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8. 中国古代教育要求学生掌握“六艺”，即“礼、乐、射、御、书、数”.某校为弘扬中国传统文化举行有“六艺”的知识竞赛.甲、乙、丙三位同学进行了决赛.决赛规则:共6场,每场比赛的第一名、第二名、第三名的得分分别为$a,b,c(a＞b＞c$,且$a,b,c$都是正整数).选手最后得分为各场得分之和.决赛结果是甲最后得分为26分.乙和丙最后得分都为11分.且乙在其中一场比赛中获得第一名,现有下列说法:
①$a=4$;
②甲不可能有任何一场比赛获得第二名;
③乙有四场比赛获得第三名;
④丙可能有一场比赛获得第一名.
则以上说法中正确的序号是
①$a=4$;
②甲不可能有任何一场比赛获得第二名;
③乙有四场比赛获得第三名;
④丙可能有一场比赛获得第一名.
则以上说法中正确的序号是
②③
.答案
8.②③
解析
【分析】
解题时先从总得分入手，先算出每场比赛三个名次的得分总和，再结合甲的得分情况确定a的取值范围，进而求出a、b、c的具体值，再分别推导甲、乙、丙的获奖情况，逐一判断四个说法是否正确。
【解析】
1. 计算每场得分和
三人总得分：$26+11+11=48$分，共6场比赛，每场得分和为$a+b+c$，因此$6(a+b+c)=48$，解得$a+b+c=8$。
2. 确定$a,b,c$的具体值
已知$a＞b＞c$且都是正整数，甲6场得26分：
若$a≤4$，则6场最多得$6×4=24＜26$，不符合要求，故$a≥5$；
若$a=6$，则$b+c=2$，而$b＞c≥1$时$b+c≥3$，矛盾，故$a=5$，此时$b+c=3$，结合$b＞c≥1$得$b=2,c=1$。
因此①$a=4$的说法错误。
3. 分析甲的得分构成
设甲得$x$个第一名、$y$个第二名、$z$个第三名，可得：
$\begin{cases}x+y+z=6\\5x+2y+z=26\end{cases}$
两式相减得$4x+y=20$，$x$为正整数：
若$x=5$，则$y=0,z=1$，符合要求；
若$x≤4$，则$4x≤16$，$y≥4$，$x+y≥8＞6$，不符合要求。
因此甲没有获得过第二名，②说法正确。
4. 分析第一名归属
6场比赛共6个第一名，甲获得5个，乙获得1个，因此丙不可能获得第一名，④说法错误。
5. 分析乙的得分构成
乙有1个第一名得5分，剩余5场共得$11-5=6$分，设剩余场次乙得$m$个第二名、$n$个第三名，可得：
$\begin{cases}m+n=5\\2m+n=6\end{cases}$
解得$m=1,n=4$，即乙有4场比赛获得第三名，③说法正确。
【答案】
②③
【知识点】
不定方程应用，逻辑推理，整数运算
【点评】
本题结合传统文化“六艺”设置场景，需要结合整数的性质逐步推导未知量和选手得分构成，对逻辑推理能力有一定要求，解题的核心是先确定$a,b,c$的具体取值，再逐一验证结论。
【难度系数】
0.6
解题时先从总得分入手，先算出每场比赛三个名次的得分总和，再结合甲的得分情况确定a的取值范围，进而求出a、b、c的具体值，再分别推导甲、乙、丙的获奖情况，逐一判断四个说法是否正确。
【解析】
1. 计算每场得分和
三人总得分：$26+11+11=48$分，共6场比赛，每场得分和为$a+b+c$，因此$6(a+b+c)=48$，解得$a+b+c=8$。
2. 确定$a,b,c$的具体值
已知$a＞b＞c$且都是正整数，甲6场得26分：
若$a≤4$，则6场最多得$6×4=24＜26$，不符合要求，故$a≥5$；
若$a=6$，则$b+c=2$，而$b＞c≥1$时$b+c≥3$，矛盾，故$a=5$，此时$b+c=3$，结合$b＞c≥1$得$b=2,c=1$。
因此①$a=4$的说法错误。
3. 分析甲的得分构成
设甲得$x$个第一名、$y$个第二名、$z$个第三名，可得：
$\begin{cases}x+y+z=6\\5x+2y+z=26\end{cases}$
两式相减得$4x+y=20$，$x$为正整数：
若$x=5$，则$y=0,z=1$，符合要求；
若$x≤4$，则$4x≤16$，$y≥4$，$x+y≥8＞6$，不符合要求。
因此甲没有获得过第二名，②说法正确。
4. 分析第一名归属
6场比赛共6个第一名，甲获得5个，乙获得1个，因此丙不可能获得第一名，④说法错误。
5. 分析乙的得分构成
乙有1个第一名得5分，剩余5场共得$11-5=6$分，设剩余场次乙得$m$个第二名、$n$个第三名，可得：
$\begin{cases}m+n=5\\2m+n=6\end{cases}$
解得$m=1,n=4$，即乙有4场比赛获得第三名，③说法正确。
【答案】
②③
【知识点】
不定方程应用，逻辑推理，整数运算
【点评】
本题结合传统文化“六艺”设置场景，需要结合整数的性质逐步推导未知量和选手得分构成，对逻辑推理能力有一定要求，解题的核心是先确定$a,b,c$的具体取值，再逐一验证结论。
【难度系数】
0.6
9. 中国古代观星并对星图进行艺术加工可以追溯到公元前,敦煌星图是世界现存古代星图中星数较多,年代最早的星图,绘制于唐代.元朝数学家郭守敬重新观测了二十八星宿(东南西北各七宿,图(1)是其中的南方七宿之翼),编制了当时最先进的历法《授时历》.小明学习了平行线知识,画出了“南方七宿之翼”的上半部分(如图(2)),$∠ 1=α$,$∠ 2=β$,$∠ 3=\gamma$,$∠ 4=θ$.
(1)当$a // b$,$α=70°$,$β=25°$,$\gamma=30°$时,根据所学知识,可求得$∠ 4=$
(2)当$a // b$时,如图(2),猜想$∠ 1$,$∠ 2$,$∠ 3$和$∠ 4$的数量关系
(3)小明又发现,当$a$和$b$不平行时,则相交于点$P$,得到$∠ 5$,如图(3),如果$m∠ 1+n∠ 2+m∠ 3+n∠ 4+n∠ 5$为定值,求$\frac{m}{n}$的值.(备
注:请运用平行线知识解决本题)
(1)当$a // b$,$α=70°$,$β=25°$,$\gamma=30°$时,根据所学知识,可求得$∠ 4=$
75°
;(2)当$a // b$时,如图(2),猜想$∠ 1$,$∠ 2$,$∠ 3$和$∠ 4$的数量关系
∠1+∠3=∠2+∠4
;(3)小明又发现,当$a$和$b$不平行时,则相交于点$P$,得到$∠ 5$,如图(3),如果$m∠ 1+n∠ 2+m∠ 3+n∠ 4+n∠ 5$为定值,求$\frac{m}{n}$的值.(备
注:请运用平行线知识解决本题)
答案
9.(1)75° [解析]如图(1)，分别过A，B两点作AC//a，BD//a，
∵a//b，
∴a//AC//BD//b，
∴∠CAB−∠3+∠4=180°，∠1=∠2+∠ABD，∠CAB+∠ABD=180°，
∴∠CAB=180°+∠3−∠4，∠ABD=∠1−∠2，
∴180°+∠3−∠4+∠1−∠2=180°，
∴∠1+∠3=∠2+∠4。
∵∠1=α=70°，∠2=β=25°，∠3=γ=30°，
∴∠4=70°+30°−25°=75°。
(2)∠1+∠3=∠2+∠4
(3)如图(2)，分别过A，B，E作AC//a，BD//a，EF//a，
∴a//AC//BD//EF，
∴∠PEF=∠5，∠CAE+∠4+∠PEF=180°，∠CAE+∠3+∠ABD=180°，∠1=∠2+∠ABD，
∴∠CAE=180°−∠4−∠5，∠ABD=∠1−∠2，
∴180°−∠4−∠5+∠3+∠1−∠2=180°，即(∠1+∠3)−(∠2+∠4+∠5)=0。
∵m∠1+n∠2+m∠3+n∠4+n∠5为定值，即m(∠1+∠3)+n(∠2+∠4+∠5)为定值，
∴m，n互为相反数，
∴m/n=−1。
解析
【分析】
(1) 本题为平行线间折线角度计算问题，解题核心方法是过折线拐点作已知平行线的平行线，利用平行线的传递性和性质（内错角相等、同旁内角互补）建立已知角与待求角的等量关系，推导得到四个角的通用关系后代入数值即可求出∠4。
(2) 将(1)中的具体角度替换为角的符号，整理推导过程即可得到四个角的数量关系。
(3) 仍沿用拐点作平行线的辅助线作法，先推导∠1、∠2、∠3、∠4、∠5的数量关系，再将含参数的代数式变形，结合“代数式为定值”的条件得到m、n的关系，即可求出$\frac{m}{n}$的值。
【解析】
(1) 如图(1)，分别过A，B两点作AC//a，BD//a，
∵$a // b$，
∴$a // AC // BD // b$，
根据平行线的性质可得：$∠CAB−∠3+∠4=180°$，$∠1=∠2+∠ABD$，$∠CAB+∠ABD=180°$，
∴$∠CAB=180°+∠3−∠4$，$∠ABD=∠1−∠2$，
将上述两式代入$∠CAB+∠ABD=180°$，得：
$180°+∠3−∠4+∠1−∠2=180°$，
整理得$∠1+∠3=∠2+∠4$。
已知$α=70°$，$β=25°$，$γ=30°$，即$∠1=70°$，$∠2=25°$，$∠3=30°$，
代入得$∠4=∠1+∠3−∠2=70°+30°−25°=75°$。
(2) 由(1)的推导过程，将具体角度替换为角的符号，可得四个角的数量关系为：$∠1+∠3=∠2+∠4$。
(3) 如图(2)，分别过A，B，E作AC//a，BD//a，EF//a，
∴$a // AC // BD // EF$，
根据平行线的性质可得：$∠PEF=∠5$，$∠CAE+∠4+∠PEF=180°$，$∠CAE+∠3+∠ABD=180°$，$∠1=∠2+∠ABD$，
∴$∠CAE=180°−∠4−∠5$，$∠ABD=∠1−∠2$，
将上述两式代入$∠CAE+∠3+∠ABD=180°$，得：
$180°−∠4−∠5+∠3+∠1−∠2=180°$，
整理得：$∠1+∠3=∠2+∠4+∠5$，即$(∠1+∠3)−(∠2+∠4+∠5)=0$。
已知$m∠1+n∠2+m∠3+n∠4+n∠5$为定值，将式子变形为：
$m(∠1+∠3)+n(∠2+∠4+∠5)$，
把$∠2+∠4+∠5=∠1+∠3$代入上式，得：
$m(∠1+∠3)+n(∠1+∠3)=(m+n)(∠1+∠3)$，
要使该式为定值（和$∠1$、$∠3$的取值无关），则系数$m+n=0$，即$m=−n$，
∴$\frac{m}{n}=-1$。
【答案】
(1) $\boxed{75°}$
(2) $\boxed{∠1+∠3=∠2+∠4}$
(3) $\boxed{-1}$
【知识点】
平行线的性质；角度等量代换；代数式定值
【点评】
本题以中国古代天文成果为背景，考查平行线中折线问题的常规解法，既渗透了传统文化，又综合考查了几何推理能力和代数变形能力，解题的核心是掌握过拐点作平行线的辅助线作法，通过平行线性质建立角度的等量关系。
【难度系数】
0.6
(1) 本题为平行线间折线角度计算问题，解题核心方法是过折线拐点作已知平行线的平行线，利用平行线的传递性和性质（内错角相等、同旁内角互补）建立已知角与待求角的等量关系，推导得到四个角的通用关系后代入数值即可求出∠4。
(2) 将(1)中的具体角度替换为角的符号，整理推导过程即可得到四个角的数量关系。
(3) 仍沿用拐点作平行线的辅助线作法，先推导∠1、∠2、∠3、∠4、∠5的数量关系，再将含参数的代数式变形，结合“代数式为定值”的条件得到m、n的关系，即可求出$\frac{m}{n}$的值。
【解析】
(1) 如图(1)，分别过A，B两点作AC//a，BD//a，
∵$a // b$，
∴$a // AC // BD // b$，
根据平行线的性质可得：$∠CAB−∠3+∠4=180°$，$∠1=∠2+∠ABD$，$∠CAB+∠ABD=180°$，
∴$∠CAB=180°+∠3−∠4$，$∠ABD=∠1−∠2$，
将上述两式代入$∠CAB+∠ABD=180°$，得：
$180°+∠3−∠4+∠1−∠2=180°$，
整理得$∠1+∠3=∠2+∠4$。
已知$α=70°$，$β=25°$，$γ=30°$，即$∠1=70°$，$∠2=25°$，$∠3=30°$，
代入得$∠4=∠1+∠3−∠2=70°+30°−25°=75°$。
(2) 由(1)的推导过程，将具体角度替换为角的符号，可得四个角的数量关系为：$∠1+∠3=∠2+∠4$。
(3) 如图(2)，分别过A，B，E作AC//a，BD//a，EF//a，
∴$a // AC // BD // EF$，
根据平行线的性质可得：$∠PEF=∠5$，$∠CAE+∠4+∠PEF=180°$，$∠CAE+∠3+∠ABD=180°$，$∠1=∠2+∠ABD$，
∴$∠CAE=180°−∠4−∠5$，$∠ABD=∠1−∠2$，
将上述两式代入$∠CAE+∠3+∠ABD=180°$，得：
$180°−∠4−∠5+∠3+∠1−∠2=180°$，
整理得：$∠1+∠3=∠2+∠4+∠5$，即$(∠1+∠3)−(∠2+∠4+∠5)=0$。
已知$m∠1+n∠2+m∠3+n∠4+n∠5$为定值，将式子变形为：
$m(∠1+∠3)+n(∠2+∠4+∠5)$，
把$∠2+∠4+∠5=∠1+∠3$代入上式，得：
$m(∠1+∠3)+n(∠1+∠3)=(m+n)(∠1+∠3)$，
要使该式为定值（和$∠1$、$∠3$的取值无关），则系数$m+n=0$，即$m=−n$，
∴$\frac{m}{n}=-1$。
【答案】
(1) $\boxed{75°}$
(2) $\boxed{∠1+∠3=∠2+∠4}$
(3) $\boxed{-1}$
【知识点】
平行线的性质；角度等量代换；代数式定值
【点评】
本题以中国古代天文成果为背景，考查平行线中折线问题的常规解法，既渗透了传统文化，又综合考查了几何推理能力和代数变形能力，解题的核心是掌握过拐点作平行线的辅助线作法，通过平行线性质建立角度的等量关系。
【难度系数】
0.6
10. 如表是几种液体在标准大气压下的沸点：
则沸点最高的液体是(
A.液态氧
B.液态氢
C.液态氮
D.液态氦
则沸点最高的液体是(
A
).A.液态氧
B.液态氢
C.液态氮
D.液态氦
答案
10.A
解析
【分析】
要找出沸点最高的液体，本质是比较表格中四个负数的大小，数值最大的对应的液体就是答案。回忆负数比较大小的规则：两个负数比较，绝对值越大的数反而越小，因此我们可以先求出每个沸点的绝对值，通过比较绝对值的大小来判断原负数的大小，最终找到最大的数即可。
【解析】
首先列出四种液体的沸点：
液态氧沸点为$-183℃$，液态氢沸点为$-253℃$，液态氮沸点为$-196℃$，液态氦沸点为$-268.9℃$。
分别计算各沸点的绝对值：
$\left| -183 \right|=183$，$\left| -253 \right|=253$，$\left| -196 \right|=196$，$\left| -268.9 \right|=268.9$
比较绝对值大小可得：$183＜196＜253＜268.9$
根据负数比较大小的规则：绝对值小的负数更大，因此可得：$-183＞-196＞-253＞-268.9$
即液态氧的沸点最高。
【答案】
A
【知识点】
负数大小比较，绝对值的性质
【点评】
本题结合实际数据考察有理数的大小比较，难度较低，解题关键是熟练掌握负数比较大小的规则，避免和正数大小比较的规律混淆。
【难度系数】
0.9
要找出沸点最高的液体，本质是比较表格中四个负数的大小，数值最大的对应的液体就是答案。回忆负数比较大小的规则：两个负数比较，绝对值越大的数反而越小，因此我们可以先求出每个沸点的绝对值，通过比较绝对值的大小来判断原负数的大小，最终找到最大的数即可。
【解析】
首先列出四种液体的沸点：
液态氧沸点为$-183℃$，液态氢沸点为$-253℃$，液态氮沸点为$-196℃$，液态氦沸点为$-268.9℃$。
分别计算各沸点的绝对值：
$\left| -183 \right|=183$，$\left| -253 \right|=253$，$\left| -196 \right|=196$，$\left| -268.9 \right|=268.9$
比较绝对值大小可得：$183＜196＜253＜268.9$
根据负数比较大小的规则：绝对值小的负数更大，因此可得：$-183＞-196＞-253＞-268.9$
即液态氧的沸点最高。
【答案】
A
【知识点】
负数大小比较，绝对值的性质
【点评】
本题结合实际数据考察有理数的大小比较，难度较低，解题关键是熟练掌握负数比较大小的规则，避免和正数大小比较的规律混淆。
【难度系数】
0.9
11.生物学中,描述、解释和预测种群数量的变化,常常需要建立数学模型.在营养和生存空间没有限制的情况下,某种细胞可通过分裂来繁殖后代,我们就用数学模型$2^n$来表示.即$2^1=2,2^2=4,2^3=8,2^4=16,2^5=32,···$,请你推算$2^{2025}$的个位数字是
2
.答案
11.2
解析
【分析】
要推算$2^{2025}$的个位数字，不需要直接计算高次幂的完整结果，只需观察2的正整数次幂的个位数字变化规律即可。首先列举前几个2的幂的个位数字，找到其循环周期，再用指数2025除以周期得到余数，根据余数就能对应找到$2^{2025}$的个位数字。
【解析】
解：先观察2的正整数次幂的个位数字规律：
$2^1=2$，个位数字是2；
$2^2=4$，个位数字是4；
$2^3=8$，个位数字是8；
$2^4=16$，个位数字是6；
$2^5=32$，个位数字是2；
$2^6=64$，个位数字是4；
……
可得出规律：2的正整数次幂的个位数字以2、4、8、6这4个数字为1个周期循环出现。
计算2025除以周期4的余数：$2025÷4=506······1$，余数为1。
说明$2^{2025}$的个位数字和周期中第1个数字的个位相同，即为2。
【答案】
2
【知识点】
有理数的乘方；数字规律探究
【点评】
本题结合生物种群繁殖的情境考查乘方相关的规律探究问题，解题核心是先找到个位数字的循环周期，再通过余数定位对应的个位数字，能有效锻炼学生的观察能力和归纳推理能力。
【难度系数】
0.8
要推算$2^{2025}$的个位数字，不需要直接计算高次幂的完整结果，只需观察2的正整数次幂的个位数字变化规律即可。首先列举前几个2的幂的个位数字，找到其循环周期，再用指数2025除以周期得到余数，根据余数就能对应找到$2^{2025}$的个位数字。
【解析】
解：先观察2的正整数次幂的个位数字规律：
$2^1=2$，个位数字是2；
$2^2=4$，个位数字是4；
$2^3=8$，个位数字是8；
$2^4=16$，个位数字是6；
$2^5=32$，个位数字是2；
$2^6=64$，个位数字是4；
……
可得出规律：2的正整数次幂的个位数字以2、4、8、6这4个数字为1个周期循环出现。
计算2025除以周期4的余数：$2025÷4=506······1$，余数为1。
说明$2^{2025}$的个位数字和周期中第1个数字的个位相同，即为2。
【答案】
2
【知识点】
有理数的乘方；数字规律探究
【点评】
本题结合生物种群繁殖的情境考查乘方相关的规律探究问题，解题核心是先找到个位数字的循环周期，再通过余数定位对应的个位数字，能有效锻炼学生的观察能力和归纳推理能力。
【难度系数】
0.8
12. 科学家研究发现，水的一个分子的质量大约是$3×10^{-26}\ \mathrm{kg}$，10 g水中大约有多少个水分子？通过进一步研究，科学家又发现，一个水分子是由两个氢原子和一个氧原子构成的。已知一个氧原子的质量约为$2.665×10^{-26}\ \mathrm{kg}$，求一个氢原子的质量。
答案
12.10 g=0.01 kg，$0.01÷(3×10^−26)≈3.333×10^23($个)，(3×10^−26−2.665×10^−26)÷2=1.675×10^−27(kg)。
故10 g水中大约有$3.333×10^23$个水分子，一个氢原子的质量是1.675×10^−27 kg。
故10 g水中大约有$3.333×10^23$个水分子，一个氢原子的质量是1.675×10^−27 kg。
解析
【分析】
要解决这道题分两步思考：第一步求10g水中的水分子个数，我们知道“总质量÷单个分子质量=分子个数”，首先要统一单位，把g换算成kg，再代入公式计算即可。第二步求一个氢原子的质量，根据题意1个水分子由2个氢原子和1个氧原子构成，因此“单个水分子质量=2个氢原子质量+1个氧原子质量”，先用水分子质量减去氧原子质量得到2个氢原子的总质量，再除以2就能算出单个氢原子的质量，计算时注意遵循科学记数法的运算规则。
【解析】
1. 单位换算：$10\ \mathrm{g}=10÷1000=0.01\ \mathrm{kg}$
2. 计算10g水中水分子的个数：
$\mathrm{水分子个数}=\mathrm{水的总质量}÷\mathrm{单个水分子质量}$
代入数据得：
$0.01÷(3×10^{-26})\approx3.333×10^{23}$（个）
3. 计算一个氢原子的质量：
2个氢原子的总质量 = 单个水分子质量 - 单个氧原子质量
代入数据得：
$3×10^{-26}-2.665×10^{-26}=0.335×10^{-26}\ \mathrm{kg}$
单个氢原子质量 = 2个氢原子总质量÷2
即：
$0.335×10^{-26}÷2=1.675×10^{-27}\ \mathrm{kg}$
【答案】
10 g水中大约有$3.333×10^{23}$个水分子，一个氢原子的质量是$1.675×10^{-27}\ \mathrm{kg}$。
【知识点】
科学记数法运算、质量单位换算、有理数除法运算
【点评】
这道题结合科学常识考查基础运算能力，解题核心是先统一单位，再根据数量关系列式计算，运算时要注意科学记数法的指数变化规则，避免粗心导致计算错误。
【难度系数】
0.8
要解决这道题分两步思考：第一步求10g水中的水分子个数，我们知道“总质量÷单个分子质量=分子个数”，首先要统一单位，把g换算成kg，再代入公式计算即可。第二步求一个氢原子的质量，根据题意1个水分子由2个氢原子和1个氧原子构成，因此“单个水分子质量=2个氢原子质量+1个氧原子质量”，先用水分子质量减去氧原子质量得到2个氢原子的总质量，再除以2就能算出单个氢原子的质量，计算时注意遵循科学记数法的运算规则。
【解析】
1. 单位换算：$10\ \mathrm{g}=10÷1000=0.01\ \mathrm{kg}$
2. 计算10g水中水分子的个数：
$\mathrm{水分子个数}=\mathrm{水的总质量}÷\mathrm{单个水分子质量}$
代入数据得：
$0.01÷(3×10^{-26})\approx3.333×10^{23}$（个）
3. 计算一个氢原子的质量：
2个氢原子的总质量 = 单个水分子质量 - 单个氧原子质量
代入数据得：
$3×10^{-26}-2.665×10^{-26}=0.335×10^{-26}\ \mathrm{kg}$
单个氢原子质量 = 2个氢原子总质量÷2
即：
$0.335×10^{-26}÷2=1.675×10^{-27}\ \mathrm{kg}$
【答案】
10 g水中大约有$3.333×10^{23}$个水分子，一个氢原子的质量是$1.675×10^{-27}\ \mathrm{kg}$。
【知识点】
科学记数法运算、质量单位换算、有理数除法运算
【点评】
这道题结合科学常识考查基础运算能力，解题核心是先统一单位，再根据数量关系列式计算，运算时要注意科学记数法的指数变化规则，避免粗心导致计算错误。
【难度系数】
0.8
