20.如图,将书页斜折过去,使角的顶点A落在点F处,BC为折痕,BD为∠EBF的平分线,求∠CBD的度数.

20.由折叠,知$∠ CBA=∠ CBF$,
∴$∠ CBF=\frac{1}{2}∠ ABF$.
∵BD为$∠ EBF$的平分线,
∴$∠ DBF=\frac{1}{2}∠ EBF$.
∴$∠ CBD=∠ CBF+∠ DBF$
$=\frac{1}{2}(∠ ABF+∠ EBF)=\frac{1}{2}×180°=90°$.

【分析】
解题时先从已知条件入手：首先，书页折叠后顶点A落在F处，根据折叠的性质，折痕BC是∠ABF的平分线，可得∠CBA=∠CBF；其次，已知BD为∠EBF的平分线，可知BD平分∠EBF。所求∠CBD由∠CBF和∠DBF组成，而∠ABF与∠EBF刚好组成平角∠ABE，结合角平分线的性质，将两个角的和转化为平角的一半即可求出结果。
【解析】
由折叠的性质可知，$∠CBA=∠CBF$，
∴$∠CBF=\frac{1}{2}∠ABF$。
∵BD为$∠EBF$的平分线，
∴$∠DBF=\frac{1}{2}∠EBF$。
又
∵$∠ABF+∠EBF=∠ABE=180°$（平角的定义），
∴$∠CBD=∠CBF+∠DBF$
$=\frac{1}{2}∠ABF+\frac{1}{2}∠EBF$
$=\frac{1}{2}(∠ABF+∠EBF)$
$=\frac{1}{2}×180°=90°$。
【答案】
$90°$
【知识点】
折叠的性质；角平分线的定义；平角的定义
【点评】
本题属于基础角度计算类题目，将折叠特性与角平分线、平角的知识结合考查，解题核心是找到所求角与平角的数量关系，熟练掌握相关性质即可快速解答。
【难度系数】
0.8

21. 中考新考法 类比探究 已知$AB// CD$，点E在AB上，点F在DC上，点G为射线EF上一点.
[基础问题](1)如图(1)，点G在线段EF上，试说明：$∠ AGD=∠ A+∠ D$.（完成填空部分）
证明:过点G作直线$MN// AB$，
又$AB// CD$，
∴$\_\_\_\_\_\_// CD$.
∵$MN// AB$，
∴$∠ \_\_\_\_\_\_=∠ MGA$.
∵$MN// CD$，
∴$∠ D=∠ \_\_\_\_\_\_$，( )
∴$∠ AGD=∠ AGM+∠ DGM=∠ A+∠ D$.
[类比探究](2)如图(2)，当点G在线段EF的延长线上时，请写出$∠ AGD$，$∠ A$，$∠ D$三者之间的数量关系，并说明理由.
[应用拓展](3)如图(3)，AH平分$∠ GAE$，连接DH，且$∠ GDH=2∠ HDF$，$∠ HDF=22°$，$∠ H=32°$，直接写出$∠ DGA$的度数为$\_\_\_\_\_\_°$.

21.(1)MN A DGM 两直线平行,内错角相等
(2)$∠ AGD=∠ A-∠ D$.理由如下:
如图(1),过点G作直线$MN// AB$,
又$AB// CD$,$\therefore MN// CD$.
$\because MN// AB$,$\therefore ∠ A=∠ AGM$.
$\because MN// CD$,$\therefore ∠ D=∠ DGM$,
$\therefore ∠ AGD=∠ AGM-∠ DGM=∠ A-∠ D.$

(3)$42°$ [解析]如图(2),过点G作直线$MN// AB$,
过点H作直线$PQ// AB$,
又$AB// CD$,$\therefore MN// CD$,$PQ// CD$.
$\because MN// AB$,$PQ// AB$,
$\therefore ∠ BAG=∠ AGM$,$∠ BAH=∠ AHP$.
$\because MN// CD$,$PQ// CD$,
$\therefore ∠ CDG=∠ DGM$,$∠ CDH=∠ DHP$.
$\because ∠ GDH=2∠ HDF$,$∠ HDF=22°$,
$∠ AHD=32°$,
$\therefore ∠ GDH=44°$,$∠ DHP=22°$,
$\therefore ∠ CDG=66°$,$∠ AHP=54°$,
$\therefore ∠ DGM=66°$,$∠ BAH=54°$.
$\because AH$平分$∠ GAE$,
$\therefore ∠ BAG=2∠ BAH=108°$,
$\therefore ∠ AGM=108°$,
$\therefore ∠ AGD=∠ AGM-∠ DGM=42°$.

【分析】
(1) 本题考查平行线拐角模型的基础证明，采用“拐点处作平行线”的常用辅助线思路：过点G作平行于AB的直线，根据平行于同一直线的两条直线互相平行，可得所作直线也平行于CD，再利用平行线内错角相等的性质，将∠AGD拆分为两个分别等于∠A、∠D的角，即可完成证明。
(2) 第二问是基础模型的变式，点G位置改变，仍沿用第一问的辅助线作法，过G作AB的平行线，再结合平行线的性质观察角的和差关系，即可得到∠AGD、∠A、∠D的数量关系。
(3) 第三问是拓展应用，继续沿用拐角作平行线的思路，分别过G、H作AB的平行线，利用平行线的性质转化角的关系，再结合已知的倍角条件、角平分线定义，逐步计算即可得到∠DGA的度数。
【解析】
(1) 证明:过点G作直线$MN// AB$，
又$AB// CD$，
∴$\boldsymbol{MN}// CD$.
∵$MN// AB$，
∴$\boldsymbol{∠A}=∠MGA$.
∵$MN// CD$，
∴$∠D=∠\boldsymbol{DGM}$，(两直线平行,内错角相等)
∴$∠AGD=∠AGM+∠DGM=∠A+∠D$.
(2) $∠AGD=∠A-∠D$，理由如下:
如图(1),过点G作直线$MN// AB$,
又$AB// CD$,$\therefore MN// CD$.
$\because MN// AB$,$\therefore ∠A=∠AGM$.
$\because MN// CD$,$\therefore ∠D=∠DGM$,
$\therefore ∠AGD=∠AGM-∠DGM=∠A-∠D.$

(3) 如图(2),过点G作直线$MN// AB$,过点H作直线$PQ// AB$,
又$AB// CD$,$\therefore MN// CD$,$PQ// CD$.
$\because MN// AB$,$PQ// AB$,
$\therefore ∠BAG=∠AGM$,$∠BAH=∠AHP$.
$\because MN// CD$,$PQ// CD$,
$\therefore ∠CDG=∠DGM$,$∠CDH=∠DHP$.
$\because ∠GDH=2∠HDF$,$∠HDF=22°$,$∠H=32°$,
$\therefore ∠GDH=44°$,$∠DHP=22°$,
$\therefore ∠CDG=66°$,$∠AHP=54°$,
$\therefore ∠DGM=66°$,$∠BAH=54°$.
$\because AH$平分$∠GAE$,
$\therefore ∠BAG=2∠BAH=108°$,
$\therefore ∠AGM=108°$,
$\therefore ∠AGD=∠AGM-∠DGM=108°-66°=42°$.
【答案】
(1) MN；A；DGM；两直线平行，内错角相等
(2) $∠AGD=∠A-∠D$，理由见解析

(3) $42$
【知识点】
平行线的性质；平行公理的推论；角平分线的定义
【点评】
本题属于类比探究类几何题，以平行线拐角模型为核心，层层递进设置问题，重点考查“拐点处作平行线”的辅助线作法，要求学生能够灵活运用平行线的性质转化角的关系，结合角的和差、角平分线知识求解，对知识的类比迁移能力有一定要求。
【难度系数】
0.6