21.(8分)嘉嘉和淇淇同解一个关于$x,y$的二元一次方程组
$\begin{cases}mx+ny=14,① \\nx+my=2。②\end{cases}$
嘉嘉把方程①抄错，求得方程组的解为$\begin{cases}x=-1, \\y=3,\end{cases}$淇淇把方程②抄错，求得方程组的解为$\begin{cases}x=3, \\y=2。\end{cases}$
(1)求$m$和$n$的值。
(2)求方程组的正确的解。

(1)因为嘉嘉把方程①抄错,求得解为$\begin{cases} x=-1,\\y=3, \end{cases}$所以$\begin{cases} x=-1,\\y=3 \end{cases}$满足方程②,即3m-n=2;又因为淇淇把方程②抄错,求得的解为$\begin{cases} x=3,\\y=2, \end{cases}$所以$\begin{cases} x=3,\\y=2 \end{cases}$满足方程①,即3m+2n=14;因此有$\begin{cases} 3m-n=2,\\3m+2n=14, \end{cases}$解得$\begin{cases} m=2,\\n=4 \end{cases}$。
(2)所以原方程组可变为$\begin{cases} 2x+4y=14,\\4x+2y=2, \end{cases}$即$\begin{cases} x+2y=7,①\\2x+y=1,② \end{cases}$ ①×2-②,得3y=13,解得$y=\dfrac{13}{3}$,把$y=\dfrac{13}{3}$代入①,得$x+\dfrac{13}{3}×2=7$,解得$x=-\dfrac{5}{3}$,所以原方程组的正确的解为$\begin{cases} x=-\dfrac{5}{3},\\y=\dfrac{13}{3} \end{cases}$。

【分析】要解决该问题，核心是利用“抄错方程的解满足未抄错的方程”这一性质：嘉嘉抄错方程①，其解满足未抄错的方程②；淇淇抄错方程②，其解满足未抄错的方程①。据此先求出参数m、n的值，再代入原方程组求解正确解。
【解析】
(1) 嘉嘉抄错方程①，解$\begin{cases}x=-1 \\ y=3\end{cases}$满足方程②，代入得：$3m - n = 2$；
淇淇抄错方程②，解$\begin{cases}x=3 \\ y=2\end{cases}$满足方程①，代入得：$3m + 2n =14$；
联立方程组$\begin{cases}3m -n=2 \\3m +2n=14\end{cases}$，用减法消元：两式相减得$3n=12$，解得$n=4$；将$n=4$代入$3m -n=2$，得$m=2$。
(2) 将$m=2$，$n=4$代入原方程组，化简得$\begin{cases}x +2y=7 ① \\2x + y=1 ②\end{cases}$；
①×2 -②得：$3y=13$，解得$y=\frac{13}{3}$；
把$y=\frac{13}{3}$代入①，得$x +2×\frac{13}{3}=7$，解得$x=-\frac{5}{3}$。
【答案】(1)$m=2$，$n=4$；(2)$\begin{cases}x=-\dfrac{5}{3} \\ y=\dfrac{13}{3}\end{cases}$
【知识点】二元一次方程组的解，解二元一次方程组
【点评】本题考查二元一次方程组解的性质与消元法解方程组，关键是理解抄错方程时解的对应关系，属于基础题型，需熟练掌握消元法的应用。
【难度系数】0.6

22.(10分)(2024·宁波余姚)如图,某校的饮水机有温水、开水两个按钮,温水和开水共用一个出水口。温水的温度为$30°\mathrm{C}$,流速为$20\mathrm{mL/s}$;开水的温度为$100°\mathrm{C}$,流速为$15\mathrm{mL/s}$。整个接水的过程不计热量损失。
物理常识:开水和温水混合时会发生热传递,开水放出的热量等于温水吸收的热量,可以转化为:开水的体积×开水降低的温度=温水的体积×温水升高的温度。
(1)甲同学用空杯先接了6s温水,再接4s开水,接完后杯中共有水$\_\_\_\_\_\_\mathrm{mL}$。
(2)乙同学先接了一会儿温水,又接了一会儿开水,得到一杯280mL温度为$40°\mathrm{C}$的水(不计热损失),求乙同学分别接温水和开水的时间。

(1)甲同学用空杯先接了6s温水,再接4s开水,接完后杯中共有水:20×6+4×15=180(mL)。故答案为180。
(2)设该学生接温水的时间为xs,接开水的时间为ys。根据题意可得方程组$\begin{cases} 20x+15y=280,\\15y×60=20x×10, \end{cases}$解得$\begin{cases} x=12,\\y=\dfrac{8}{3} \end{cases}$。
答:学生接温水的时间为12s,接开水的时间为$\dfrac{8}{3}$s。

【分析】
第(1)问：总水量等于接温水的体积与接开水的体积之和，体积可通过“流速×时间”计算，直接代入数值求和即可。第(2)问：需找到两个等量关系，一是温水体积加开水体积等于总容积280mL，二是热传递中开水放出的热量等于温水吸收的热量，根据题目给出的热量转化公式列方程，联立方程组求解两个时间。
【解析】
(1) 接温水的体积：$V_温 = 20\mathrm{mL/s} × 6\mathrm{s} = 120\mathrm{mL}$，接开水的体积：$V_开 =15\mathrm{mL/s} ×4\mathrm{s}=60\mathrm{mL}$，总水量：$120+60=180\mathrm{mL}$。
(2) 设接温水的时间为$x\mathrm{s}$，接开水的时间为$y\mathrm{s}$。
根据总体积关系：$20x +15y =280$；
根据热传递的热量关系：开水降低的温度为$100°\mathrm{C}-40°\mathrm{C}=60°\mathrm{C}$，温水升高的温度为$40°\mathrm{C}-30°\mathrm{C}=10°\mathrm{C}$，因此$15y ×60 =20x ×10$，化简得$9y=2x$，即$x=\frac{9}{2}y$。
将$x=\frac{9}{2}y$代入总体积方程：$20×\frac{9}{2}y +15y=280$，解得$y=\frac{8}{3}$，则$x=\frac{9}{2}×\frac{8}{3}=12$。
【答案】
(1)180；(2)接温水的时间为12s，接开水的时间为$\frac{8}{3}\mathrm{s}$
【知识点】
体积计算，热传递热量关系，二元一次方程组应用
【点评】
本题结合实际接水场景，将物理热传递知识与数学方程应用结合，需要准确提取等量关系，难度适中，考察学生的综合应用能力。
【难度系数】
0.6