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12. 若$(2x+3y)^{2}+2(2x+3y)-4=0$,则$2x+3y$的值为
$-1\pm\sqrt{5}$
。答案
12. $-1\pm\sqrt{5}$
解析
【分析】
这道题的核心特征是方程中多次重复出现代数式2x+3y，如果直接展开完全平方项，会得到含有xy、x²、y²的复杂二元二次方程，求解难度大幅提升。我们可以采用整体换元的思路：首先将重复出现的2x+3y设为新的变量t，直接把原方程转化为我们非常熟悉的一元二次方程，之后套用一元二次方程的解法求出t的取值，也就是2x+3y的值，最后验证所得根是否符合隐含限制即可。
【解析】
解：设 $ t = 2x + 3y $，将其代入原方程可得：
$ t^2 + 2t - 4 = 0 $
这是标准的一元二次方程，其中二次项系数a=1，一次项系数b=2，常数项c=-4。
先计算判别式：
$ \Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4×1×(-4) = 4 + 16 = 20 ＞ 0 $
说明方程有两个不相等的实数根，代入一元二次方程求根公式 $ t = \frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a} $ 得：
$ t = \frac{-2\pm\sqrt{20}}{2} = \frac{-2\pm2\sqrt{5}}{2} = -1\pm\sqrt{5} $
题目没有给出x、y的额外取值限制，因此两个根均合法，即2x+3y的值为$-1\pm\sqrt{5}$。
【答案】
$-1\pm\sqrt{5}$
【知识点】
换元法解一元二次方程，一元二次方程求根公式
【点评】
本题考查整体换元的数学思想，通过将重复出现的代数式整体替换，大幅简化了方程的结构，避免了复杂的高次二元多项式运算，属于换元法的基础应用题型，解题时注意不要在化简求根结果时漏除系数，也不要无依据随意舍去求得的根。
【难度系数】
0.6
这道题的核心特征是方程中多次重复出现代数式2x+3y，如果直接展开完全平方项，会得到含有xy、x²、y²的复杂二元二次方程，求解难度大幅提升。我们可以采用整体换元的思路：首先将重复出现的2x+3y设为新的变量t，直接把原方程转化为我们非常熟悉的一元二次方程，之后套用一元二次方程的解法求出t的取值，也就是2x+3y的值，最后验证所得根是否符合隐含限制即可。
【解析】
解：设 $ t = 2x + 3y $，将其代入原方程可得：
$ t^2 + 2t - 4 = 0 $
这是标准的一元二次方程，其中二次项系数a=1，一次项系数b=2，常数项c=-4。
先计算判别式：
$ \Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4×1×(-4) = 4 + 16 = 20 ＞ 0 $
说明方程有两个不相等的实数根，代入一元二次方程求根公式 $ t = \frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a} $ 得：
$ t = \frac{-2\pm\sqrt{20}}{2} = \frac{-2\pm2\sqrt{5}}{2} = -1\pm\sqrt{5} $
题目没有给出x、y的额外取值限制，因此两个根均合法，即2x+3y的值为$-1\pm\sqrt{5}$。
【答案】
$-1\pm\sqrt{5}$
【知识点】
换元法解一元二次方程，一元二次方程求根公式
【点评】
本题考查整体换元的数学思想，通过将重复出现的代数式整体替换，大幅简化了方程的结构，避免了复杂的高次二元多项式运算，属于换元法的基础应用题型，解题时注意不要在化简求根结果时漏除系数，也不要无依据随意舍去求得的根。
【难度系数】
0.6
13. 新考法 已知方程 $x^{2}-4096576=0$ 的两根为 $x_{1}=2024,x_{2}=-2024$ ,则方程 $x^{2}-2x-$ $4096575=0$ 的两根为
$x_1=2025$,$x_2=-2023$
.答案
13. $x_1=2025$,$x_2=-2023$
解析
【分析】
首先观察题目给出的已知条件：方程$x^2=4096576$的根为±2024，无需自行计算这个大数的平方根，可以直接使用该结论。如果直接用求根公式计算待求方程，会涉及复杂的大数运算，因此我们优先对待求方程做变形：先将常数项移到等号右侧，再对左侧的二次项、一次项做配方，凑出完全平方式，刚好可以让等号右侧得到已知的数值4096576，之后把$(x-1)$看作整体，直接套用已知方程的根的结论，开平方就能快速解出x的值。
【解析】
1. 对待求方程移项，将常数项移到等号右侧：
$x^2 - 2x = 4096575$
2. 等号两侧同时加1，对左侧配方构造完全平方：
$x^2 - 2x + 1 = 4096575 + 1$
化简得：$(x-1)^2 = 4096576$
3. 根据题目的已知条件，方程$y^2=4096576$的两根为$y_1=2024$，$y_2=-2024$，将$x-1$看作整体y，可得：
$x-1 = 2024$ 或 $x-1 = -2024$
4. 分别求解两个一次方程：
当$x-1=2024$时，$x=2024+1=2025$
当$x-1=-2024$时，$x=-2024+1=-2023$
因此该方程的两根为$x_1=2025$，$x_2=-2023$
【答案】
$x_1=2025,x_2=-2023$
【知识点】
配方法解一元二次方程，整体代换
【点评】
本题属于巧解一元二次方程的创新考法，刻意设置了较大的常数项，引导学生不要生硬套用求根公式做复杂运算，重点考察学生观察已知条件和待求方程的关联、灵活运用配方和整体代换简化运算的能力，能帮助学生跳出机械计算的思维定式。
【难度系数】
0.6
首先观察题目给出的已知条件：方程$x^2=4096576$的根为±2024，无需自行计算这个大数的平方根，可以直接使用该结论。如果直接用求根公式计算待求方程，会涉及复杂的大数运算，因此我们优先对待求方程做变形：先将常数项移到等号右侧，再对左侧的二次项、一次项做配方，凑出完全平方式，刚好可以让等号右侧得到已知的数值4096576，之后把$(x-1)$看作整体，直接套用已知方程的根的结论，开平方就能快速解出x的值。
【解析】
1. 对待求方程移项，将常数项移到等号右侧：
$x^2 - 2x = 4096575$
2. 等号两侧同时加1，对左侧配方构造完全平方：
$x^2 - 2x + 1 = 4096575 + 1$
化简得：$(x-1)^2 = 4096576$
3. 根据题目的已知条件，方程$y^2=4096576$的两根为$y_1=2024$，$y_2=-2024$，将$x-1$看作整体y，可得：
$x-1 = 2024$ 或 $x-1 = -2024$
4. 分别求解两个一次方程：
当$x-1=2024$时，$x=2024+1=2025$
当$x-1=-2024$时，$x=-2024+1=-2023$
因此该方程的两根为$x_1=2025$，$x_2=-2023$
【答案】
$x_1=2025,x_2=-2023$
【知识点】
配方法解一元二次方程，整体代换
【点评】
本题属于巧解一元二次方程的创新考法，刻意设置了较大的常数项，引导学生不要生硬套用求根公式做复杂运算，重点考察学生观察已知条件和待求方程的关联、灵活运用配方和整体代换简化运算的能力，能帮助学生跳出机械计算的思维定式。
【难度系数】
0.6
14. 已知直角三角形的三边长为 a,b,c,且两直角边长 a,b 满足等式$(a^{2}+b^{2})^{2}-2(a^{2}+b^{2})-15=$0,则斜边长 c 的值为
$\sqrt{5}$
.答案
14. $\sqrt{5}$
解析
【分析】
首先，已知该三角形是直角三角形，根据勾股定理可得两直角边的平方和$a^2+b^2$等于斜边的平方$c^2$，因此我们可以采用整体换元的思路，把$a^2+b^2$看作一个整体设为新变量，将给定的高次方程转化为普通的一元二次方程，解出变量的取值后，结合边长为正的实际意义舍去负数解，最后再根据$c^2=a^2+b^2$求出正的斜边长c即可。
【解析】
解：设$ x = a^2 + b^2 $，代入原等式可得：
$ x^2 - 2x - 15 = 0 $
对该一元二次方程因式分解得：
$ (x - 5)(x + 3) = 0 $
解得：$ x_1 = 5 $，$ x_2 = -3 $
因为a、b是直角三角形的边长，均为正数，因此$ a^2 + b^2 ＞ 0 $，故舍去不符合实际意义的$ x_2 = -3 $，即$ a^2 + b^2 = 5 $。
又因为c是直角三角形的斜边，由勾股定理得：
$ a^2 + b^2 = c^2 $，即$ c^2 = 5 $
由于斜边长c＞0，因此$ c = \sqrt{5} $。
【答案】
$\sqrt{5}$
【知识点】
勾股定理；换元法解一元二次方程
【点评】
本题核心考察整体代换的数学思想，无需分别求解直角边a、b的具体值，直接利用勾股定理的关系将$a^2+b^2$作为整体处理，大幅简化计算过程，解题时需要注意结合边长的实际意义舍去不符合要求的负根，避免出现多解的错误。
【难度系数】
0.7
首先，已知该三角形是直角三角形，根据勾股定理可得两直角边的平方和$a^2+b^2$等于斜边的平方$c^2$，因此我们可以采用整体换元的思路，把$a^2+b^2$看作一个整体设为新变量，将给定的高次方程转化为普通的一元二次方程，解出变量的取值后，结合边长为正的实际意义舍去负数解，最后再根据$c^2=a^2+b^2$求出正的斜边长c即可。
【解析】
解：设$ x = a^2 + b^2 $，代入原等式可得：
$ x^2 - 2x - 15 = 0 $
对该一元二次方程因式分解得：
$ (x - 5)(x + 3) = 0 $
解得：$ x_1 = 5 $，$ x_2 = -3 $
因为a、b是直角三角形的边长，均为正数，因此$ a^2 + b^2 ＞ 0 $，故舍去不符合实际意义的$ x_2 = -3 $，即$ a^2 + b^2 = 5 $。
又因为c是直角三角形的斜边，由勾股定理得：
$ a^2 + b^2 = c^2 $，即$ c^2 = 5 $
由于斜边长c＞0，因此$ c = \sqrt{5} $。
【答案】
$\sqrt{5}$
【知识点】
勾股定理；换元法解一元二次方程
【点评】
本题核心考察整体代换的数学思想，无需分别求解直角边a、b的具体值，直接利用勾股定理的关系将$a^2+b^2$作为整体处理，大幅简化计算过程，解题时需要注意结合边长的实际意义舍去不符合要求的负根，避免出现多解的错误。
【难度系数】
0.7
15. 用配方法解下列方程：
(1)$(x-1)(x-3)=8$；
(2)$(2x-1)^2=x(3x+2)-7$；
(3)$x^2-\dfrac{1}{3}x-\dfrac{1}{4}=0$；
(4)$x^2-6x=2(x-6)$。
(1)$(x-1)(x-3)=8$；
(2)$(2x-1)^2=x(3x+2)-7$；
(3)$x^2-\dfrac{1}{3}x-\dfrac{1}{4}=0$；
(4)$x^2-6x=2(x-6)$。
答案
15. 解:(1)原方程变形为$x^2-4x+3=8$,即$x^2-4x=5$,
配方,得$x^2-4x+4=9$,即$(x-2)^2=9$,
则$x-2=\pm3$,解得$x_1=5$,$x_2=-1$.
(2)原方程变形为$x^2-6x=-8$,配方,得$(x-3)^2=1$,
即$x-3=\pm1$,解得$x_1=2$,$x_2=4$.
(3)移项,得$x^2-\dfrac{1}{3}x=\dfrac{1}{4}$,
配方,得$x^2-\dfrac{1}{3}x+(\dfrac{1}{6})^2=\dfrac{1}{4}+(\dfrac{1}{6})^2$,
即$(x-\dfrac{1}{6})^2=\dfrac{5}{18}$,则$x-\dfrac{1}{6}=\pm\dfrac{\sqrt{10}}{6}$,
解得$x_1=\dfrac{1+\sqrt{10}}{6}$,$x_2=\dfrac{1-\sqrt{10}}{6}$.
(4)原方程变形为$x^2-8x=-12$,配方,得$(x-4)^2=4$,
则$x-4=\pm2$,解得$x_1=2$,$x_2=6$.
配方,得$x^2-4x+4=9$,即$(x-2)^2=9$,
则$x-2=\pm3$,解得$x_1=5$,$x_2=-1$.
(2)原方程变形为$x^2-6x=-8$,配方,得$(x-3)^2=1$,
即$x-3=\pm1$,解得$x_1=2$,$x_2=4$.
(3)移项,得$x^2-\dfrac{1}{3}x=\dfrac{1}{4}$,
配方,得$x^2-\dfrac{1}{3}x+(\dfrac{1}{6})^2=\dfrac{1}{4}+(\dfrac{1}{6})^2$,
即$(x-\dfrac{1}{6})^2=\dfrac{5}{18}$,则$x-\dfrac{1}{6}=\pm\dfrac{\sqrt{10}}{6}$,
解得$x_1=\dfrac{1+\sqrt{10}}{6}$,$x_2=\dfrac{1-\sqrt{10}}{6}$.
(4)原方程变形为$x^2-8x=-12$,配方,得$(x-4)^2=4$,
则$x-4=\pm2$,解得$x_1=2$,$x_2=6$.
解析
【分析】
这道题要求用配方法解4个一元二次方程，我们可以按照配方法的通用逻辑逐步推导：
1. 先对每个原方程去括号、移项合并同类项，整理成二次项系数为1的形式，把常数项单独移到等号右侧；
2. 执行配方操作：在等号左右两边同时加上「一次项系数一半的平方」，将等号左侧改写为完全平方的形式，右侧合并为非负常数；
3. 对完全平方式直接开平方，拆分得到两个一元一次方程，求解即可得到原方程的根。
遇到带分数系数的方程时，要注意计算一次项系数一半的平方不要出错，且等号右侧必须同步加上这个配方常数，避免漏项。
【解析】
(1) 展开原方程左侧：
原方程变形为 $x^2 - 4x + 3 = 8$，
移项整理得 $x^2 - 4x = 5$，
配方：两边同时加上一次项系数-4一半的平方$2^2=4$，得：
$x^2 - 4x + 4 = 5 + 4$，即 $(x-2)^2 = 9$，
开平方得 $x - 2 = \pm3$，
解得 $x_1=5$，$x_2=-1$。
(2) 分别展开方程左右两侧：
左侧展开为$4x^2 -4x +1$，右侧展开为$3x^2 + 2x -7$，
移项合并同类项整理得 $x^2 -6x = -8$，
配方：两边同时加上一次项系数-6一半的平方$3^2=9$，得：
$x^2 -6x +9 = -8 +9$，即 $(x-3)^2 =1$，
开平方得 $x-3 = \pm1$，
解得 $x_1=2$，$x_2=4$。
(3) 移项将常数项移到等号右侧：
$x^2 - \frac{1}{3}x = \frac{1}{4}$，
配方：两边同时加上一次项系数$-\frac{1}{3}$一半的平方$(\frac{1}{6})^2$，得：
$x^2 - \frac{1}{3}x + (\frac{1}{6})^2 = \frac{1}{4} + (\frac{1}{6})^2$，
左侧化为完全平方，右侧计算合并得 $(x-\frac{1}{6})^2 = \frac{5}{18}$，
开平方得 $x - \frac{1}{6} = \pm \frac{\sqrt{10}}{6}$，
解得 $x_1=\frac{1+\sqrt{10}}{6}$，$x_2=\frac{1-\sqrt{10}}{6}$。
(4) 展开移项整理原方程：
原方程变形为 $x^2 -6x -2x +12 =0$，整理得 $x^2 -8x = -12$，
配方：两边同时加上一次项系数-8一半的平方$4^2=16$，得：
$x^2 -8x +16 = -12 +16$，即 $(x-4)^2 =4$，
开平方得 $x-4 = \pm2$，
解得 $x_1=2$，$x_2=6$。
【答案】
(1) $x_1=5$，$x_2=-1$；
(2) $x_1=2$，$x_2=4$；
(3) $x_1=\frac{1+\sqrt{10}}{6}$，$x_2=\frac{1-\sqrt{10}}{6}$；
(4) $x_1=2$，$x_2=6$
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式，直接开平方法
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础训练题，覆盖了整数系数、分数系数的不同场景，核心考察学生对配方法步骤的掌握程度，易错点是配方时仅在左侧加常数、忘记同步给等号右侧加对应数值，以及分数系数下计算一次项系数一半的平方时出现运算错误，练习时要严格按照步骤操作，避免跳步出错。
【难度系数】
0.7
这道题要求用配方法解4个一元二次方程，我们可以按照配方法的通用逻辑逐步推导：
1. 先对每个原方程去括号、移项合并同类项，整理成二次项系数为1的形式，把常数项单独移到等号右侧；
2. 执行配方操作：在等号左右两边同时加上「一次项系数一半的平方」，将等号左侧改写为完全平方的形式，右侧合并为非负常数；
3. 对完全平方式直接开平方，拆分得到两个一元一次方程，求解即可得到原方程的根。
遇到带分数系数的方程时，要注意计算一次项系数一半的平方不要出错，且等号右侧必须同步加上这个配方常数，避免漏项。
【解析】
(1) 展开原方程左侧：
原方程变形为 $x^2 - 4x + 3 = 8$，
移项整理得 $x^2 - 4x = 5$，
配方：两边同时加上一次项系数-4一半的平方$2^2=4$，得：
$x^2 - 4x + 4 = 5 + 4$，即 $(x-2)^2 = 9$，
开平方得 $x - 2 = \pm3$，
解得 $x_1=5$，$x_2=-1$。
(2) 分别展开方程左右两侧：
左侧展开为$4x^2 -4x +1$，右侧展开为$3x^2 + 2x -7$，
移项合并同类项整理得 $x^2 -6x = -8$，
配方：两边同时加上一次项系数-6一半的平方$3^2=9$，得：
$x^2 -6x +9 = -8 +9$，即 $(x-3)^2 =1$，
开平方得 $x-3 = \pm1$，
解得 $x_1=2$，$x_2=4$。
(3) 移项将常数项移到等号右侧：
$x^2 - \frac{1}{3}x = \frac{1}{4}$，
配方：两边同时加上一次项系数$-\frac{1}{3}$一半的平方$(\frac{1}{6})^2$，得：
$x^2 - \frac{1}{3}x + (\frac{1}{6})^2 = \frac{1}{4} + (\frac{1}{6})^2$，
左侧化为完全平方，右侧计算合并得 $(x-\frac{1}{6})^2 = \frac{5}{18}$，
开平方得 $x - \frac{1}{6} = \pm \frac{\sqrt{10}}{6}$，
解得 $x_1=\frac{1+\sqrt{10}}{6}$，$x_2=\frac{1-\sqrt{10}}{6}$。
(4) 展开移项整理原方程：
原方程变形为 $x^2 -6x -2x +12 =0$，整理得 $x^2 -8x = -12$，
配方：两边同时加上一次项系数-8一半的平方$4^2=16$，得：
$x^2 -8x +16 = -12 +16$，即 $(x-4)^2 =4$，
开平方得 $x-4 = \pm2$，
解得 $x_1=2$，$x_2=6$。
【答案】
(1) $x_1=5$，$x_2=-1$；
(2) $x_1=2$，$x_2=4$；
(3) $x_1=\frac{1+\sqrt{10}}{6}$，$x_2=\frac{1-\sqrt{10}}{6}$；
(4) $x_1=2$，$x_2=6$
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式，直接开平方法
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础训练题，覆盖了整数系数、分数系数的不同场景，核心考察学生对配方法步骤的掌握程度，易错点是配方时仅在左侧加常数、忘记同步给等号右侧加对应数值，以及分数系数下计算一次项系数一半的平方时出现运算错误，练习时要严格按照步骤操作，避免跳步出错。
【难度系数】
0.7
16. 已知关于 $x$ 的方程 $(a^2-4a+5)x^2+2ax+4=0$.
(1)试说明:无论 $a$ 取何实数,这个方程都是一元二次方程;
(2)当 $a=2$ 时,解这个方程.
(1)试说明:无论 $a$ 取何实数,这个方程都是一元二次方程;
(2)当 $a=2$ 时,解这个方程.
答案
16. 解:(1)$a^2-4a+5=(a^2-4a+4)+1=(a-2)^2+1$,
$\because (a-2)^2≥0$,$\therefore (a-2)^2+1＞0$,
$\therefore$无论$a$取何实数,关于$x$的方程$(a^2-4a+5)x^2+2ax+4=0$都是一元二次方程.
(2)当$a=2$时,原方程为$x^2+4x+4=0$,
解得$x_1=x_2=-2$.
$\because (a-2)^2≥0$,$\therefore (a-2)^2+1＞0$,
$\therefore$无论$a$取何实数,关于$x$的方程$(a^2-4a+5)x^2+2ax+4=0$都是一元二次方程.
(2)当$a=2$时,原方程为$x^2+4x+4=0$,
解得$x_1=x_2=-2$.
解析
【分析】
这道题分为两小问，第一问要证明无论a取何实数方程都是一元二次方程，首先要抓住一元二次方程的核心判定条件：二次项系数不为0。解题思路就是先对二次项系数对应的代数式$a^2-4a+5$进行配方变形，利用平方数的非负性，证明这个代数式的值恒大于0、永远不可能等于0，自然就满足一元二次方程的要求了。第二问是代入参数解方程，只需要把a=2代入原方程，化简得到具体的一元二次方程，再用完全平方公式因式分解即可快速求解。
【解析】
(1) 对二次项系数进行配方变形：
$a^2-4a+5=(a^2-4a+4)+1=(a-2)^2+1$
根据平方的非负性，对任意实数a，都有$(a-2)^2≥0$，
因此可得$(a-2)^2+1＞0$，即该方程的二次项系数永远不为0，
所以无论a取何实数，这个方程都是一元二次方程。
(2) 把a=2代入原方程：
二次项系数为$2^2-4×2+5=1$，一次项系数为$2×2=4$，常数项为4，
原方程化简为：$x^2+4x+4=0$，
由完全平方公式因式分解得$(x+2)^2=0$，
解得$x_1=x_2=-2$。
【答案】
(1) 证明如上，无论a取何实数，该方程都是一元二次方程；(2) 方程的解为$x_1=x_2=-2$
【知识点】
一元二次方程定义，配方法，解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程章节的基础题型，第一问重点强化了一元二次方程判定的核心条件：二次项系数不为0，同时考察了配方法在代数式取值范围证明中的应用；第二问代入参数求解方程难度较低，帮助学生巩固一元二次方程的常规解法，整体侧重基础概念的理解和落地应用。
【难度系数】
0.8
这道题分为两小问，第一问要证明无论a取何实数方程都是一元二次方程，首先要抓住一元二次方程的核心判定条件：二次项系数不为0。解题思路就是先对二次项系数对应的代数式$a^2-4a+5$进行配方变形，利用平方数的非负性，证明这个代数式的值恒大于0、永远不可能等于0，自然就满足一元二次方程的要求了。第二问是代入参数解方程，只需要把a=2代入原方程，化简得到具体的一元二次方程，再用完全平方公式因式分解即可快速求解。
【解析】
(1) 对二次项系数进行配方变形：
$a^2-4a+5=(a^2-4a+4)+1=(a-2)^2+1$
根据平方的非负性，对任意实数a，都有$(a-2)^2≥0$，
因此可得$(a-2)^2+1＞0$，即该方程的二次项系数永远不为0，
所以无论a取何实数，这个方程都是一元二次方程。
(2) 把a=2代入原方程：
二次项系数为$2^2-4×2+5=1$，一次项系数为$2×2=4$，常数项为4，
原方程化简为：$x^2+4x+4=0$，
由完全平方公式因式分解得$(x+2)^2=0$，
解得$x_1=x_2=-2$。
【答案】
(1) 证明如上，无论a取何实数，该方程都是一元二次方程；(2) 方程的解为$x_1=x_2=-2$
【知识点】
一元二次方程定义，配方法，解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程章节的基础题型，第一问重点强化了一元二次方程判定的核心条件：二次项系数不为0，同时考察了配方法在代数式取值范围证明中的应用；第二问代入参数求解方程难度较低，帮助学生巩固一元二次方程的常规解法，整体侧重基础概念的理解和落地应用。
【难度系数】
0.8
17. 根据完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，把形如$ax^2+bx+c$的二次三项式(或其一部分)配成完全平方式的方法叫作“配方法”. 例如，把$x^2-2x+9$配方如下：$x^2-2x+9=x^2-2x+1+$$8=(x-1)^2+8$. 请解答下列问题：
(1)把多项式$x^2-4x+1$配方的结果为
(2)当$x$的值为多少时，代数式$x^2+6x+6$的值最小？
(3)用一根长为12米的绳子围成一个长方形，请问长方形的边长分别为多少米时，围成的长方形面积最大？最大面积是多少平方米？
(1)把多项式$x^2-4x+1$配方的结果为
$(x-2)^2-3$
.(2)当$x$的值为多少时，代数式$x^2+6x+6$的值最小？
(3)用一根长为12米的绳子围成一个长方形，请问长方形的边长分别为多少米时，围成的长方形面积最大？最大面积是多少平方米？
答案
17. (1)$(x-2)^2-3$
(2)解:$x^2+6x+6=x^2+6x+9-3=(x+3)^2-3$.
$\because$无论$x$取何值时,都有$(x+3)^2≥0$,
$\therefore$当$x=-3$时,$(x+3)^2$取最小值0,
$\therefore$当$x=-3$时,代数式$x^2+6x+6$的值最小.
(3)解:设长方形的一边长为$x$米,则与其相邻的另一边长为$(6-x)$米,面积为$y$平方米,根据题意,得
$y=x(6-x)=-x^2+6x=-(x^2-6x+9-9)=-(x-3)^2+9$,
$\therefore$当$x=3$时,$y$取最大值为9,此时$6-x=3$,
$\therefore$当该长方形的相邻两边长均为3米时,围成的长方形面积最大,最大面积是9平方米.
(2)解:$x^2+6x+6=x^2+6x+9-3=(x+3)^2-3$.
$\because$无论$x$取何值时,都有$(x+3)^2≥0$,
$\therefore$当$x=-3$时,$(x+3)^2$取最小值0,
$\therefore$当$x=-3$时,代数式$x^2+6x+6$的值最小.
(3)解:设长方形的一边长为$x$米,则与其相邻的另一边长为$(6-x)$米,面积为$y$平方米,根据题意,得
$y=x(6-x)=-x^2+6x=-(x^2-6x+9-9)=-(x-3)^2+9$,
$\therefore$当$x=3$时,$y$取最大值为9,此时$6-x=3$,
$\therefore$当该长方形的相邻两边长均为3米时,围成的长方形面积最大,最大面积是9平方米.
解析
【分析】
这道题围绕配方法展开，解题思路可以分三个小问依次梳理：
1. 第一问是基础配方操作：对于二次项系数为1的二次三项式，只需要加上并减去一次项系数一半的平方，就能凑出完全平方式。本题多项式是$x^2-4x+1$，一次项系数是-4，它的一半是-2，平方是4，把1拆成4-3，就能凑出完全平方式得到结果。
2. 第二问求代数式最小值：先对代数式做配方处理，得到完全平方式加常数的形式，根据完全平方的非负性，$(x+a)^2$永远大于等于0，所以当完全平方部分取0的时候，整个代数式就能得到最小值，此时对应的x就是所求的取值。
3. 第三问是配方法的实际应用：首先根据绳子总长也就是长方形周长为12米，得到长和宽的和是6米，设其中一边长为x，另一边就可以表示为$6-x$，列出面积的表达式，对这个二次式做配方，因为二次项系数是负数，所以完全平方部分取0的时候，整个面积表达式取得最大值，就能算出对应的边长和最大面积。
【解析】
(1) 对多项式$x^2-4x+1$配方：
凑完全平方项，一次项$-4x$对应的完全平方需要加$(\frac{-4}{2})^2=4$，因此：
$x^2-4x+1 = x^2-4x+4 - 3 = (x-2)^2 - 3$
(2) 对代数式$x^2+6x+6$配方：
$x^2+6x+6 = x^2+6x+9 - 3 = (x+3)^2 - 3$
根据完全平方的非负性，对任意实数x，都有$(x+3)^2 ≥ 0$，当且仅当$x=-3$时，$(x+3)^2=0$取得最小值，因此此时代数式$(x+3)^2-3$取得最小值，即$x=-3$时，代数式$x^2+6x+6$的值最小。
(3) 设长方形的其中一条边长为x米，因为绳子总长12米，长方形周长$=2(长+宽)$，所以相邻的另一条边长为$\frac{12}{2} - x = (6 - x)$米，设长方形面积为y平方米，可得：
$y = x(6 - x) = -x^2 + 6x$
对式子配方，先提取二次项的负号：
$y = -(x^2 - 6x) = -(x^2 -6x +9 -9) = -(x-3)^2 +9$
因为$(x-3)^2 ≥ 0$，所以$-(x-3)^2 ≤ 0$，当$x=3$时，$-(x-3)^2$取得最大值0，此时y的最大值为9，此时另一边长$6-x=6-3=3$米。
【答案】
(1)$(x-2)^2-3$；(2) 当$x=-3$时，代数式$x^2+6x+6$的值最小；(3) 当该长方形的相邻两边长均为3米时，围成的长方形面积最大，最大面积是9平方米。
【知识点】
配方法，完全平方公式，非负数的性质
【点评】
本题从基础的配方运算出发，逐步延伸到代数式最值求解、实际几何场景的最值应用，梯度设置合理，能帮助学生扎实掌握配方法的核心逻辑，解题时要注意当二次项系数不为1时，配方要先提取系数再凑完全平方式，避免符号出错。
【难度系数】
0.7
这道题围绕配方法展开，解题思路可以分三个小问依次梳理：
1. 第一问是基础配方操作：对于二次项系数为1的二次三项式，只需要加上并减去一次项系数一半的平方，就能凑出完全平方式。本题多项式是$x^2-4x+1$，一次项系数是-4，它的一半是-2，平方是4，把1拆成4-3，就能凑出完全平方式得到结果。
2. 第二问求代数式最小值：先对代数式做配方处理，得到完全平方式加常数的形式，根据完全平方的非负性，$(x+a)^2$永远大于等于0，所以当完全平方部分取0的时候，整个代数式就能得到最小值，此时对应的x就是所求的取值。
3. 第三问是配方法的实际应用：首先根据绳子总长也就是长方形周长为12米，得到长和宽的和是6米，设其中一边长为x，另一边就可以表示为$6-x$，列出面积的表达式，对这个二次式做配方，因为二次项系数是负数，所以完全平方部分取0的时候，整个面积表达式取得最大值，就能算出对应的边长和最大面积。
【解析】
(1) 对多项式$x^2-4x+1$配方：
凑完全平方项，一次项$-4x$对应的完全平方需要加$(\frac{-4}{2})^2=4$，因此：
$x^2-4x+1 = x^2-4x+4 - 3 = (x-2)^2 - 3$
(2) 对代数式$x^2+6x+6$配方：
$x^2+6x+6 = x^2+6x+9 - 3 = (x+3)^2 - 3$
根据完全平方的非负性，对任意实数x，都有$(x+3)^2 ≥ 0$，当且仅当$x=-3$时，$(x+3)^2=0$取得最小值，因此此时代数式$(x+3)^2-3$取得最小值，即$x=-3$时，代数式$x^2+6x+6$的值最小。
(3) 设长方形的其中一条边长为x米，因为绳子总长12米，长方形周长$=2(长+宽)$，所以相邻的另一条边长为$\frac{12}{2} - x = (6 - x)$米，设长方形面积为y平方米，可得：
$y = x(6 - x) = -x^2 + 6x$
对式子配方，先提取二次项的负号：
$y = -(x^2 - 6x) = -(x^2 -6x +9 -9) = -(x-3)^2 +9$
因为$(x-3)^2 ≥ 0$，所以$-(x-3)^2 ≤ 0$，当$x=3$时，$-(x-3)^2$取得最大值0，此时y的最大值为9，此时另一边长$6-x=6-3=3$米。
【答案】
(1)$(x-2)^2-3$；(2) 当$x=-3$时，代数式$x^2+6x+6$的值最小；(3) 当该长方形的相邻两边长均为3米时，围成的长方形面积最大，最大面积是9平方米。
【知识点】
配方法，完全平方公式，非负数的性质
【点评】
本题从基础的配方运算出发，逐步延伸到代数式最值求解、实际几何场景的最值应用，梯度设置合理，能帮助学生扎实掌握配方法的核心逻辑，解题时要注意当二次项系数不为1时，配方要先提取系数再凑完全平方式，避免符号出错。
【难度系数】
0.7
