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二、填空题(每题4分,共24分)
11. 已知二元一次方程$y - 2x = 2$,请写出它的一个解。
11. 已知二元一次方程$y - 2x = 2$,请写出它的一个解。
答案
答案不唯一，如$\begin{cases} x=1 \\ y=4 \end{cases}$
解析
【分析】
要写出二元一次方程的一个解，需明确二元一次方程的解是使方程左右两边相等的一对未知数的值，解不唯一。我们可以任意选取一个x的值，代入方程计算出对应的y值，即可得到方程的一个解。
【解析】
对于方程$y - 2x = 2$，令$x=1$，将其代入方程得：$y - 2×1 = 2$，解得$y=4$，因此$\begin{cases} x=1 \\ y=4 \end{cases}$是该方程的一个解（也可选取其他x值，如$x=0$时$y=2$，同样是解）。
【答案】
答案不唯一，如$\begin{cases} x=1 \\ y=4 \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程的解
【点评】
本题考查二元一次方程解的基本概念，难度较低，只要理解“使方程成立的一对未知数的值即为解”，即可轻松写出符合要求的解，属于基础题。
【难度系数】
0.9
要写出二元一次方程的一个解，需明确二元一次方程的解是使方程左右两边相等的一对未知数的值，解不唯一。我们可以任意选取一个x的值，代入方程计算出对应的y值，即可得到方程的一个解。
【解析】
对于方程$y - 2x = 2$，令$x=1$，将其代入方程得：$y - 2×1 = 2$，解得$y=4$，因此$\begin{cases} x=1 \\ y=4 \end{cases}$是该方程的一个解（也可选取其他x值，如$x=0$时$y=2$，同样是解）。
【答案】
答案不唯一，如$\begin{cases} x=1 \\ y=4 \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程的解
【点评】
本题考查二元一次方程解的基本概念，难度较低，只要理解“使方程成立的一对未知数的值即为解”，即可轻松写出符合要求的解，属于基础题。
【难度系数】
0.9
12.(2024·宁波市南三县)已知$\begin{cases} x=a, \\ y=3 \end{cases}$是方程$2x+3y=5$的一个解,则$a=$$\underline{\hspace{5em}}$。
答案
-2
解析
【分析】首先明确二元一次方程解的定义：使二元一次方程左右两边相等的一对未知数的值，叫做这个二元一次方程的解。因此将已知的解$\begin{cases} x=a \\ y=3 \end{cases}$代入方程$2x+3y=5$，可得到关于a的一元一次方程，解此方程即可求出a的值。
【解析】把$\begin{cases} x=a \\ y=3 \end{cases}$代入方程$2x+3y=5$，得：
$2a + 3×3 = 5$
计算得：$2a + 9 = 5$
移项得：$2a = 5 - 9$
即：$2a = -4$
两边同时除以2，得：$a = -2$
【答案】-2
【知识点】二元一次方程的解；解一元一次方程
【点评】本题考查二元一次方程解的概念，直接代入求解即可，属于基础题型，计算过程简单，易掌握。
【难度系数】0.9
【解析】把$\begin{cases} x=a \\ y=3 \end{cases}$代入方程$2x+3y=5$，得：
$2a + 3×3 = 5$
计算得：$2a + 9 = 5$
移项得：$2a = 5 - 9$
即：$2a = -4$
两边同时除以2，得：$a = -2$
【答案】-2
【知识点】二元一次方程的解；解一元一次方程
【点评】本题考查二元一次方程解的概念，直接代入求解即可，属于基础题型，计算过程简单，易掌握。
【难度系数】0.9
13.若二元一次联立方程式$\begin{cases}5x - 3y = 28, \\ y = -3x\end{cases}$的解为$\begin{cases}x = a, \\ y = b,\end{cases}$则$a + b =$ ______ 。
答案
-4
解析
【分析】
本题需要先求解二元一次方程组得到x、y的值，再计算a+b的值。思路是利用代入消元法，将方程组中第二个方程的y=-3x代入第一个方程，先求出x的值（即a），再求出y的值（即b），最后计算a+b的结果。
【解析】
将$\begin{cases}y = -3x\end{cases}$代入$\begin{cases}5x - 3y = 28\end{cases}$，得：
$5x - 3×(-3x) = 28$
化简得：$5x + 9x = 28$，即$14x = 28$，解得$x = 2$，所以$a = 2$。
将$x = 2$代入$y = -3x$，得$y = -3×2 = -6$，所以$b = -6$。
因此$a + b = 2 + (-6) = -4$。
【答案】
-4
【知识点】
二元一次方程组的解；代入消元法
【点评】
本题考查二元一次方程组的代入消元法，属于基础题型，解题思路清晰，步骤简单，适合巩固二元一次方程组的基础解法。
【难度系数】
0.9
本题需要先求解二元一次方程组得到x、y的值，再计算a+b的值。思路是利用代入消元法，将方程组中第二个方程的y=-3x代入第一个方程，先求出x的值（即a），再求出y的值（即b），最后计算a+b的结果。
【解析】
将$\begin{cases}y = -3x\end{cases}$代入$\begin{cases}5x - 3y = 28\end{cases}$，得：
$5x - 3×(-3x) = 28$
化简得：$5x + 9x = 28$，即$14x = 28$，解得$x = 2$，所以$a = 2$。
将$x = 2$代入$y = -3x$，得$y = -3×2 = -6$，所以$b = -6$。
因此$a + b = 2 + (-6) = -4$。
【答案】
-4
【知识点】
二元一次方程组的解；代入消元法
【点评】
本题考查二元一次方程组的代入消元法，属于基础题型，解题思路清晰，步骤简单，适合巩固二元一次方程组的基础解法。
【难度系数】
0.9
14. 已知$(m-1)x^{|m|}+y^{2n-1}=3$是二元一次方程，则$m+n=$。
答案
0
解析
【分析】首先明确二元一次方程的定义：含有两个未知数，且含未知数的项的次数均为1，同时含未知数的项的系数不能为0（否则会缺失未知数，不符合“二元”要求）。解题时，先根据x项的次数和系数的限制求出m的值，再根据y项的次数要求求出n的值，最后计算m+n。
【解析】因为$(m-1)x^{|m|}+y^{2n-1}=3$是二元一次方程，所以需满足：
1. 对x的项：次数$|m|=1$，且系数$m-1≠0$。
由$|m|=1$得$m=1$或$m=-1$；又$m-1≠0$即$m≠1$，因此$m=-1$。
2. 对y的项：次数$2n-1=1$，解得$2n=2$，即$n=1$。
因此$m+n=-1+1=0$。
【答案】0
【知识点】二元一次方程的定义
【点评】本题考查二元一次方程的定义，核心是牢记“两个未知数、次数为1、系数不为0”三个条件，需特别注意系数不能为0的限制，避免漏解或错解。
【难度系数】0.5
【解析】因为$(m-1)x^{|m|}+y^{2n-1}=3$是二元一次方程，所以需满足：
1. 对x的项：次数$|m|=1$，且系数$m-1≠0$。
由$|m|=1$得$m=1$或$m=-1$；又$m-1≠0$即$m≠1$，因此$m=-1$。
2. 对y的项：次数$2n-1=1$，解得$2n=2$，即$n=1$。
因此$m+n=-1+1=0$。
【答案】0
【知识点】二元一次方程的定义
【点评】本题考查二元一次方程的定义，核心是牢记“两个未知数、次数为1、系数不为0”三个条件，需特别注意系数不能为0的限制，避免漏解或错解。
【难度系数】0.5
15. 已知关于 $ x, y $ 的二元一次方程组 $ \begin{cases} ax - by = 13, \\ cx - y = 4 \end{cases} $ 的解为 $ \begin{cases} x = -5, \\ y = -14, \end{cases} $ 小强因看错了系数 $ c $，得到的解为 $ \begin{cases} x = 5, \\ y = 1, \end{cases} $ 则 $ (a - b - c)^{2023} = \_\_\_\_\_\_ $。
答案
解析:把$\begin{cases} x=-5,\\y=-14 \end{cases}$代入关于x,y的二元一次方程组$\begin{cases} ax-by=13,\\cx-y=4, \end{cases}$得$\begin{cases} -5a+14b=13,①\\-5c+14=4,② \end{cases}$由②得c=2,把$\begin{cases} x=5,\\y=1 \end{cases}$代入ax-by=13,得5a-b=13,③ ①+③,得b=2,把b=2代入③,得a=3,所以$(a-b-c)^{2023}=(3-2-2)^{2023}=(-1)^{2023}=-1$。
解析
【分析】
要解决这个问题，需利用二元一次方程组解的性质：正确解满足原方程组的所有方程，看错系数的解仅满足未看错系数的方程。首先将正确解代入原方程组，求出系数$c$和关于$a$、$b$的一个方程；再将看错$c$得到的解代入不含$c$的方程，得到另一个关于$a$、$b$的方程，联立求解$a$、$b$，最后代入代数式计算结果。
【解析】
解：把正确解$\begin{cases} x=-5 \\ y=-14 \end{cases}$代入原方程组$\begin{cases} ax - by =13 \\ cx - y=4 \end{cases}$，得：
$\begin{cases} -5a +14b=13 \quad ① \\ -5c +14=4 \quad ② \end{cases}$
由方程②解得：$-5c=4-14=-10$，即$c=2$；
小强看错了系数$c$，其解$\begin{cases} x=5 \\ y=1 \end{cases}$仅满足方程$ax - by=13$，代入得：
$5a - b=13 \quad ③$
联立①和③，将③变形为$b=5a -13$，代入①：
$-5a +14(5a -13)=13$
展开得：$-5a +70a -182=13$
合并同类项得：$65a=195$，解得$a=3$；
把$a=3$代入③，得$5×3 - b=13$，即$15 - b=13$，解得$b=2$；
所以$a - b - c=3 -2 -2=-1$，则$(a - b - c)^{2023}=(-1)^{2023}=-1$。
【答案】
-1
【知识点】
二元一次方程组的解、代数式求值
【点评】
本题核心考查二元一次方程组解的定义，关键是明确“看错系数的解仅满足不含该系数的方程”，通过联立方程求解未知系数，步骤清晰，需注意计算的准确性。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，需利用二元一次方程组解的性质：正确解满足原方程组的所有方程，看错系数的解仅满足未看错系数的方程。首先将正确解代入原方程组，求出系数$c$和关于$a$、$b$的一个方程；再将看错$c$得到的解代入不含$c$的方程，得到另一个关于$a$、$b$的方程，联立求解$a$、$b$，最后代入代数式计算结果。
【解析】
解：把正确解$\begin{cases} x=-5 \\ y=-14 \end{cases}$代入原方程组$\begin{cases} ax - by =13 \\ cx - y=4 \end{cases}$，得：
$\begin{cases} -5a +14b=13 \quad ① \\ -5c +14=4 \quad ② \end{cases}$
由方程②解得：$-5c=4-14=-10$，即$c=2$；
小强看错了系数$c$，其解$\begin{cases} x=5 \\ y=1 \end{cases}$仅满足方程$ax - by=13$，代入得：
$5a - b=13 \quad ③$
联立①和③，将③变形为$b=5a -13$，代入①：
$-5a +14(5a -13)=13$
展开得：$-5a +70a -182=13$
合并同类项得：$65a=195$，解得$a=3$；
把$a=3$代入③，得$5×3 - b=13$，即$15 - b=13$，解得$b=2$；
所以$a - b - c=3 -2 -2=-1$，则$(a - b - c)^{2023}=(-1)^{2023}=-1$。
【答案】
-1
【知识点】
二元一次方程组的解、代数式求值
【点评】
本题核心考查二元一次方程组解的定义，关键是明确“看错系数的解仅满足不含该系数的方程”，通过联立方程求解未知系数，步骤清晰，需注意计算的准确性。
【难度系数】
0.6
16.《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳七尺；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余7尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？”如果设木条长$ x $尺，绳子长$ y $尺，则$ x+y=\_\_\_\_\_\_ $尺。
答案
25
解析
【分析】本题是古代数学问题的现代转化，需先根据题意找出两个等量关系，列出二元一次方程组，解出木条和绳子的长度后再计算两者之和。首先，用绳子量木条余7尺，说明绳子长度比木条长7尺；其次，绳子对折后量木条，木条剩余1尺，说明木条长度比对折后的绳子长1尺，据此建立方程组求解。
【解析】设木条长$ x $尺，绳子长$ y $尺，根据题意可得方程组：
$\begin{cases}y - x = 7 \\x - \frac{1}{2}y = 1\end{cases}$
将两个方程相加消去$ x $，得：$ (y - x) + (x - \frac{1}{2}y) = 7 + 1 $，化简得$ \frac{1}{2}y = 8 $，解得$ y = 16 $。
把$ y = 16 $代入$ y - x = 7 $，得$ 16 - x = 7 $，解得$ x = 9 $。
因此$ x + y = 9 + 16 = 25 $。
【答案】25
【知识点】二元一次方程组的应用
【点评】本题核心是从古代数学问题中提取等量关系建立方程组，属于基础应用题，需准确理解“余绳”“对折量木条剩余”的含义，难度不大。
【难度系数】0.6
【解析】设木条长$ x $尺，绳子长$ y $尺，根据题意可得方程组：
$\begin{cases}y - x = 7 \\x - \frac{1}{2}y = 1\end{cases}$
将两个方程相加消去$ x $，得：$ (y - x) + (x - \frac{1}{2}y) = 7 + 1 $，化简得$ \frac{1}{2}y = 8 $，解得$ y = 16 $。
把$ y = 16 $代入$ y - x = 7 $，得$ 16 - x = 7 $，解得$ x = 9 $。
因此$ x + y = 9 + 16 = 25 $。
【答案】25
【知识点】二元一次方程组的应用
【点评】本题核心是从古代数学问题中提取等量关系建立方程组，属于基础应用题，需准确理解“余绳”“对折量木条剩余”的含义，难度不大。
【难度系数】0.6
三、解答题(共56分)
17.(6分)解下列二元一次方程组。
(1)(2024·宁波江北)$\begin{cases}3x - 2y = 2, \\x + 2y = 6;\end{cases}$
(2)(2024·金华
)$\begin{cases}\dfrac{x - y}{3} = \dfrac{x + y}{2}, \\2x - 5y = 15.\end{cases}$
17.(6分)解下列二元一次方程组。
(1)(2024·宁波江北)$\begin{cases}3x - 2y = 2, \\x + 2y = 6;\end{cases}$
(2)(2024·金华
)$\begin{cases}\dfrac{x - y}{3} = \dfrac{x + y}{2}, \\2x - 5y = 15.\end{cases}$答案
(1)$\begin{cases} x=2,\\y=2 \end{cases}$
(2)$\begin{cases} x=5,\\y=-1 \end{cases}$
(2)$\begin{cases} x=5,\\y=-1 \end{cases}$
解析
【分析】
解该二元一次方程组时，首先要把第一个分式形式的方程去分母，转化为整式形式的二元一次方程，再通过加减消元法求解。具体思路：先对第一个方程去分母、化简得到标准二元一次方程，再与第二个方程组成方程组，消去一个未知数求出解，最后代入求另一个未知数的值。
【解析】
解：$\begin{cases}\dfrac{x - y}{3} = \dfrac{x + y}{2} ① \\2x - 5y = 15 ②\end{cases}$
对①式去分母，两边同乘6得：
$2(x - y) = 3(x + y)$
展开并整理：$2x - 2y = 3x + 3y$，移项合并同类项得：$x + 5y = 0$ ③
用② + ③消去$y$：
$(2x - 5y) + (x + 5y) = 15 + 0$
化简得：$3x = 15$，解得$x = 5$
把$x = 5$代入③式：$5 + 5y = 0$，解得$y = -1$
所以方程组的解为$\begin{cases}x = 5 \\y = -1\end{cases}$
【答案】
$\begin{cases} x=5,\\y=-1 \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组、去分母化简、加减消元法
【点评】
本题是二元一次方程组的基础题型，需要先将分式方程转化为整式方程，再用加减消元法求解，关键在于去分母时不要漏乘项，化简时注意移项变号，整体难度不大。
【难度系数】
0.6
解该二元一次方程组时，首先要把第一个分式形式的方程去分母，转化为整式形式的二元一次方程，再通过加减消元法求解。具体思路：先对第一个方程去分母、化简得到标准二元一次方程，再与第二个方程组成方程组，消去一个未知数求出解，最后代入求另一个未知数的值。
【解析】
解：$\begin{cases}\dfrac{x - y}{3} = \dfrac{x + y}{2} ① \\2x - 5y = 15 ②\end{cases}$
对①式去分母，两边同乘6得：
$2(x - y) = 3(x + y)$
展开并整理：$2x - 2y = 3x + 3y$，移项合并同类项得：$x + 5y = 0$ ③
用② + ③消去$y$：
$(2x - 5y) + (x + 5y) = 15 + 0$
化简得：$3x = 15$，解得$x = 5$
把$x = 5$代入③式：$5 + 5y = 0$，解得$y = -1$
所以方程组的解为$\begin{cases}x = 5 \\y = -1\end{cases}$
【答案】
$\begin{cases} x=5,\\y=-1 \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组、去分母化简、加减消元法
【点评】
本题是二元一次方程组的基础题型，需要先将分式方程转化为整式方程，再用加减消元法求解，关键在于去分母时不要漏乘项，化简时注意移项变号，整体难度不大。
【难度系数】
0.6
