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1.如图，大建从点A出发沿直线前进8米到达点B后向左旋转的角度为α，再沿直线前进8米，到达点C后，又向左旋转α角度，照这样走下去，第一次回到出发地点时，他共走了72米，则每次旋转的角度α为(
A.$30°$
B.$40°$
C.$45°$
D.$60°$
B
).A.$30°$
B.$40°$
C.$45°$
D.$60°$
答案
1.B
解析
【分析】
首先，大建每次沿直线前进的距离都是8米，每次向左旋转的角度都为α，最终回到出发点，说明他走过的路径是一个各边相等、各外角相等的正多边形。解题时先根据总路程算出正多边形的边数，再结合多边形外角和为360°的性质，就能求出每次旋转的角度α。
【解析】
第一步：计算正多边形的边数
已知总路程为72米，每段路程长度为8米，因此正多边形的边数$ n = 72 ÷ 8 = 9 $，即大建走过的路径是正九边形。
第二步：计算旋转角度α
任意多边形的外角和都为$ 360° $，每次向左旋转的角度α就是正九边形的一个外角的度数，因此：
$ α = 360° ÷ 9 = 40° $
所以答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 正多边形的性质
2. 多边形外角和定理
【点评】
本题结合生活中的行走场景考查几何知识的应用，解题的关键是判断出行走路径为正多边形，且每次旋转的角度对应正多边形的外角，熟记多边形外角和为固定值360°是解题的核心。
【难度系数】
0.7
首先，大建每次沿直线前进的距离都是8米，每次向左旋转的角度都为α，最终回到出发点，说明他走过的路径是一个各边相等、各外角相等的正多边形。解题时先根据总路程算出正多边形的边数，再结合多边形外角和为360°的性质，就能求出每次旋转的角度α。
【解析】
第一步：计算正多边形的边数
已知总路程为72米，每段路程长度为8米，因此正多边形的边数$ n = 72 ÷ 8 = 9 $，即大建走过的路径是正九边形。
第二步：计算旋转角度α
任意多边形的外角和都为$ 360° $，每次向左旋转的角度α就是正九边形的一个外角的度数，因此：
$ α = 360° ÷ 9 = 40° $
所以答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 正多边形的性质
2. 多边形外角和定理
【点评】
本题结合生活中的行走场景考查几何知识的应用，解题的关键是判断出行走路径为正多边形，且每次旋转的角度对应正多边形的外角，熟记多边形外角和为固定值360°是解题的核心。
【难度系数】
0.7
2.某中学的学生以4千米/时的速度步行去某地参加社会公益活动.出发30分钟后,学校派一名通讯员骑自行车以12千米/时的速度去追赶队伍,通讯员用多少时间可追上队伍?设通讯员用$x$小时追上队伍,则可列方程(
A.$4x - 2 = 12x$
B.$4x + 2 = 12x$
C.$4x - 0.5 = 12x$
D.$4x + 0.5 = 12x$
B
).A.$4x - 2 = 12x$
B.$4x + 2 = 12x$
C.$4x - 0.5 = 12x$
D.$4x + 0.5 = 12x$
答案
2.B
解析
【分析】
这是一道行程类的追及问题，解题核心是找到追及时的等量关系：通讯员追上队伍时，两者行驶的总路程相等。首先统一时间单位，将30分钟换算为0.5小时，先计算队伍提前出发走的路程；再分别表示出通讯员追赶x小时的路程，以及队伍在x小时内走的路程，结合等量关系即可列出方程。
【解析】
首先进行单位换算：30分钟=0.5小时，
队伍提前出发走的路程为：$4 × 0.5 = 2$千米。
设通讯员用$x$小时追上队伍：
通讯员行驶的路程为：$12x$千米
队伍在通讯员追赶的$x$小时内走的路程为：$4x$千米，加上提前走的2千米，队伍总路程为$(4x + 2)$千米
追上时两者路程相等，因此列方程为：$4x + 2 = 12x$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程的应用；行程追及问题
【点评】
本题是追及问题的基础考法，易错点是未将提前出发的时间换算为对应路程，直接把0.5代入方程错选D，解题时要注意单位统一，找准路程等量关系。
【难度系数】
0.7
这是一道行程类的追及问题，解题核心是找到追及时的等量关系：通讯员追上队伍时，两者行驶的总路程相等。首先统一时间单位，将30分钟换算为0.5小时，先计算队伍提前出发走的路程；再分别表示出通讯员追赶x小时的路程，以及队伍在x小时内走的路程，结合等量关系即可列出方程。
【解析】
首先进行单位换算：30分钟=0.5小时，
队伍提前出发走的路程为：$4 × 0.5 = 2$千米。
设通讯员用$x$小时追上队伍：
通讯员行驶的路程为：$12x$千米
队伍在通讯员追赶的$x$小时内走的路程为：$4x$千米，加上提前走的2千米，队伍总路程为$(4x + 2)$千米
追上时两者路程相等，因此列方程为：$4x + 2 = 12x$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程的应用；行程追及问题
【点评】
本题是追及问题的基础考法，易错点是未将提前出发的时间换算为对应路程，直接把0.5代入方程错选D，解题时要注意单位统一，找准路程等量关系。
【难度系数】
0.7
3. 在一次绿色环保知识竞赛中，共有20道题，对于每一道题，答对了得10分，答错了或不答扣5分，小明要想在竞赛中得分不少于100分，则他至少要答对
14
道题。答案
3.14
解析
【分析】
这是一道一元一次不等式的实际应用问题，解题时首先要明确题中的数量关系：总得分=答对获得的分数 - 答错或不答扣除的分数，题干要求得分不少于100分，即总得分≥100。我们可以先设答对的题数为未知数，用总题数表示出答错或不答的题数，再根据不等关系列出不等式，解不等式后结合题数为正整数的实际要求，取最小的符合条件的整数即可。
【解析】
解：设小明答对x道题，则答错或不答的题数为$(20-x)$道。
根据得分不少于100分的要求，可列不等式：
$10x - 5(20-x) ≥ 100$
去括号得：$10x - 100 + 5x ≥ 100$
合并同类项得：$15x ≥ 200$
系数化为1得：$x ≥ \frac{40}{3} \approx 13.33$
$\because$ x为答对的题数，必须是正整数，且$x ≤ 20$
$\therefore$ x的最小取值为14
【答案】
14
【知识点】
1. 一元一次不等式应用
2. 不等关系建立
3. 不等式整数解
【点评】
本题是典型的不等式实际应用类得分问题，解题核心是准确抓取题干中的不等关系建立不等式，要注意最终结果需要结合实际场景取整数，不能直接采用小数计算结果。
【难度系数】
0.7
这是一道一元一次不等式的实际应用问题，解题时首先要明确题中的数量关系：总得分=答对获得的分数 - 答错或不答扣除的分数，题干要求得分不少于100分，即总得分≥100。我们可以先设答对的题数为未知数，用总题数表示出答错或不答的题数，再根据不等关系列出不等式，解不等式后结合题数为正整数的实际要求，取最小的符合条件的整数即可。
【解析】
解：设小明答对x道题，则答错或不答的题数为$(20-x)$道。
根据得分不少于100分的要求，可列不等式：
$10x - 5(20-x) ≥ 100$
去括号得：$10x - 100 + 5x ≥ 100$
合并同类项得：$15x ≥ 200$
系数化为1得：$x ≥ \frac{40}{3} \approx 13.33$
$\because$ x为答对的题数，必须是正整数，且$x ≤ 20$
$\therefore$ x的最小取值为14
【答案】
14
【知识点】
1. 一元一次不等式应用
2. 不等关系建立
3. 不等式整数解
【点评】
本题是典型的不等式实际应用类得分问题，解题核心是准确抓取题干中的不等关系建立不等式，要注意最终结果需要结合实际场景取整数，不能直接采用小数计算结果。
【难度系数】
0.7
4.小明问数学老师的年龄，数学老师微笑着说：“我像你这么大的时候，你刚好3岁；你到我这么大时，我就42岁了，”那么数学老师今年的年龄是
29
岁。答案
4.29
解析
【分析】
年龄问题的核心是两人的年龄差始终保持不变，本题可通过设未知数建立方程求解：第一步设老师和小明今年的年龄分别为x岁、y岁，可得两人年龄差为(x-y)岁；第二步根据“老师像小明这么大时，小明3岁”，可知此时时间倒退了1个年龄差，小明当时的年龄=小明现在年龄-年龄差，列第一个方程；第三步根据“小明到老师这么大时，老师42岁”，可知此时时间前进了1个年龄差，老师当时的年龄=老师现在年龄+年龄差，列第二个方程；最后联立方程求解即可得到老师的年龄。
【解析】
设数学老师今年x岁，小明今年y岁，两人的年龄差为(x-y)岁。
根据“我像你这么大的时候，你刚好3岁”可列方程：
y - (x - y) = 3
整理得：2y - x = 3 ①
根据“你到我这么大时，我就42岁了”可列方程：
x + (x - y) = 42
整理得：2x - y = 42 ②
联立①②，将①×2得：4y - 2x = 6 ③
②+③得：3y = 48，解得y=16
把y=16代入②得：2x - 16 = 42，解得x=29
【答案】
29
【知识点】
年龄差不变性质；二元一次方程组的应用
【点评】
本题是典型的年龄类应用题，解题关键是抓住年龄差不随时间变化的特点，将题干中不同时间的年龄描述转化为等量关系列方程，能很好地考察学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7
年龄问题的核心是两人的年龄差始终保持不变，本题可通过设未知数建立方程求解：第一步设老师和小明今年的年龄分别为x岁、y岁，可得两人年龄差为(x-y)岁；第二步根据“老师像小明这么大时，小明3岁”，可知此时时间倒退了1个年龄差，小明当时的年龄=小明现在年龄-年龄差，列第一个方程；第三步根据“小明到老师这么大时，老师42岁”，可知此时时间前进了1个年龄差，老师当时的年龄=老师现在年龄+年龄差，列第二个方程；最后联立方程求解即可得到老师的年龄。
【解析】
设数学老师今年x岁，小明今年y岁，两人的年龄差为(x-y)岁。
根据“我像你这么大的时候，你刚好3岁”可列方程：
y - (x - y) = 3
整理得：2y - x = 3 ①
根据“你到我这么大时，我就42岁了”可列方程：
x + (x - y) = 42
整理得：2x - y = 42 ②
联立①②，将①×2得：4y - 2x = 6 ③
②+③得：3y = 48，解得y=16
把y=16代入②得：2x - 16 = 42，解得x=29
【答案】
29
【知识点】
年龄差不变性质；二元一次方程组的应用
【点评】
本题是典型的年龄类应用题，解题关键是抓住年龄差不随时间变化的特点，将题干中不同时间的年龄描述转化为等量关系列方程，能很好地考察学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7
5. 小敏和小强参加社会实践，要用白纸板做长方体包装盒，准备把所有白纸板分成两部分，一部分做盒身，另一部分做盒底，已知每张白纸板可以做盒身2个，或者做盒底3个，且一个盒身和两个盒底恰好做成一个包装盒.
(1)现有12张白纸板，问能否使做成的盒身与盒底正好配套，为什么？
(2)在(1)条件下，小敏和小强经过尝试发现，将一张白纸板经过适当套裁就可以裁出一个盒身和一个盒底，请把这种套裁方式综合考虑，探究能否使裁出的盒身与盒底正好配套，若能，请求出最多可做包装盒的个数；若不能，请说明理由.
(1)现有12张白纸板，问能否使做成的盒身与盒底正好配套，为什么？
(2)在(1)条件下，小敏和小强经过尝试发现，将一张白纸板经过适当套裁就可以裁出一个盒身和一个盒底，请把这种套裁方式综合考虑，探究能否使裁出的盒身与盒底正好配套，若能，请求出最多可做包装盒的个数；若不能，请说明理由.
答案
5.(1)设使用x张白纸板做盒身，则使用(12−x)张白纸板做盒底，
由题意，得2×2x=3(12−x)，解得x=36/7。
∵36/7不是整数，
∴不能使做成的盒身与盒底正好配套。
(2)设使用m张白纸板套裁，使用n张白纸板做盒身，则使用(12−m−n)张白纸板做盒底，由题意，得
2(m+2n)=m+3(12−m−n)，
∴m=9−7/4 n。
∵m,n均为非负整数，
∴{m=9,n=0 或{m=2,n=4。
当m=9时，可以制作包装盒的个数为m+2n=9(个)；当m=2时，可以制作包装盒的个数为m+2n=10(个)。
∵9＜10，
∴最多可做10个包装盒。
故能使裁出的盒身与盒底正好配套，最多可做10个包装盒。
由题意，得2×2x=3(12−x)，解得x=36/7。
∵36/7不是整数，
∴不能使做成的盒身与盒底正好配套。
(2)设使用m张白纸板套裁，使用n张白纸板做盒身，则使用(12−m−n)张白纸板做盒底，由题意，得
2(m+2n)=m+3(12−m−n)，
∴m=9−7/4 n。
∵m,n均为非负整数，
∴{m=9,n=0 或{m=2,n=4。
当m=9时，可以制作包装盒的个数为m+2n=9(个)；当m=2时，可以制作包装盒的个数为m+2n=10(个)。
∵9＜10，
∴最多可做10个包装盒。
故能使裁出的盒身与盒底正好配套，最多可做10个包装盒。
解析
【分析】
（1）本题属于配套类应用题，核心等量关系为“盒底总数量=2×盒身总数量”。首先设做盒身的白纸板张数为x，做盒底的白纸板张数为(12-x)，分别表示出盒身、盒底的总数，根据等量关系列方程求解，若解为正整数则能配套，否则不能。
（2）引入套裁方式后，需分三类表示盒身、盒底的产出：套裁的m张每张出1个盒身、1个盒底；只做盒身的n张每张出2个盒身；只做盒底的(12-m-n)张每张出3个盒底。依旧根据配套的数量关系列方程，结合m、n均为非负整数的实际要求筛选符合条件的解，再计算对应可做包装盒的数量，取最大值即可。
【解析】
(1) 设使用x张白纸板做盒身，则使用(12−x)张白纸板做盒底，
由配套的数量关系得：$2× 2x=3(12-x)$
解方程得：$4x=36-3x$，$7x=36$，即$x=\frac{36}{7}$
∵白纸板张数必须为正整数，$\frac{36}{7}$不是整数，不符合实际意义，
∴不能使做成的盒身与盒底正好配套。
(2) 设使用m张白纸板套裁，使用n张白纸板做盒身，则使用$(12-m-n)$张白纸板做盒底（m、n均为非负整数），
此时盒身总数量为$m+2n$，盒底总数量为$m+3(12-m-n)$，
由配套的数量关系得：$2(m+2n)=m+3(12-m-n)$
整理得：$m=9-\frac{7}{4}n$
∵m、n均为非负整数，
∴n为4的非负整数倍，符合条件的解为$\begin{cases} m=9 \\ n=0 \end{cases}$或$\begin{cases} m=2 \\ n=4 \end{cases}$
当$m=9,n=0$时，可做包装盒的个数为$m+2n=9$个；
当$m=2,n=4$时，可做包装盒的个数为$m+2n=10$个；
∵$9＜10$，
∴最多可做10个包装盒，能正好配套。
【答案】
(1) 不能，因为解得做盒身的纸板数为$\frac{36}{7}$，不是整数，不符合实际要求；
(2) 能配套，最多可做10个包装盒。
【知识点】
配套问题应用，一元一次方程应用，二元一次方程整数解
【点评】
本题结合实际生产场景考察方程建模思想，解题关键是准确抓住配套的数量关系列方程，同时要注意实际问题中未知数的取值必须符合现实意义，第二问需对整数解进行分类讨论再筛选最优结果。
【难度系数】
0.6
（1）本题属于配套类应用题，核心等量关系为“盒底总数量=2×盒身总数量”。首先设做盒身的白纸板张数为x，做盒底的白纸板张数为(12-x)，分别表示出盒身、盒底的总数，根据等量关系列方程求解，若解为正整数则能配套，否则不能。
（2）引入套裁方式后，需分三类表示盒身、盒底的产出：套裁的m张每张出1个盒身、1个盒底；只做盒身的n张每张出2个盒身；只做盒底的(12-m-n)张每张出3个盒底。依旧根据配套的数量关系列方程，结合m、n均为非负整数的实际要求筛选符合条件的解，再计算对应可做包装盒的数量，取最大值即可。
【解析】
(1) 设使用x张白纸板做盒身，则使用(12−x)张白纸板做盒底，
由配套的数量关系得：$2× 2x=3(12-x)$
解方程得：$4x=36-3x$，$7x=36$，即$x=\frac{36}{7}$
∵白纸板张数必须为正整数，$\frac{36}{7}$不是整数，不符合实际意义，
∴不能使做成的盒身与盒底正好配套。
(2) 设使用m张白纸板套裁，使用n张白纸板做盒身，则使用$(12-m-n)$张白纸板做盒底（m、n均为非负整数），
此时盒身总数量为$m+2n$，盒底总数量为$m+3(12-m-n)$，
由配套的数量关系得：$2(m+2n)=m+3(12-m-n)$
整理得：$m=9-\frac{7}{4}n$
∵m、n均为非负整数，
∴n为4的非负整数倍，符合条件的解为$\begin{cases} m=9 \\ n=0 \end{cases}$或$\begin{cases} m=2 \\ n=4 \end{cases}$
当$m=9,n=0$时，可做包装盒的个数为$m+2n=9$个；
当$m=2,n=4$时，可做包装盒的个数为$m+2n=10$个；
∵$9＜10$，
∴最多可做10个包装盒，能正好配套。
【答案】
(1) 不能，因为解得做盒身的纸板数为$\frac{36}{7}$，不是整数，不符合实际要求；
(2) 能配套，最多可做10个包装盒。
【知识点】
配套问题应用，一元一次方程应用，二元一次方程整数解
【点评】
本题结合实际生产场景考察方程建模思想，解题关键是准确抓住配套的数量关系列方程，同时要注意实际问题中未知数的取值必须符合现实意义，第二问需对整数解进行分类讨论再筛选最优结果。
【难度系数】
0.6
6. 中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数。如果支出100元记作－100元，那么＋80元表示(
A.支出80元
B.收入80元
C.支出20元
D.收入20元
B
)。A.支出80元
B.收入80元
C.支出20元
D.收入20元
答案
6.B
解析
【分析】
本题考查正负数表示相反意义的量，解题时首先要明确题中规定的正负对应的含义：题目已经说明支出记作负数，那么和支出相反的收入就对应正数，再结合给出的数值即可判断+80元的实际含义。
【解析】
正负数可用来表示一对具有相反意义的量。由题意可知，支出用负数表示，因此正数应表示与支出相反的意义，即收入。所以+80元表示收入80元，对应选项B。
【答案】B
【知识点】
1. 正负数的意义 2. 相反意义的量
【点评】
本题是正负数在实际生活中的基础应用，解题核心是明确正负号对应的相反意义，结合题意即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
本题考查正负数表示相反意义的量，解题时首先要明确题中规定的正负对应的含义：题目已经说明支出记作负数，那么和支出相反的收入就对应正数，再结合给出的数值即可判断+80元的实际含义。
【解析】
正负数可用来表示一对具有相反意义的量。由题意可知，支出用负数表示，因此正数应表示与支出相反的意义，即收入。所以+80元表示收入80元，对应选项B。
【答案】B
【知识点】
1. 正负数的意义 2. 相反意义的量
【点评】
本题是正负数在实际生活中的基础应用，解题核心是明确正负号对应的相反意义，结合题意即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
7.《周髀算经》是中国现存最早的数理天文著作.书中记载这样一道题:“今有女子不善织,日减功迟.初日织五尺,末日织一尺,今三十日织讫.问织几何?”意思是:现有一个不擅长织布的女子,织布的速度越来越慢,并且每天减少的数量相同,第一天织了五尺布,最后一天仅织了一尺布,30天完工,问一共织了多少布？（
A.45尺
B.88尺
C.90尺
D.98尺
C
）.A.45尺
B.88尺
C.90尺
D.98尺
答案
7.C
解析
【分析】
首先明确题目中“每天减少的数量相同”这个关键条件，说明女子每天的织布量是均匀变化的。我们可以通过两种符合学段要求的思路解题：一是先算出30天里平均每天的织布量，再乘总天数得到总织布量；二是利用“均匀变化的量，首尾对应相加的和相等”的规律，将每天的织布量两两配对，用每组的和乘配对数得到总量。
【解析】
方法1：利用平均数计算
因为每天织布减少的量相同，所以平均每天织布的长度为第一天和最后一天织布长度的平均值：
$(5 + 1) ÷ 2 = 3$（尺）
总织布量 = 平均每天织布量 × 总天数，即：
$3 × 30 = 90$（尺）
方法2：配对计算
由于每天织布量均匀减少，第一天和第30天织布量之和为$5+1=6$尺，第二天和第29天的织布量之和也为6尺（第二天比第一天少的量刚好等于第29天比第30天多的量），以此类推，30天一共可以配成$30÷2=15$组。
总织布量 = 每组的和 × 组数，即：
$6 × 15 = 90$（尺）
【答案】
C
【知识点】
1. 平均数应用
2. 规律配对求和
【点评】
本题以中国古代数学著作为背景，考查对均匀变化量的理解和灵活计算能力，解题时不需要复杂公式，结合已学的平均数或者配对思路就能快速得出结果，同时能感受到传统数学文化的趣味。
【难度系数】
0.8
首先明确题目中“每天减少的数量相同”这个关键条件，说明女子每天的织布量是均匀变化的。我们可以通过两种符合学段要求的思路解题：一是先算出30天里平均每天的织布量，再乘总天数得到总织布量；二是利用“均匀变化的量，首尾对应相加的和相等”的规律，将每天的织布量两两配对，用每组的和乘配对数得到总量。
【解析】
方法1：利用平均数计算
因为每天织布减少的量相同，所以平均每天织布的长度为第一天和最后一天织布长度的平均值：
$(5 + 1) ÷ 2 = 3$（尺）
总织布量 = 平均每天织布量 × 总天数，即：
$3 × 30 = 90$（尺）
方法2：配对计算
由于每天织布量均匀减少，第一天和第30天织布量之和为$5+1=6$尺，第二天和第29天的织布量之和也为6尺（第二天比第一天少的量刚好等于第29天比第30天多的量），以此类推，30天一共可以配成$30÷2=15$组。
总织布量 = 每组的和 × 组数，即：
$6 × 15 = 90$（尺）
【答案】
C
【知识点】
1. 平均数应用
2. 规律配对求和
【点评】
本题以中国古代数学著作为背景，考查对均匀变化量的理解和灵活计算能力，解题时不需要复杂公式，结合已学的平均数或者配对思路就能快速得出结果，同时能感受到传统数学文化的趣味。
【难度系数】
0.8
