10. 已知关于$x$的方程$mx^{2}+n=0$的解是$x_{1}=-4,x_{2}=4$，则关于$x$的方程$m(x-6)^{2}+n=0$的解是.

10.$x_1=2$,$x_2=10$

【分析】
我们首先观察两个方程的结构特征，已知方程$mx^2 +n=0$的解为$x=\pm4$，待求方程$m(x-6)^2 +n=0$和已知方程的形式完全一致，仅把原方程里的未知数$x$替换成了$(x-6)$。我们可以用整体换元的思路，把$(x-6)$当做一个新的未知数$t$，那么待求方程就转化为和已知方程完全相同的$mt^2 +n=0$，直接得到$t$的取值后再反解$x$即可，不需要额外计算参数$m$、$n$的具体数值，简化计算过程。
【解析】
步骤1：处理已知方程$mx^2 +n=0$，移项可得$mx^2=-n$，由方程的解为$x_1=-4$，$x_2=4$，可得$x^2=\frac{-n}{m}=(\pm4)^2=16$。
步骤2：对待求方程$m(x-6)^2 +n=0$移项，得到$m(x-6)^2=-n$，显然$m≠0$（否则原方程不可能有两个不同的解），两边同时除以$m$可得$(x-6)^2=\frac{-n}{m}$。
步骤3：代入第一步得到的$\frac{-n}{m}=16$，即$(x-6)^2=16$，直接开平方得$x-6=\pm4$。
步骤4：分别求解两个一次方程：
当$x-6=-4$时，解得$x=2$；
当$x-6=4$时，解得$x=10$。
因此该方程的解为$x_1=2$，$x_2=10$。
【答案】
$x_1=2,x_2=10$
【知识点】
换元法解一元二次方程，直接开平方法
【点评】
本题核心考察整体代换的数学思想，不需要求解参数$m$、$n$的具体值，通过整体替换可以快速得到结果，也可以从二次函数图像平移的角度理解：原方程的根是二次函数$y=mx^2+n$的零点，将图像向右平移6个单位得到$y=m(x-6)^2+n$，对应零点也向右平移6个单位，原零点-4、4平移后得到2、10，两种思路可以互相验证，避免复杂计算出错。
【难度系数】
0.7

11.用直接开平方法解下列方程：
(1)$2(x+3)^{2}-4=0$；
(2)$\dfrac{1}{4}(x+1)^{2}=25$；
(3)$(2x+1)^{2}=(x-1)^{2}$；
(4)$x^{2}-4x+4=9(x+3)^{2}$。

11.(1)$x_1=-3+\sqrt{2}$,$x_2=-3-\sqrt{2}$
(2)$x_1=-11$,$x_2=9$
(3)$x_1=-2$,$x_2=0$
(4)$x_1=-\frac{11}{2}$,$x_2=-\frac{7}{4}$

【分析】
本题要求用直接开平方法解一元二次方程，核心思路是先将方程整理为「完全平方式 = 非负常数」的标准形式，再对等式两边同时开平方，得到两个独立的一元一次方程，求解即可得到原方程的根。具体思考步骤：
1. 对于第(1)题，先移项将常数项移到右侧，再把完全平方式的系数化为1，得到(x+3)²=2后开平方；
2. 对于第(2)题，直接将完全平方式的系数化为1，得到(x+1)²=100后开平方；
3. 对于第(3)题，等式两侧均为完全平方式，可直接开平方，得到两个带正负分支的一元一次方程分别求解；
4. 对于第(4)题，先将左侧整理为完全平方式，把右侧也改写为平方式的形式，再开平方分两种情况计算即可。
注意开平方时必须保留正负号，避免漏根。
【解析】
解：
(1) 对$2(x+3)^2 - 4 = 0$移项，得：
$2(x+3)^2 = 4$
两边同时除以2，将完全平方式系数化为1：
$(x+3)^2 = 2$
直接开平方得：
$x + 3 = ±\sqrt{2}$
移项解得：
$x_1 = -3 + \sqrt{2}$，$x_2 = -3 - \sqrt{2}$
(2) 对$\dfrac{1}{4}(x+1)^2=25$两边同时乘以4，得：
$(x+1)^2 = 100$
直接开平方得：
$x + 1 = ±10$
移项解得：
当$x+1=10$时，$x_1=9$；当$x+1=-10$时，$x_2=-11$
(3) 对$(2x+1)^2=(x-1)^2$直接开平方，可得两种情况：
情况1：$2x + 1 = x - 1$
移项合并得：$x = -2$
情况2：$2x + 1 = -(x - 1)$
去括号得：$2x + 1 = -x + 1$
移项合并得：$3x = 0$，即$x=0$
因此方程的根为$x_1=-2$，$x_2=0$
(4) 对$x^2 - 4x + 4 = 9(x+3)^2$，左侧由完全平方公式变形得：
$(x - 2)^2 = [3(x+3)]^2$
直接开平方，可得两种情况：
情况1：$x - 2 = 3(x + 3)$
去括号得：$x - 2 = 3x + 9$
移项合并得：$-2x = 11$，解得$x = -\dfrac{11}{2}$
情况2：$x - 2 = -3(x + 3)$
去括号得：$x - 2 = -3x -9$
移项合并得：$4x = -7$，解得$x = -\dfrac{7}{4}$
因此方程的根为$x_1=-\dfrac{11}{2}$，$x_2=-\dfrac{7}{4}$
【答案】
(1)$x_1=-3+\sqrt{2}$，$x_2=-3-\sqrt{2}$；
(2)$x_1=-11$，$x_2=9$；
(3)$x_1=-2$，$x_2=0$；
(4)$x_1=-\dfrac{11}{2}$，$x_2=-\dfrac{7}{4}$
【知识点】
直接开平方法，完全平方公式，一元二次方程求解
【点评】
本题是直接开平方法解一元二次方程的基础典型题，覆盖了从基础整理开方到两侧均为平方式的全类型考法，核心易错点是开平方时遗漏负号分支导致丢根，解题时要先确认完全平方式右侧的数非负，再分情况计算，注意运算过程中去括号、移项的符号不要出错。
【难度系数】
0.7

12. 若一元二次方程 $ax^2 = b(ab＞0)$ 的两根分别为 $m+1$ 与 $2m-4$. 求下列各式的值：
(1)$m$；
(2)$\dfrac{b}{a}$.

12. 解:(1)$\because$一元二次方程$ax^2=b(ab＞0)$的两根分别为$m+1$与$2m-4$,$\therefore m+1+2m-4=0$,解得$m=1$.
(2)当$m=1$时,$m+1=2$,$2m-4=-2$,即一元二次方程$ax^2=b(ab＞0)$的两根分别为2和$-2$.
又$\because x=\pm\sqrt{\frac{b}{a}}$,$\therefore \frac{b}{a}=(\pm2)^2=4$.

【分析】
首先观察给定的一元二次方程$ax^2 = b$，已知$ab＞0$说明a、b均不为0，将方程变形为$ax^2 - b = 0$后可以发现该方程没有一次项，根据直接开平方法的思路，方程的两个根必然互为相反数，也就是两根之和为0。我们可以利用这个性质，把题目给出的两个根$m+1$和$2m-4$相加等于0，列出关于m的一元一次方程，直接求解得到m的值。求出m之后，把m代回两个根的表达式，得到方程的两个具体根，再结合原方程变形得到的$x^2=\frac{b}{a}$，将任意一个根平方就可以算出$\frac{b}{a}$的值。
【解析】
(1) 先将原方程整理为一元二次方程的标准形式：$ax^2 - b = 0$，
因为$ab＞0$，所以$a≠0$，该方程是合法的一元二次方程，且不存在一次项。
根据直接开平方法，方程的解为$x=\pm\sqrt{\frac{b}{a}}$，因此两个根互为相反数，即两根之和为0。
已知两根为$m+1$和$2m-4$，因此可得：
$(m+1)+(2m-4)=0$
整理得$3m - 3 = 0$，解得$m=1$。
(2) 将$m=1$代入两个根的表达式：
第一个根$m+1=1+1=2$，第二个根$2m-4=2×1 -4=-2$，
即该方程的两个根为2和-2。
由原方程$ax^2 = b$，变形可得$\frac{b}{a}=x^2$，将$x=2$代入得：
$\frac{b}{a}=2^2=4$
【答案】
(1) $m=1$；(2) $\frac{b}{a}=4$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题属于一元二次方程的基础题型，核心是引导学生发现缺一次项的一元二次方程的两根互为相反数的隐含特征，不需要复杂计算就能快速求解m，后续求$\frac{b}{a}$也可以通过代入根的定义完成，帮助学生加深对特殊形式一元二次方程性质的理解，也可以用韦达定理两根之和为0的结论验证思路，巩固相关知识点。
【难度系数】
0.8

13. (2025·鼓楼区月考)小丽在解一元二次方程时发现,对于方程$(x+2)(x+4)=3$还可以这样解决，
她的方法如下：
$(x+2)(x+4)=3.$
解:设$x+3=t$,则$x+2=t-1,x+4=t+1$,
$\therefore (t-1)(t+1)=3,\therefore t^{2}-1=3,\therefore t^{2}=4,\therefore t=\pm 2,$
$\therefore x+3=2 \mathrm{ 或 } x+3=-2,$
$\therefore x_{1}=-1,x_{2}=-5.$
类比小丽的方法,解下列关于$x$的一元二次方程:
$(1)(x-1)(x-3)=8;$
$(2)(x-1)(x+5)=a(a\mathrm{ 为任意常数}).$

13. 解:(1)设$x-2=t$,则$x-1=t+1$,$x-3=t-1$,
$\therefore(t+1)(t-1)=8$,$\therefore t^2-1=8$,$\therefore t=\pm3$,
$\therefore x-2=3$或$x-2=-3$,$\therefore x_1=5$,$x_2=-1$.
(2)设$x+2=t$,则$x-1=t-3$,$x+5=t+3$,
$\therefore(t-3)(t+3)=a$,$\therefore t^2-9=a$,$\therefore t^2=a+9$.
当$a≥-9$时,$t=\pm\sqrt{a+9}$,
$\therefore x+2=\sqrt{a+9}$或$x+2=-\sqrt{a+9}$,
$\therefore x_1=\sqrt{a+9}-2$,$x_2=-2-\sqrt{a+9}$,
当$a＜-9$时,$a+9＜0$,二次根式无意义,故原方程无实数根.

【分析】
这是一道类比探究型的一元二次方程求解问题，核心思路是参考示例的巧解换元技巧：先观察方程左边两个一次因式，找到两个因式的平均值对应的含x的式子设为新元t，这样两个因式就可以变形为t+m和t-m的形式，直接套用平方差公式消去一次项，大幅简化计算。
对于第(1)问：先计算(x-1)和(x-3)的中间值，两个式子相加除以2得到x-2，因此设t=x-2，代入原方程后直接用平方差得到t²-1=8，先解出t再回代求x即可。
对于第(2)问：先计算(x-1)和(x+5)的中间值，两个式子相加除以2得到x+2，设t=x+2，代入后用平方差得到t²-9=a，此时根据实数平方的非负性，需要对a+9的正负性分类讨论，判断方程是否有实数根，再对应求解x。
【解析】
(1) 解：设$x-2=t$，则$x-1=t+1$，$x-3=t-1$，
将其代入原方程得：
$(t+1)(t-1)=8$，
由平方差公式得$t^2 - 1 = 8$，
整理得$t^2=9$，解得$t=\pm3$，
回代得$x-2=3$ 或 $x-2=-3$，
解得$x_1=5$，$x_2=-1$。
(2) 解：设$x+2=t$，则$x-1=t-3$，$x+5=t+3$，
将其代入原方程得：
$(t-3)(t+3)=a$，
由平方差公式得$t^2 - 9 = a$，整理得$t^2=a+9$。
① 当$a≥-9$时，$a+9≥0$，开方得$t=\pm\sqrt{a+9}$，
回代得$x+2=\sqrt{a+9}$ 或 $x+2=-\sqrt{a+9}$，
解得$x_1=\sqrt{a+9}-2$，$x_2=-2-\sqrt{a+9}$；
② 当$a＜-9$时，$a+9＜0$，不存在实数t满足$t^2=a+9$，因此原方程无实数根。
【答案】
(1) $x_1=5,x_2=-1$；(2) 当$a≥-9$时，方程的解为$x_1=\sqrt{a+9}-2$，$x_2=-2-\sqrt{a+9}$；当$a＜-9$时，原方程无实数根。
【知识点】
换元法解一元二次方程，平方差公式，含参方程分类讨论
【点评】
本题属于类比探究类题型，跳出常规展开用求根公式的固化思路，引导学生体会换元法构造平方差简化运算的技巧，降低运算复杂度；第二问加入参数考察分类讨论思想，学生很容易遗漏a＜-9时无实根的情况，能有效锻炼学生的代数变形能力和思维严谨性。
【难度系数】
0.6