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1.(2025·淮阴区期末)用配方法解方程$x^{2}-2x=0$时，配方后所得的方程是（
A.$(x+1)^{2}=1$
B.$(x-1)^{2}=1$
C.$(x-1)^{2}=-1$
D.$(x+1)^{2}=-1$
B
）A.$(x+1)^{2}=1$
B.$(x-1)^{2}=1$
C.$(x-1)^{2}=-1$
D.$(x+1)^{2}=-1$
答案
1. B
解析
【分析】
这道题考察配方法解一元二次方程，首先明确当二次项系数为1时，配方的核心操作是：在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，把左侧变形为完全平方式。首先观察原方程$x^2-2x=0$，它的二次项系数已经是1，一次项系数是-2，先计算一次项系数一半的平方：$(\frac{-2}{2})^2=1$，接着在方程左右两边同时加1，左侧就可以凑成完全平方，右侧计算常数项的和，就能得到配方后的方程，再对应选项选出正确答案。
【解析】
解：对于方程$x^2 - 2x = 0$，
1. 确定一次项系数为$-2$，计算一次项系数一半的平方：$(\frac{-2}{2})^2 = 1$；
2. 在方程两边同时加上1，得：
$x^2 - 2x + 1 = 0 + 1$；
3. 左侧根据完全平方公式变形，可得：
$(x-1)^2 = 1$。
因此配方后所得的方程是$(x-1)^2 = 1$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】
本题属于配方法的基础题型，重点考察二次项系数为1时的配方操作，易错点是忽略一次项的负号，误将完全平方式写为$(x+1)^2$错选A，解题时要注意完全平方式的中间项和原方程一次项的符号对应关系。
【难度系数】
0.9
这道题考察配方法解一元二次方程，首先明确当二次项系数为1时，配方的核心操作是：在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，把左侧变形为完全平方式。首先观察原方程$x^2-2x=0$，它的二次项系数已经是1，一次项系数是-2，先计算一次项系数一半的平方：$(\frac{-2}{2})^2=1$，接着在方程左右两边同时加1，左侧就可以凑成完全平方，右侧计算常数项的和，就能得到配方后的方程，再对应选项选出正确答案。
【解析】
解：对于方程$x^2 - 2x = 0$，
1. 确定一次项系数为$-2$，计算一次项系数一半的平方：$(\frac{-2}{2})^2 = 1$；
2. 在方程两边同时加上1，得：
$x^2 - 2x + 1 = 0 + 1$；
3. 左侧根据完全平方公式变形，可得：
$(x-1)^2 = 1$。
因此配方后所得的方程是$(x-1)^2 = 1$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】
本题属于配方法的基础题型，重点考察二次项系数为1时的配方操作，易错点是忽略一次项的负号，误将完全平方式写为$(x+1)^2$错选A，解题时要注意完全平方式的中间项和原方程一次项的符号对应关系。
【难度系数】
0.9
2. 要使方程 $x^{2}-\dfrac{7}{2}x=-\dfrac{3}{2}$ 的左边配方成完全平方式,在方程两边应该都加上（
A.$(\dfrac{7}{2})^{2}$
B.$7^{2}$
C.$\dfrac{3}{2}$
D.$(\dfrac{7}{4})^{2}$
D
）A.$(\dfrac{7}{2})^{2}$
B.$7^{2}$
C.$\dfrac{3}{2}$
D.$(\dfrac{7}{4})^{2}$
答案
2. D
解析
【分析】
这道题考察配方法的核心操作，我们可以按照以下思路思考：首先明确配方法的规则，当一元二次方程的二次项系数为1时，要将仅含二次项和一次项的左侧式子配成完全平方式，需要添加的项是「一次项系数一半的平方」。首先观察题目给出的方程，左侧已经是$x^2-\frac{7}{2}x$，二次项系数为1，直接提取一次项的系数$-\frac{7}{2}$，先计算它的一半，再对结果取平方，就能得到需要在方程两边添加的项，对应选项选出答案即可。
【解析】
解：对于二次项系数为1的多项式$x^2 + px$，配方成完全平方式需要添加的常数项为$(\frac{p}{2})^2$。
本题中方程左侧为$x^2-\frac{7}{2}x$，对应的一次项系数$p=-\frac{7}{2}$，代入规则可得需要添加的项为：
$(\frac{p}{2})^2 = (\frac{-\frac{7}{2}}{2})^2 = (-\frac{7}{4})^2 = (\frac{7}{4})^2$
因此在方程两边应该都加上$(\frac{7}{4})^2$，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】
本题属于配方法的基础题型，核心是牢记二次项系数为1时配方的操作规则，易错点是容易忽略要先将一次项系数除以2再平方，直接对一次项系数本身平方导致错选A，解题时严格按照配方的步骤计算即可避免出错。
【难度系数】
0.8
这道题考察配方法的核心操作，我们可以按照以下思路思考：首先明确配方法的规则，当一元二次方程的二次项系数为1时，要将仅含二次项和一次项的左侧式子配成完全平方式，需要添加的项是「一次项系数一半的平方」。首先观察题目给出的方程，左侧已经是$x^2-\frac{7}{2}x$，二次项系数为1，直接提取一次项的系数$-\frac{7}{2}$，先计算它的一半，再对结果取平方，就能得到需要在方程两边添加的项，对应选项选出答案即可。
【解析】
解：对于二次项系数为1的多项式$x^2 + px$，配方成完全平方式需要添加的常数项为$(\frac{p}{2})^2$。
本题中方程左侧为$x^2-\frac{7}{2}x$，对应的一次项系数$p=-\frac{7}{2}$，代入规则可得需要添加的项为：
$(\frac{p}{2})^2 = (\frac{-\frac{7}{2}}{2})^2 = (-\frac{7}{4})^2 = (\frac{7}{4})^2$
因此在方程两边应该都加上$(\frac{7}{4})^2$，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】
本题属于配方法的基础题型，核心是牢记二次项系数为1时配方的操作规则，易错点是容易忽略要先将一次项系数除以2再平方，直接对一次项系数本身平方导致错选A，解题时严格按照配方的步骤计算即可避免出错。
【难度系数】
0.8
3. 在横线上填上适当的数，使下列等式成立：
(1)$x^{2}+4x+\_\_\_\_\_\_=(x+\_\_\_\_\_\_)^{2}$；(2)$x^{2}-\dfrac{4}{3}x+\_\_\_\_\_\_=(x-\_\_\_\_\_\_)^{2}$；
(3)$x^{2}-2x-3=(x-\_\_\_\_\_\_)^{2}+(\_\_\_\_\_\_).$
(1)$x^{2}+4x+\_\_\_\_\_\_=(x+\_\_\_\_\_\_)^{2}$；(2)$x^{2}-\dfrac{4}{3}x+\_\_\_\_\_\_=(x-\_\_\_\_\_\_)^{2}$；
(3)$x^{2}-2x-3=(x-\_\_\_\_\_\_)^{2}+(\_\_\_\_\_\_).$
答案
3. (1)4 2 (2)$\dfrac{4}{9}$ $\dfrac{2}{3}$ (3)1 $-4$
解析
【分析】
这道题考查配方法的应用，核心是完全平方公式的变形。对于二次项系数为1的二次三项式$x^2+px$，我们只需要加上一次项系数p的一半的平方，也就是$(\frac{p}{2})^2$，就可以将原式配成完全平方式$(x+\frac{p}{2})^2$。解题时逐个分析三个小题：第(1)(2)题直接套用这个规则计算对应的常数项和括号内的数即可；第(3)题需要先对含x的部分配方，再调整剩余的常数项，得到指定形式的式子。
【解析】
(1) 对于$x^2+4x$，一次项系数是4，它的一半为$\frac{4}{2}=2$，一半的平方为$2^2=4$，因此$x^2+4x+4=(x+2)^2$，两个空依次填4、2。
(2) 对于$x^2-\frac{4}{3}x$，一次项系数是$-\frac{4}{3}$，它的一半为$\frac{1}{2}×(-\frac{4}{3})=-\frac{2}{3}$，一半的平方为$(-\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}$，因此$x^2-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=(x-\frac{2}{3})^2$，两个空依次填$\frac{4}{9}$、$\frac{2}{3}$。
(3) 对式子$x^2-2x-3$变形配方：
先给含x的部分凑完全平方：$x^2-2x-3=(x^2-2x+1)-1-3$，
整理得：$(x-1)^2 -4$，因此两个空依次填1、-4。
【答案】
(1)4；2 (2)$\dfrac{4}{9}$；$\dfrac{2}{3}$ (3)1；$-4$
【知识点】
完全平方公式；配方法
【点评】
本题是配方法的基础入门习题，核心规则是“二次项系数为1时，配方加一次项系数一半的平方”，是后续学习解一元二次方程、推导二次函数顶点式的重要基础，需要熟练掌握配方的操作逻辑，避免计算分数时出现错误。
【难度系数】
0.8
这道题考查配方法的应用，核心是完全平方公式的变形。对于二次项系数为1的二次三项式$x^2+px$，我们只需要加上一次项系数p的一半的平方，也就是$(\frac{p}{2})^2$，就可以将原式配成完全平方式$(x+\frac{p}{2})^2$。解题时逐个分析三个小题：第(1)(2)题直接套用这个规则计算对应的常数项和括号内的数即可；第(3)题需要先对含x的部分配方，再调整剩余的常数项，得到指定形式的式子。
【解析】
(1) 对于$x^2+4x$，一次项系数是4，它的一半为$\frac{4}{2}=2$，一半的平方为$2^2=4$，因此$x^2+4x+4=(x+2)^2$，两个空依次填4、2。
(2) 对于$x^2-\frac{4}{3}x$，一次项系数是$-\frac{4}{3}$，它的一半为$\frac{1}{2}×(-\frac{4}{3})=-\frac{2}{3}$，一半的平方为$(-\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}$，因此$x^2-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=(x-\frac{2}{3})^2$，两个空依次填$\frac{4}{9}$、$\frac{2}{3}$。
(3) 对式子$x^2-2x-3$变形配方：
先给含x的部分凑完全平方：$x^2-2x-3=(x^2-2x+1)-1-3$，
整理得：$(x-1)^2 -4$，因此两个空依次填1、-4。
【答案】
(1)4；2 (2)$\dfrac{4}{9}$；$\dfrac{2}{3}$ (3)1；$-4$
【知识点】
完全平方公式；配方法
【点评】
本题是配方法的基础入门习题，核心规则是“二次项系数为1时，配方加一次项系数一半的平方”，是后续学习解一元二次方程、推导二次函数顶点式的重要基础，需要熟练掌握配方的操作逻辑，避免计算分数时出现错误。
【难度系数】
0.8
4. 若方程 $x^{2}+kx+81=0$ 的左边是一个完全平方式,则 $k=$
$\pm 18$
.答案
4. $\pm 18$
解析
【分析】
我们首先要明确完全平方式的结构特征：一个二次三项式如果是完全平方式，一定可以写成$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$的形式。首先观察题干给出的式子$x^2+kx+81$，首项是$x^2$，对应完全平方公式里的$a^2$，末项81是9的平方，对应公式里的$b^2$，因此可以确定a=x，b=9，接下来对应公式的中间项$\pm2ab$，就能得到kx的对应表达式，进而求出k的值，这里要注意完全平方有“和的平方”与“差的平方”两种情况，不能只取正的结果漏掉负的情况。
【解析】
解：根据完全平方公式的结构：
$(a\pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$
将题干中的二次式$x^2+kx+81$和上述公式对比：
可得$a=x$，$b^2=81$，即$b=9$，
因此二次式的中间项满足：
$kx = \pm 2ab = \pm 2· x · 9 = \pm18x$
根据多项式对应项系数相等，可得$k=\pm18$。
【答案】$\pm 18$
【知识点】完全平方公式，完全平方式
【点评】本题属于完全平方式的基础考察，易错点是容易忽略完全平方包含和的平方、差的平方两种形式，只得出k=18的错误结果，解题时要注意完全平方式的一次项系数存在正负两种可能。
【难度系数】0.7
我们首先要明确完全平方式的结构特征：一个二次三项式如果是完全平方式，一定可以写成$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$的形式。首先观察题干给出的式子$x^2+kx+81$，首项是$x^2$，对应完全平方公式里的$a^2$，末项81是9的平方，对应公式里的$b^2$，因此可以确定a=x，b=9，接下来对应公式的中间项$\pm2ab$，就能得到kx的对应表达式，进而求出k的值，这里要注意完全平方有“和的平方”与“差的平方”两种情况，不能只取正的结果漏掉负的情况。
【解析】
解：根据完全平方公式的结构：
$(a\pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$
将题干中的二次式$x^2+kx+81$和上述公式对比：
可得$a=x$，$b^2=81$，即$b=9$，
因此二次式的中间项满足：
$kx = \pm 2ab = \pm 2· x · 9 = \pm18x$
根据多项式对应项系数相等，可得$k=\pm18$。
【答案】$\pm 18$
【知识点】完全平方公式，完全平方式
【点评】本题属于完全平方式的基础考察，易错点是容易忽略完全平方包含和的平方、差的平方两种形式，只得出k=18的错误结果，解题时要注意完全平方式的一次项系数存在正负两种可能。
【难度系数】0.7
5. 用配方法解下列方程：
(1)$x^{2}+4x-1=0$；
(2)$x^{2}-\dfrac{5}{2}x+1=0$；
(3)$x^{2}-6x-9=0$；
(4)$x^{2}-2\sqrt{3}x+2=0$。
(1)$x^{2}+4x-1=0$；
(2)$x^{2}-\dfrac{5}{2}x+1=0$；
(3)$x^{2}-6x-9=0$；
(4)$x^{2}-2\sqrt{3}x+2=0$。
答案
5. (1)$x_1=-2+\sqrt{5}$,$x_2=-2-\sqrt{5}$
(2)$x_1=2$,$x_2=\dfrac{1}{2}$
(3)$x_1=3+3\sqrt{2}$,$x_2=3-3\sqrt{2}$
(4)$x_1=\sqrt{3}+1$,$x_2=\sqrt{3}-1$
(2)$x_1=2$,$x_2=\dfrac{1}{2}$
(3)$x_1=3+3\sqrt{2}$,$x_2=3-3\sqrt{2}$
(4)$x_1=\sqrt{3}+1$,$x_2=\sqrt{3}-1$
解析
【分析】
配方法解二次项系数为1的一元二次方程有固定的清晰思路：第一步先移项，把常数项移到等号右侧，让等号左边仅保留含未知数的二次项和一次项；第二步进行配方，在等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，把左侧变形为完全平方式，右侧合并计算常数项；第三步对完全平方式直接开平方，转化为两个一元一次方程求解，就能得到原方程的根。本题的4个方程二次项系数均为1，直接按照上述标准配方法步骤依次求解即可。
【解析】
我们逐个按照配方法标准步骤求解：
(1) 解方程$x^{2}+4x-1=0$
移项，得：$x^2 + 4x = 1$
配方，两边同时加上一次项系数4的一半的平方$2^2=4$：
$x^2 +4x +4 = 1 +4$
左侧整理为完全平方式：$(x+2)^2 = 5$
直接开平方：$x+2 = \pm\sqrt{5}$
解得：$x_1=-2+\sqrt{5}$，$x_2=-2-\sqrt{5}$
(2) 解方程$x^{2}-\dfrac{5}{2}x+1=0$
移项，得：$x^2 - \dfrac{5}{2}x = -1$
配方，两边同时加上一次项系数$-\dfrac{5}{2}$的一半的平方$(-\dfrac{5}{4})^2=\dfrac{25}{16}$：
$x^2 - \dfrac{5}{2}x + \dfrac{25}{16} = -1 + \dfrac{25}{16}$
左侧整理为完全平方式：$(x-\dfrac{5}{4})^2 = \dfrac{9}{16}$
直接开平方：$x-\dfrac{5}{4} = \pm\dfrac{3}{4}$
解得：$x_1=\dfrac{5}{4}+\dfrac{3}{4}=2$，$x_2=\dfrac{5}{4}-\dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{2}$
(3) 解方程$x^{2}-6x-9=0$
移项，得：$x^2 -6x =9$
配方，两边同时加上一次项系数-6的一半的平方$(-3)^2=9$：
$x^2 -6x +9 =9+9$
左侧整理为完全平方式：$(x-3)^2=18$
直接开平方：$x-3=\pm3\sqrt{2}$
解得：$x_1=3+3\sqrt{2}$，$x_2=3-3\sqrt{2}$
(4) 解方程$x^{2}-2\sqrt{3}x+2=0$
移项，得：$x^2 -2\sqrt{3}x = -2$
配方，两边同时加上一次项系数$-2\sqrt{3}$的一半的平方$(-\sqrt{3})^2=3$：
$x^2 -2\sqrt{3}x +3 = -2 +3$
左侧整理为完全平方式：$(x-\sqrt{3})^2=1$
直接开平方：$x-\sqrt{3}=\pm1$
解得：$x_1=\sqrt{3}+1$，$x_2=\sqrt{3}-1$
【答案】
(1)$x_1=-2+\sqrt{5}$,$x_2=-2-\sqrt{5}$
(2)$x_1=2$,$x_2=\dfrac{1}{2}$
(3)$x_1=3+3\sqrt{2}$,$x_2=3-3\sqrt{2}$
(4)$x_1=\sqrt{3}+1$,$x_2=\sqrt{3}-1$
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式，直接开平方法
【点评】
本题是配方法的基础训练题，覆盖了整数系数、分数系数、含无理数系数的不同场景，所有方程二次项系数均为1，重点考察配方法的核心操作步骤，练习时要注意准确计算一次项系数一半的平方，避免符号和运算错误，为后续二次项系数不为1的配方法求解打牢基础。
【难度系数】
0.7
配方法解二次项系数为1的一元二次方程有固定的清晰思路：第一步先移项，把常数项移到等号右侧，让等号左边仅保留含未知数的二次项和一次项；第二步进行配方，在等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，把左侧变形为完全平方式，右侧合并计算常数项；第三步对完全平方式直接开平方，转化为两个一元一次方程求解，就能得到原方程的根。本题的4个方程二次项系数均为1，直接按照上述标准配方法步骤依次求解即可。
【解析】
我们逐个按照配方法标准步骤求解：
(1) 解方程$x^{2}+4x-1=0$
移项，得：$x^2 + 4x = 1$
配方，两边同时加上一次项系数4的一半的平方$2^2=4$：
$x^2 +4x +4 = 1 +4$
左侧整理为完全平方式：$(x+2)^2 = 5$
直接开平方：$x+2 = \pm\sqrt{5}$
解得：$x_1=-2+\sqrt{5}$，$x_2=-2-\sqrt{5}$
(2) 解方程$x^{2}-\dfrac{5}{2}x+1=0$
移项，得：$x^2 - \dfrac{5}{2}x = -1$
配方，两边同时加上一次项系数$-\dfrac{5}{2}$的一半的平方$(-\dfrac{5}{4})^2=\dfrac{25}{16}$：
$x^2 - \dfrac{5}{2}x + \dfrac{25}{16} = -1 + \dfrac{25}{16}$
左侧整理为完全平方式：$(x-\dfrac{5}{4})^2 = \dfrac{9}{16}$
直接开平方：$x-\dfrac{5}{4} = \pm\dfrac{3}{4}$
解得：$x_1=\dfrac{5}{4}+\dfrac{3}{4}=2$，$x_2=\dfrac{5}{4}-\dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{2}$
(3) 解方程$x^{2}-6x-9=0$
移项，得：$x^2 -6x =9$
配方，两边同时加上一次项系数-6的一半的平方$(-3)^2=9$：
$x^2 -6x +9 =9+9$
左侧整理为完全平方式：$(x-3)^2=18$
直接开平方：$x-3=\pm3\sqrt{2}$
解得：$x_1=3+3\sqrt{2}$，$x_2=3-3\sqrt{2}$
(4) 解方程$x^{2}-2\sqrt{3}x+2=0$
移项，得：$x^2 -2\sqrt{3}x = -2$
配方，两边同时加上一次项系数$-2\sqrt{3}$的一半的平方$(-\sqrt{3})^2=3$：
$x^2 -2\sqrt{3}x +3 = -2 +3$
左侧整理为完全平方式：$(x-\sqrt{3})^2=1$
直接开平方：$x-\sqrt{3}=\pm1$
解得：$x_1=\sqrt{3}+1$，$x_2=\sqrt{3}-1$
【答案】
(1)$x_1=-2+\sqrt{5}$,$x_2=-2-\sqrt{5}$
(2)$x_1=2$,$x_2=\dfrac{1}{2}$
(3)$x_1=3+3\sqrt{2}$,$x_2=3-3\sqrt{2}$
(4)$x_1=\sqrt{3}+1$,$x_2=\sqrt{3}-1$
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式，直接开平方法
【点评】
本题是配方法的基础训练题，覆盖了整数系数、分数系数、含无理数系数的不同场景，所有方程二次项系数均为1，重点考察配方法的核心操作步骤，练习时要注意准确计算一次项系数一半的平方，避免符号和运算错误，为后续二次项系数不为1的配方法求解打牢基础。
【难度系数】
0.7
6. 若一元二次方程 $x^2 - 2x - 99 = 0$ 的两根分别为 $a,b$, 求 $2a - b$ 的值.
答案
6. 解:$\because x^2-2x-99=0$,$\therefore (x-1)^2=100$,
$\therefore x=11$或$x=-9$.
当$a=11$,$b=-9$时,$2a-b=22-(-9)=31$;
当$a=-9$,$b=11$时,$2a-b=-18-11=-29$.
故$2a-b$的值为31或$-29$.
$\therefore x=11$或$x=-9$.
当$a=11$,$b=-9$时,$2a-b=22-(-9)=31$;
当$a=-9$,$b=11$时,$2a-b=-18-11=-29$.
故$2a-b$的值为31或$-29$.
解析
【分析】
这道题的核心思路是先求出一元二次方程的两个根，再结合题目没有限定a、b分别对应哪一个根的条件，分情况代入计算即可。首先观察方程$x^2-2x-99=0$，系数特征很适合用配方法快速求解，得到两个明确的根之后，由于a和b是方程的任意两根，没有指定对应关系，因此要把两种配对情况都分别代入$2a-b$计算，避免漏解。
【解析】
第一步：求解一元二次方程$x^2-2x-99=0$
对等式移项得：$x^2 - 2x = 99$，
等式两边同时加1凑完全平方：$x^2 - 2x +1 = 99 +1$，
整理得：$(x-1)^2 = 100$，
开平方得：$x-1 = \pm10$，
解得方程的两个根为：$x_1=11$，$x_2=-9$。
第二步：分情况讨论计算$2a-b$的值
已知a、b是方程的两个根，无指定对应关系，因此分两种情况：
① 当$a=11$，$b=-9$时：
$2a - b = 2×11 - (-9) = 22 +9 = 31$；
② 当$a=-9$，$b=11$时：
$2a - b = 2×(-9) -11 = -18 -11 = -29$。
【答案】
31或-29
【知识点】
配方法解一元二次方程、分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是很多同学会默认a是较大的根、b是较小的根，只计算出一个结果，忽略题目没有对两根的对应关系做限定的前提，导致漏解。解题时要注意审题，明确条件的开放性，把所有可能的情况都覆盖到，才能得到完整的正确结果。
【难度系数】
0.6
这道题的核心思路是先求出一元二次方程的两个根，再结合题目没有限定a、b分别对应哪一个根的条件，分情况代入计算即可。首先观察方程$x^2-2x-99=0$，系数特征很适合用配方法快速求解，得到两个明确的根之后，由于a和b是方程的任意两根，没有指定对应关系，因此要把两种配对情况都分别代入$2a-b$计算，避免漏解。
【解析】
第一步：求解一元二次方程$x^2-2x-99=0$
对等式移项得：$x^2 - 2x = 99$，
等式两边同时加1凑完全平方：$x^2 - 2x +1 = 99 +1$，
整理得：$(x-1)^2 = 100$，
开平方得：$x-1 = \pm10$，
解得方程的两个根为：$x_1=11$，$x_2=-9$。
第二步：分情况讨论计算$2a-b$的值
已知a、b是方程的两个根，无指定对应关系，因此分两种情况：
① 当$a=11$，$b=-9$时：
$2a - b = 2×11 - (-9) = 22 +9 = 31$；
② 当$a=-9$，$b=11$时：
$2a - b = 2×(-9) -11 = -18 -11 = -29$。
【答案】
31或-29
【知识点】
配方法解一元二次方程、分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是很多同学会默认a是较大的根、b是较小的根，只计算出一个结果，忽略题目没有对两根的对应关系做限定的前提，导致漏解。解题时要注意审题，明确条件的开放性，把所有可能的情况都覆盖到，才能得到完整的正确结果。
【难度系数】
0.6
7. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2-8x+c=0$ 配方后得到 $(x-4)^2=4c$, 则 $c$ 的值为（
A.$-4$
B.$\dfrac{8}{5}$
C.$4$
D.$\dfrac{16}{5}$
D
）A.$-4$
B.$\dfrac{8}{5}$
C.$4$
D.$\dfrac{16}{5}$
答案
7. D
解析
【分析】
这道题的核心是利用一元二次方程配方法的运算规则，先对给定的原方程独立完成正确的配方操作，再将得到的配方结果和题目给出的配方形式做对比，让两个等式的右侧相等，就能构造出关于未知参数c的一元一次方程，解这个方程即可得到c的取值。首先第一步先把原方程的常数项移到等号右侧，再给等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，把左侧凑成完全平方式，之后对应等式关系列方程求解即可。
【解析】
解：对原一元二次方程$x^2 - 8x + c = 0$按配方法标准步骤操作：
1. 移项，将常数项$c$移到等号右侧：
$x^2 - 8x = -c$
2. 一次项系数为$-8$，它的一半是$-4$，平方为$16$，等式两边同时加16完成凑完全平方：
$x^2 - 8x + 16 = -c + 16$
3. 左侧由完全平方公式改写为完全平方式，得到正确配方结果：
$(x-4)^2 = 16 - c$
4. 题目已知该方程配方后得到$(x-4)^2 = 4c$，因此两个等式右侧相等，可得方程：
$16 - c = 4c$
移项合并同类项得$5c=16$，解得$c=\frac{16}{5}$。
【答案】
D
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式
【点评】
本题属于配方法的基础应用型题目，不需要额外复杂变形，核心要求是掌握配方法的标准步骤，注意移项时的符号变化、配方时等号两边要同时加相同的常数，避免只在左侧加常数右侧遗漏的常见错误，通过等式对应相等构造参数方程即可快速求解。
【难度系数】
0.7
这道题的核心是利用一元二次方程配方法的运算规则，先对给定的原方程独立完成正确的配方操作，再将得到的配方结果和题目给出的配方形式做对比，让两个等式的右侧相等，就能构造出关于未知参数c的一元一次方程，解这个方程即可得到c的取值。首先第一步先把原方程的常数项移到等号右侧，再给等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，把左侧凑成完全平方式，之后对应等式关系列方程求解即可。
【解析】
解：对原一元二次方程$x^2 - 8x + c = 0$按配方法标准步骤操作：
1. 移项，将常数项$c$移到等号右侧：
$x^2 - 8x = -c$
2. 一次项系数为$-8$，它的一半是$-4$，平方为$16$，等式两边同时加16完成凑完全平方：
$x^2 - 8x + 16 = -c + 16$
3. 左侧由完全平方公式改写为完全平方式，得到正确配方结果：
$(x-4)^2 = 16 - c$
4. 题目已知该方程配方后得到$(x-4)^2 = 4c$，因此两个等式右侧相等，可得方程：
$16 - c = 4c$
移项合并同类项得$5c=16$，解得$c=\frac{16}{5}$。
【答案】
D
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式
【点评】
本题属于配方法的基础应用型题目，不需要额外复杂变形，核心要求是掌握配方法的标准步骤，注意移项时的符号变化、配方时等号两边要同时加相同的常数，避免只在左侧加常数右侧遗漏的常见错误，通过等式对应相等构造参数方程即可快速求解。
【难度系数】
0.7
8. 若$x$为任意有理数，则多项式$4x - 4 - x^{2}$的值（
A.一定为正数
B.一定为负数
C.不可能为正数
D.可能为任意有理数
C
）A.一定为正数
B.一定为负数
C.不可能为正数
D.可能为任意有理数
答案
8. C
解析
【分析】
这道题要判断给定二次多项式的取值范围，核心思路是用配方法对多项式做恒等变形，利用有理数平方的非负性推导结果：第一步先调整多项式各项的顺序，把二次项放在最前面，得到$-x^2+4x-4$；第二步提取二次项的负号，将括号内的部分凑成完全平方式；第三步根据任意有理数的平方都大于等于0的性质，推导变形后整个式子的取值范围，最后对应选项选出正确答案，注意不要忽略完全平方可以取0的情况，避免误判式子一定为负。
【解析】
我们先对多项式进行恒等变形：
$\begin{aligned}4x - 4 - x^2&= -x^2 +4x -4\\&= -(x^2 -4x +4)\\&= -(x-2)^2\end{aligned}$
因为$x$是任意有理数，根据平方的非负性，可得：
$(x-2)^2 ≥ 0$
两边同时乘以$-1$，不等号方向改变，因此：
$-(x-2)^2 ≤ 0$
也就是该多项式的值始终小于等于0，不可能为正数。
所以选项C正确。
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式；非负数性质
【点评】
本题属于代数式取值判断的基础题型，核心考察配方法的应用，易错点是忽略完全平方可以取0的情况，误选“一定为负数”的B选项，解题时要牢记平方数的非负性，明确变形后的式子可以等于0，从而得到正确的取值范围。
【难度系数】
0.7
这道题要判断给定二次多项式的取值范围，核心思路是用配方法对多项式做恒等变形，利用有理数平方的非负性推导结果：第一步先调整多项式各项的顺序，把二次项放在最前面，得到$-x^2+4x-4$；第二步提取二次项的负号，将括号内的部分凑成完全平方式；第三步根据任意有理数的平方都大于等于0的性质，推导变形后整个式子的取值范围，最后对应选项选出正确答案，注意不要忽略完全平方可以取0的情况，避免误判式子一定为负。
【解析】
我们先对多项式进行恒等变形：
$\begin{aligned}4x - 4 - x^2&= -x^2 +4x -4\\&= -(x^2 -4x +4)\\&= -(x-2)^2\end{aligned}$
因为$x$是任意有理数，根据平方的非负性，可得：
$(x-2)^2 ≥ 0$
两边同时乘以$-1$，不等号方向改变，因此：
$-(x-2)^2 ≤ 0$
也就是该多项式的值始终小于等于0，不可能为正数。
所以选项C正确。
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式；非负数性质
【点评】
本题属于代数式取值判断的基础题型，核心考察配方法的应用，易错点是忽略完全平方可以取0的情况，误选“一定为负数”的B选项，解题时要牢记平方数的非负性，明确变形后的式子可以等于0，从而得到正确的取值范围。
【难度系数】
0.7
9.已知方程$x^{2}+4x+n=0$可以配方成$(x+m)^{2}=3$，则$(m-n)^{2026}=$
1
。答案
9. 1
解析
【分析】
这道题的核心思路是利用等价的一元二次方程对应系数相等来求解参数m、n的值。首先我们把已经给出的配方后的完全平方式展开，整理成一元二次方程的一般形式，再和原方程$x^2+4x+n=0$对比各项系数，就能分别算出m和n的数值，最后将m、n代入待求的代数式计算结果即可。
【解析】
第一步：将配方后的方程展开整理
把$(x+m)^2=3$的左侧完全平方展开，得：
$x^2 + 2mx + m^2 = 3$
移项整理为一元二次方程的一般形式：
$x^2 + 2mx + m^2 - 3 = 0$
第二步：对比两个方程的对应系数
已知原方程为$x^2 + 4x + n = 0$，两个方程是完全等价的，因此对应项系数相等：
1. 一次项系数对应相等：$2m = 4$，解得$m=2$
2. 常数项对应相等：$n = m^2 - 3$，把$m=2$代入，得$n=2^2 -3 = 1$
第三步：代入计算代数式的值
把$m=2$，$n=1$代入$(m-n)^{2026}$，得：
$(2-1)^{2026}=1^{2026}=1$
【答案】
1
【知识点】
一元二次方程配方，完全平方公式
【点评】
本题属于一元二次方程配方法的基础题型，不需要手动对原方程配方，通过展开已知配方后的方程对比系数的方法就能快速得到参数值，计算量很小，主要考察学生对配方法本质的理解，明确配方前后的方程是完全等价的。
【难度系数】
0.8
这道题的核心思路是利用等价的一元二次方程对应系数相等来求解参数m、n的值。首先我们把已经给出的配方后的完全平方式展开，整理成一元二次方程的一般形式，再和原方程$x^2+4x+n=0$对比各项系数，就能分别算出m和n的数值，最后将m、n代入待求的代数式计算结果即可。
【解析】
第一步：将配方后的方程展开整理
把$(x+m)^2=3$的左侧完全平方展开，得：
$x^2 + 2mx + m^2 = 3$
移项整理为一元二次方程的一般形式：
$x^2 + 2mx + m^2 - 3 = 0$
第二步：对比两个方程的对应系数
已知原方程为$x^2 + 4x + n = 0$，两个方程是完全等价的，因此对应项系数相等：
1. 一次项系数对应相等：$2m = 4$，解得$m=2$
2. 常数项对应相等：$n = m^2 - 3$，把$m=2$代入，得$n=2^2 -3 = 1$
第三步：代入计算代数式的值
把$m=2$，$n=1$代入$(m-n)^{2026}$，得：
$(2-1)^{2026}=1^{2026}=1$
【答案】
1
【知识点】
一元二次方程配方，完全平方公式
【点评】
本题属于一元二次方程配方法的基础题型，不需要手动对原方程配方，通过展开已知配方后的方程对比系数的方法就能快速得到参数值，计算量很小，主要考察学生对配方法本质的理解，明确配方前后的方程是完全等价的。
【难度系数】
0.8
10.(2025·鼓楼区期中)若关于$x$的一元二次方程$(x-a)^{2}-7=0$有两个正实数根,则整数$a$的最小值是
3
.答案
10. 3
解析
【分析】
首先观察方程的形式是完全平方式等于常数的结构，优先选择直接开平方法求解方程的两个根，无需展开为一般式简化计算。由于方程的两个根中，$a+\sqrt{7}$必然大于$a-\sqrt{7}$，要让两个根都为正实数，只需要保证更小的那个根$a-\sqrt{7}$大于0即可，得到$a$的取值范围后，结合$\sqrt{7}$的近似值，就能找出符合条件的最小整数$a$。
【解析】
1. 对方程$(x-a)^2 -7=0$移项，得：
$(x-a)^2=7$
2. 两边直接开平方，得：
$x-a=\pm\sqrt{7}$
因此方程的两个根为：$x_1=a+\sqrt{7}$，$x_2=a-\sqrt{7}$
3. 已知方程有两个正实数根，因为$\sqrt{7}＞0$，显然$x_1=a+\sqrt{7} ＞ x_2=a-\sqrt{7}$，因此只需保证较小的根为正，即可满足两个根都为正：
$a-\sqrt{7}＞0$
即$a＞\sqrt{7}$
4. 估算得$\sqrt{7}\approx2.645$，因此大于2.645的最小整数为3，即整数$a$的最小值是3。
【答案】
3
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程，无理数估算
【点评】
本题采用直接开平方法求解比展开后用韦达定理、判别式分析根的情况更加简便，解题时注意两个正根的条件可以简化为仅需较小的根大于0，避免不必要的复杂计算，同时要准确估算$\sqrt{7}$的近似值来锁定符合要求的最小整数。
【难度系数】
0.6
首先观察方程的形式是完全平方式等于常数的结构，优先选择直接开平方法求解方程的两个根，无需展开为一般式简化计算。由于方程的两个根中，$a+\sqrt{7}$必然大于$a-\sqrt{7}$，要让两个根都为正实数，只需要保证更小的那个根$a-\sqrt{7}$大于0即可，得到$a$的取值范围后，结合$\sqrt{7}$的近似值，就能找出符合条件的最小整数$a$。
【解析】
1. 对方程$(x-a)^2 -7=0$移项，得：
$(x-a)^2=7$
2. 两边直接开平方，得：
$x-a=\pm\sqrt{7}$
因此方程的两个根为：$x_1=a+\sqrt{7}$，$x_2=a-\sqrt{7}$
3. 已知方程有两个正实数根，因为$\sqrt{7}＞0$，显然$x_1=a+\sqrt{7} ＞ x_2=a-\sqrt{7}$，因此只需保证较小的根为正，即可满足两个根都为正：
$a-\sqrt{7}＞0$
即$a＞\sqrt{7}$
4. 估算得$\sqrt{7}\approx2.645$，因此大于2.645的最小整数为3，即整数$a$的最小值是3。
【答案】
3
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程，无理数估算
【点评】
本题采用直接开平方法求解比展开后用韦达定理、判别式分析根的情况更加简便，解题时注意两个正根的条件可以简化为仅需较小的根大于0，避免不必要的复杂计算，同时要准确估算$\sqrt{7}$的近似值来锁定符合要求的最小整数。
【难度系数】
0.6
11.(2025·南京)设方程$x^{2}+2x-9=0$的正根介于整数$m$与$m+1$之间,则$m=$
2
.答案
11. 2
解析
【分析】
这道题的核心思路是先求出一元二次方程的正根，再通过估算无理数的大小确定该正根所在的连续整数区间。首先我们可以用一元二次方程的求根公式计算出方程的所有根，筛选出正根后，对根中包含的无理数进行大小估算，判断它介于哪两个连续整数之间，就能得到对应的m值。
【解析】
第一步：确定方程系数，计算判别式
对于方程$x^2+2x-9=0$，其中$a=1$，$b=2$，$c=-9$，
判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4×1×(-9) = 4 + 36 = 40$。
第二步：代入求根公式得到所有根
根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，代入数值化简得：
$x=\frac{-2\pm\sqrt{40}}{2} = -1\pm\sqrt{10}$。
第三步：筛选出正根
由于$\sqrt{10}＞0$，因此$-1-\sqrt{10}＜0$是负根，直接舍去，保留唯一正根$x=-1+\sqrt{10}$。
第四步：估算正根的取值范围
由$3^2=9$，$4^2=16$可得$3＜\sqrt{10}＜4$，
对不等式两边同时减1，得到$3-1 ＜ \sqrt{10}-1 ＜ 4-1$，即$2 ＜ x ＜ 3$。
题目说明正根介于整数$m$和$m+1$之间，因此$m=2$。
【答案】
2
【知识点】
一元二次方程求根，无理数估算
【点评】
本题属于基础综合题型，将一元二次方程求解和无理数大小估算结合考查，解题时要注意先排除负根再进行区间判断，避免直接估算出现取值偏差的问题。
【难度系数】
0.7
这道题的核心思路是先求出一元二次方程的正根，再通过估算无理数的大小确定该正根所在的连续整数区间。首先我们可以用一元二次方程的求根公式计算出方程的所有根，筛选出正根后，对根中包含的无理数进行大小估算，判断它介于哪两个连续整数之间，就能得到对应的m值。
【解析】
第一步：确定方程系数，计算判别式
对于方程$x^2+2x-9=0$，其中$a=1$，$b=2$，$c=-9$，
判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4×1×(-9) = 4 + 36 = 40$。
第二步：代入求根公式得到所有根
根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，代入数值化简得：
$x=\frac{-2\pm\sqrt{40}}{2} = -1\pm\sqrt{10}$。
第三步：筛选出正根
由于$\sqrt{10}＞0$，因此$-1-\sqrt{10}＜0$是负根，直接舍去，保留唯一正根$x=-1+\sqrt{10}$。
第四步：估算正根的取值范围
由$3^2=9$，$4^2=16$可得$3＜\sqrt{10}＜4$，
对不等式两边同时减1，得到$3-1 ＜ \sqrt{10}-1 ＜ 4-1$，即$2 ＜ x ＜ 3$。
题目说明正根介于整数$m$和$m+1$之间，因此$m=2$。
【答案】
2
【知识点】
一元二次方程求根，无理数估算
【点评】
本题属于基础综合题型，将一元二次方程求解和无理数大小估算结合考查，解题时要注意先排除负根再进行区间判断，避免直接估算出现取值偏差的问题。
【难度系数】
0.7
