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18.(6分)对于有理数,规定新运算:$x※y=ax+by+xy$,其中$a,b$是常数,已知:$2※1=9,(-3)※3=-6$,求$4※6$的值。
答案
50
解析
【分析】
本题是新定义运算的应用，解题思路为：先根据题目给出的新运算规则，将已知的两组运算结果代入规则，得到关于常数$a$、$b$的二元一次方程组；解方程组求出$a$、$b$的值；再将$a$、$b$代入新运算规则，最后计算目标式$4※6$的值。
【解析】
根据新运算规则$x※y = ax + by + xy$，结合已知条件：
1. 当$x=2,y=1$时，$2※1=9$，代入得：
$2a + b + 2×1 = 9$，整理得：$2a + b = 7$ ①
2. 当$x=-3,y=3$时，$(-3)※3=-6$，代入得：
$-3a + 3b + (-3)×3 = -6$，整理得：$-3a + 3b -9 = -6$，即$-a + b = 1$ ②
3. 解方程组$\begin{cases}2a + b =7 \\ -a + b =1 \end{cases}$：
用① - ②，得$3a =6$，解得$a=2$；
将$a=2$代入②，得$-2 + b =1$，解得$b=3$。
4. 确定新运算规则为$x※y =2x +3y +xy$，计算$4※6$：
$4※6 =2×4 +3×6 +4×6 =8 +18 +24 =50$
【答案】
50
【知识点】
新定义运算、二元一次方程组的解法
【点评】
本题属于新定义运算的基础题型，核心是通过代入已知条件建立方程组求解参数，再代入计算目标值，主要考查学生对新运算规则的理解和二元一次方程组的求解能力，是初中数学的常规题型。
【难度系数】
0.6
本题是新定义运算的应用，解题思路为：先根据题目给出的新运算规则，将已知的两组运算结果代入规则，得到关于常数$a$、$b$的二元一次方程组；解方程组求出$a$、$b$的值；再将$a$、$b$代入新运算规则，最后计算目标式$4※6$的值。
【解析】
根据新运算规则$x※y = ax + by + xy$，结合已知条件：
1. 当$x=2,y=1$时，$2※1=9$，代入得：
$2a + b + 2×1 = 9$，整理得：$2a + b = 7$ ①
2. 当$x=-3,y=3$时，$(-3)※3=-6$，代入得：
$-3a + 3b + (-3)×3 = -6$，整理得：$-3a + 3b -9 = -6$，即$-a + b = 1$ ②
3. 解方程组$\begin{cases}2a + b =7 \\ -a + b =1 \end{cases}$：
用① - ②，得$3a =6$，解得$a=2$；
将$a=2$代入②，得$-2 + b =1$，解得$b=3$。
4. 确定新运算规则为$x※y =2x +3y +xy$，计算$4※6$：
$4※6 =2×4 +3×6 +4×6 =8 +18 +24 =50$
【答案】
50
【知识点】
新定义运算、二元一次方程组的解法
【点评】
本题属于新定义运算的基础题型，核心是通过代入已知条件建立方程组求解参数，再代入计算目标值，主要考查学生对新运算规则的理解和二元一次方程组的求解能力，是初中数学的常规题型。
【难度系数】
0.6
19.(6分)先阅读材料,然后解方程组。
材料:解方程组$\begin{cases} x+y-2=0,① \\ 3(x+y)-y=4。② \end{cases}$
由①,得$x+y=2$。③
把③代入②,得$3×2-y=4$,解得$y=2$。
把$y=2$代入③,解得$x=0$。
所以原方程组的解为$\begin{cases} x=0, \\ y=2。 \end{cases}$
这种方法称为“整体代入法”,你若留心观察,有很多方程组可采用此方法解答,请用这种方法解方程组$\begin{cases} 3x-2y-1=0,① \\ \dfrac{6x-4y+3}{6}+y=2。② \end{cases}$
材料:解方程组$\begin{cases} x+y-2=0,① \\ 3(x+y)-y=4。② \end{cases}$
由①,得$x+y=2$。③
把③代入②,得$3×2-y=4$,解得$y=2$。
把$y=2$代入③,解得$x=0$。
所以原方程组的解为$\begin{cases} x=0, \\ y=2。 \end{cases}$
这种方法称为“整体代入法”,你若留心观察,有很多方程组可采用此方法解答,请用这种方法解方程组$\begin{cases} 3x-2y-1=0,① \\ \dfrac{6x-4y+3}{6}+y=2。② \end{cases}$
答案
$\begin{cases} x=\dfrac{10}{9},\\y=\dfrac{7}{6} \end{cases}$
解析
【分析】
观察待解方程组，发现第二个方程中的$6x-4y$是第一个方程中$3x-2y$的2倍，可采用题目介绍的“整体代入法”：先从第一个方程变形得到$3x-2y$的整体值，再将其代入第二个方程简化计算，逐步求出方程组的解。
【解析】
解：由方程①，得：$3x - 2y = 1$ ③
将③代入方程②，因为$6x - 4y = 2(3x - 2y)$，所以方程②可变形为：
$\frac{2(3x - 2y) + 3}{6} + y = 2$
把③代入上式，得：
$\frac{2×1 + 3}{6} + y = 2$
计算得：$\frac{5}{6} + y = 2$
解得：$y = 2 - \frac{5}{6} = \frac{7}{6}$
把$y = \frac{7}{6}$代入③，得：
$3x - 2×\frac{7}{6} = 1$
化简得：$3x - \frac{7}{3} = 1$
移项计算：$3x = 1 + \frac{7}{3} = \frac{10}{3}$
解得：$x = \frac{10}{9}$
所以原方程组的解为$\begin{cases} x=\dfrac{10}{9},\\y=\dfrac{7}{6} \end{cases}$
【答案】
$\begin{cases} x=\dfrac{10}{9},\\y=\dfrac{7}{6} \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组解法、整体代入法
【点评】
本题考查整体代入法解二元一次方程组，核心是观察式子结构特征，找到可整体替换的部分，简化运算，是二元一次方程组的常用解题技巧，能提升解题效率。
【难度系数】
0.6
观察待解方程组，发现第二个方程中的$6x-4y$是第一个方程中$3x-2y$的2倍，可采用题目介绍的“整体代入法”：先从第一个方程变形得到$3x-2y$的整体值，再将其代入第二个方程简化计算，逐步求出方程组的解。
【解析】
解：由方程①，得：$3x - 2y = 1$ ③
将③代入方程②，因为$6x - 4y = 2(3x - 2y)$，所以方程②可变形为：
$\frac{2(3x - 2y) + 3}{6} + y = 2$
把③代入上式，得：
$\frac{2×1 + 3}{6} + y = 2$
计算得：$\frac{5}{6} + y = 2$
解得：$y = 2 - \frac{5}{6} = \frac{7}{6}$
把$y = \frac{7}{6}$代入③，得：
$3x - 2×\frac{7}{6} = 1$
化简得：$3x - \frac{7}{3} = 1$
移项计算：$3x = 1 + \frac{7}{3} = \frac{10}{3}$
解得：$x = \frac{10}{9}$
所以原方程组的解为$\begin{cases} x=\dfrac{10}{9},\\y=\dfrac{7}{6} \end{cases}$
【答案】
$\begin{cases} x=\dfrac{10}{9},\\y=\dfrac{7}{6} \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组解法、整体代入法
【点评】
本题考查整体代入法解二元一次方程组，核心是观察式子结构特征，找到可整体替换的部分，简化运算，是二元一次方程组的常用解题技巧，能提升解题效率。
【难度系数】
0.6
20.(6分)(2024·台州天台)观察以下二元一次方程组与对应的解：
(1)通过归纳未知数系数与解的关系，直接写出第2024个方程组及方程组的解。
(2)将你猜想的解代入方程组检验，并写出过程。
(1)通过归纳未知数系数与解的关系，直接写出第2024个方程组及方程组的解。
(2)将你猜想的解代入方程组检验，并写出过程。
答案
(1)第2024个方程为$\begin{cases} x+2025y=2025,\\2025x+y=2025, \end{cases}$解为$\begin{cases} x=\dfrac{2025}{2026},\\y=\dfrac{2025}{2026} \end{cases}$
(2)检验:把$\begin{cases} x=\dfrac{2025}{2026},\\y=\dfrac{2025}{2026} \end{cases}$代入第一个方程左边得,左边=$\dfrac{2025}{2026}+2025×\dfrac{2025}{2026}=2025=$右边,把$\begin{cases} x=\dfrac{2025}{2026},\\y=\dfrac{2025}{2026} \end{cases}$代入第二个方程左边得,左边=$2025×\dfrac{2025}{2026}+\dfrac{2025}{2026}=$右边,所以$\begin{cases} x=\dfrac{2025}{2026},\\y=\dfrac{2025}{2026} \end{cases}$是方程组的解。
(2)检验:把$\begin{cases} x=\dfrac{2025}{2026},\\y=\dfrac{2025}{2026} \end{cases}$代入第一个方程左边得,左边=$\dfrac{2025}{2026}+2025×\dfrac{2025}{2026}=2025=$右边,把$\begin{cases} x=\dfrac{2025}{2026},\\y=\dfrac{2025}{2026} \end{cases}$代入第二个方程左边得,左边=$2025×\dfrac{2025}{2026}+\dfrac{2025}{2026}=$右边,所以$\begin{cases} x=\dfrac{2025}{2026},\\y=\dfrac{2025}{2026} \end{cases}$是方程组的解。
解析
【分析】
观察前几个二元一次方程组及其解，归纳出未知数系数、常数项与解的规律：第n个方程组的两个方程分别为$x+(n+1)y=n+1$和$(n+1)x+y=n+1$，对应解为$x=\frac{n+1}{n+2}$，$y=\frac{n+1}{n+2}$。将$n=2024$代入规律，即可得到第2024个方程组及其解，再将解代入方程组验证是否成立。
【解析】
(1) 归纳规律：
第1个方程组（$n=1$）：$\begin{cases}x+2y=2 \\2x+y=2 \end{cases}$，解为$\begin{cases}x=\frac{2}{3} \\y=\frac{2}{3} \end{cases}$；
第2个方程组（$n=2$）：$\begin{cases}x+3y=3 \\3x+y=3 \end{cases}$，解为$\begin{cases}x=\frac{3}{4} \\y=\frac{3}{4} \end{cases}$；
第3个方程组（$n=3$）：$\begin{cases}x+4y=4 \\4x+y=4 \end{cases}$，解为$\begin{cases}x=\frac{4}{5} \\y=\frac{4}{5} \end{cases}$；
由此得：第$n$个方程组为$\begin{cases}x+(n+1)y=n+1 \\(n+1)x+y=n+1 \end{cases}$，解为$\begin{cases}x=\frac{n+1}{n+2} \\y=\frac{n+1}{n+2} \end{cases}$。
当$n=2024$时，$n+1=2025$，$n+2=2026$，故第2024个方程组为$\begin{cases}x+2025y=2025 \\2025x+y=2025 \end{cases}$，解为$\begin{cases}x=\frac{2025}{2026} \\y=\frac{2025}{2026} \end{cases}$。
(2) 检验：把$\begin{cases}x=\frac{2025}{2026} \\y=\frac{2025}{2026} \end{cases}$代入第一个方程左边：
左边$=\frac{2025}{2026}+2025×\frac{2025}{2026}=\frac{2025+2025^2}{2026}=\frac{2025×(1+2025)}{2026}=\frac{2025×2026}{2026}=2025=$右边；
代入第二个方程左边：
左边$=2025×\frac{2025}{2026}+\frac{2025}{2026}=\frac{2025^2+2025}{2026}=\frac{2025×(2025+1)}{2026}=\frac{2025×2026}{2026}=2025=$右边；
因此该解是方程组的解。
【答案】
(1) 第2024个方程组为$\begin{cases} x+2025y=2025,\\2025x+y=2025 \end{cases}$，解为$\begin{cases} x=\dfrac{2025}{2026},\\y=\dfrac{2025}{2026} \end{cases}$；(2) 检验成立，该解是方程组的解。
【知识点】
二元一次方程组的解、找规律
【点评】
本题通过观察已知方程组及其解的特征归纳一般规律，再应用规律解决问题，同时考查方程组解的检验方法，重点在于规律的归纳与应用，是基础的规律探究题。
【难度系数】
0.5
观察前几个二元一次方程组及其解，归纳出未知数系数、常数项与解的规律：第n个方程组的两个方程分别为$x+(n+1)y=n+1$和$(n+1)x+y=n+1$，对应解为$x=\frac{n+1}{n+2}$，$y=\frac{n+1}{n+2}$。将$n=2024$代入规律，即可得到第2024个方程组及其解，再将解代入方程组验证是否成立。
【解析】
(1) 归纳规律：
第1个方程组（$n=1$）：$\begin{cases}x+2y=2 \\2x+y=2 \end{cases}$，解为$\begin{cases}x=\frac{2}{3} \\y=\frac{2}{3} \end{cases}$；
第2个方程组（$n=2$）：$\begin{cases}x+3y=3 \\3x+y=3 \end{cases}$，解为$\begin{cases}x=\frac{3}{4} \\y=\frac{3}{4} \end{cases}$；
第3个方程组（$n=3$）：$\begin{cases}x+4y=4 \\4x+y=4 \end{cases}$，解为$\begin{cases}x=\frac{4}{5} \\y=\frac{4}{5} \end{cases}$；
由此得：第$n$个方程组为$\begin{cases}x+(n+1)y=n+1 \\(n+1)x+y=n+1 \end{cases}$，解为$\begin{cases}x=\frac{n+1}{n+2} \\y=\frac{n+1}{n+2} \end{cases}$。
当$n=2024$时，$n+1=2025$，$n+2=2026$，故第2024个方程组为$\begin{cases}x+2025y=2025 \\2025x+y=2025 \end{cases}$，解为$\begin{cases}x=\frac{2025}{2026} \\y=\frac{2025}{2026} \end{cases}$。
(2) 检验：把$\begin{cases}x=\frac{2025}{2026} \\y=\frac{2025}{2026} \end{cases}$代入第一个方程左边：
左边$=\frac{2025}{2026}+2025×\frac{2025}{2026}=\frac{2025+2025^2}{2026}=\frac{2025×(1+2025)}{2026}=\frac{2025×2026}{2026}=2025=$右边；
代入第二个方程左边：
左边$=2025×\frac{2025}{2026}+\frac{2025}{2026}=\frac{2025^2+2025}{2026}=\frac{2025×(2025+1)}{2026}=\frac{2025×2026}{2026}=2025=$右边；
因此该解是方程组的解。
【答案】
(1) 第2024个方程组为$\begin{cases} x+2025y=2025,\\2025x+y=2025 \end{cases}$，解为$\begin{cases} x=\dfrac{2025}{2026},\\y=\dfrac{2025}{2026} \end{cases}$；(2) 检验成立，该解是方程组的解。
【知识点】
二元一次方程组的解、找规律
【点评】
本题通过观察已知方程组及其解的特征归纳一般规律，再应用规律解决问题，同时考查方程组解的检验方法，重点在于规律的归纳与应用，是基础的规律探究题。
【难度系数】
0.5
