=2a+1$，
将$x=2a+1$代入$x-y=4a-1$，得$y=2-2a$，
即方程组的解为$\begin{cases} x=2a+1 \\ y=2-2a \end{cases}$。
验证各结论：
①当$a=1$时，$x=2×1+1=3$，$y=2-2×1=0$，
代入$x+y=2a+1$，左边$=3+0=3$，右边$=2×1+1=3$，左边=右边，故①正确；
②$x+y=(2a+1)+(2-2a)=3$，若x、y互为相反数，则$x+y=0$，但$3≠0$，故无论a取何值，x、y不可能互为相反数，②正确；
③由$x+y=3$，x、y为自然数，即$x≥0$，$y≥0$，则解为：
$\begin{cases} x=0 \\ y=3 \end{cases}$，$\begin{cases} x=1 \\ y=2 \end{cases}$，$\begin{cases} x=2 \\ y=1 \end{cases}$，$\begin{cases} x=3 \\ y=0 \end{cases}$，共4对，故③正确；
④若$2x+y=8$，代入$x=2a+1$，$y=2-2a$，得：
$2(2a+1)+(2-2a)=8$，
化简得$4a+2+2-2a=8$，即$2a+4=8$，解得$a=2$，故④正确。
综上，四个结论都正确，故选D。
【答案】D
【知识点】二元一次方程组的解；代数式求值；自然数的概念
【点评】本题综合考查二元一次方程组的解法及相关性质，需要学生熟练掌握加减消元法解方程组，同时能根据代数式的结果逐一验证结论，难度适中，需细心计算避免出错。
【难度系数】0.5
10.已知关于$x,y$的二元一次方程组$\begin{cases}x+3y=4-a, \\ x-y=3a,\end{cases}$给出下列结论中正确的是 …………………………………………………（ ）
①当这个方程组的解$x,y$的值互为相反数时，$a=-2$；
②当$a=1$时，方程组的解也是方程$x+y=4+2a$的解；
③无论$a$取什么实数，$x+2y$的值始终不变；
④若用$x$表示$y$，则$y=-\dfrac{x}{2}+\dfrac{3}{2}$。
A.①②③
B.①②④
C.①③④
D.②③④
①当这个方程组的解$x,y$的值互为相反数时，$a=-2$；
②当$a=1$时，方程组的解也是方程$x+y=4+2a$的解；
③无论$a$取什么实数，$x+2y$的值始终不变；
④若用$x$表示$y$，则$y=-\dfrac{x}{2}+\dfrac{3}{2}$。
A.①②③
B.①②④
C.①③④
D.②③④
答案
解析:关于x,y的二元一次方程组$\begin{cases}x+3y=4-a,①\\x-y=3a,②\end{cases}$ ①+②得,2x+2y=4+2a,即x+y=2+a,①当方程组的解x,y的值互为相反数时,即x+y=0时,即2+a=0,所以a=-2,故①正确;②原方程组的解满足x+y=2+a,当a=1时,x+y=3,而方程x+y=4+2a的解满足x+y=6,因此②不正确;③方程组$\begin{cases}x+3y=4-a,①\\x-y=3a,②\end{cases}$解得$\begin{cases}x=2a+1,\\y=1-a,\end{cases}$所以x+2y=2a+1+2-2a=3,因此③是正确的;④方程组$\begin{cases}x+3y=4-a,①\\x-y=3a,②\end{cases}$由①得,a=4-x-3y,代入②得,x-y=3(4-x-3y),所以$y=-\dfrac{x}{2}+\dfrac{3}{2}$,因此④是正确的。故选C。
解析
【分析】
要判断关于二元一次方程组解的四个结论是否正确，需先通过加减消元法解方程组，得到x、y与参数a的关系，再分别对每个结论代入验证：①利用“x、y互为相反数即x+y=0”求a；②代入a=1，计算方程组的解和对应方程的解，对比是否一致；③计算x+2y，消去参数a看是否为定值；④通过消去参数a，用x表示y，验证表达式是否正确。
【解析】
先解二元一次方程组$\begin{cases}x+3y=4-a①\\x-y=3a②\end{cases}$：
①+②得：$2x+2y=4+2a$，化简得$x+y=2+a$；
用加减消元法进一步求解：②×3得$3x-3y=9a③$，①+③得$4x=4+8a$，解得$x=2a+1$；
将$x=2a+1$代入②得：$2a+1 - y=3a$，解得$y=1-a$；
逐个验证结论：
①当x、y互为相反数时，$x+y=0$，即$2+a=0$，解得$a=-2$，故①正确；
②当$a=1$时，方程组的解为$x=2×1+1=3$，$y=1-1=0$，此时$x+y=3$；方程$x+y=4+2a$当$a=1$时，右边为$4+2×1=6$，$3≠6$，故②错误；
③计算$x+2y=(2a+1)+2(1-a)=2a+1+2-2a=3$，结果为定值，与a无关，故③正确；
④消去参数a：由②得$a=\frac{x-y}{3}$，代入①得$x+3y=4-\frac{x-y}{3}$，两边乘3得$3x+9y=12 -x +y$，整理得$4x+8y=12$，两边除以4得$x+2y=3$，变形为$y=-\frac{x}{2}+\frac{3}{2}$，故④正确；
综上，正确结论为①③④，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程组的解，解二元一次方程组
【点评】
本题考查二元一次方程组解的性质，核心是通过消元建立参数与未知数的关系，再逐一验证结论，需熟练掌握解方程组的方法，计算时注意消元的准确性，属于中等难度的基础题。
【难度系数】
0.5
要判断关于二元一次方程组解的四个结论是否正确，需先通过加减消元法解方程组，得到x、y与参数a的关系，再分别对每个结论代入验证：①利用“x、y互为相反数即x+y=0”求a；②代入a=1，计算方程组的解和对应方程的解，对比是否一致；③计算x+2y，消去参数a看是否为定值；④通过消去参数a，用x表示y，验证表达式是否正确。
【解析】
先解二元一次方程组$\begin{cases}x+3y=4-a①\\x-y=3a②\end{cases}$：
①+②得：$2x+2y=4+2a$，化简得$x+y=2+a$；
用加减消元法进一步求解：②×3得$3x-3y=9a③$，①+③得$4x=4+8a$，解得$x=2a+1$；
将$x=2a+1$代入②得：$2a+1 - y=3a$，解得$y=1-a$；
逐个验证结论：
①当x、y互为相反数时，$x+y=0$，即$2+a=0$，解得$a=-2$，故①正确；
②当$a=1$时，方程组的解为$x=2×1+1=3$，$y=1-1=0$，此时$x+y=3$；方程$x+y=4+2a$当$a=1$时，右边为$4+2×1=6$，$3≠6$，故②错误；
③计算$x+2y=(2a+1)+2(1-a)=2a+1+2-2a=3$，结果为定值，与a无关，故③正确；
④消去参数a：由②得$a=\frac{x-y}{3}$，代入①得$x+3y=4-\frac{x-y}{3}$，两边乘3得$3x+9y=12 -x +y$，整理得$4x+8y=12$，两边除以4得$x+2y=3$，变形为$y=-\frac{x}{2}+\frac{3}{2}$，故④正确；
综上，正确结论为①③④，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程组的解，解二元一次方程组
【点评】
本题考查二元一次方程组解的性质，核心是通过消元建立参数与未知数的关系，再逐一验证结论，需熟练掌握解方程组的方法，计算时注意消元的准确性，属于中等难度的基础题。
【难度系数】
0.5
