13. 将从1开始的连续自然数按以下规律排列：
第1行 1；
第2行 2 3 4；
第3行 5 6 7 8 9；
第4行 10 11 12 13 14 15 16；
第5行 17 18 19 20 21 22 23 24 25；
…
若有序数对$(n,m)$表示第$n$行，从左到右第$m$个数，如$(3,2)$表示6，则表示89的有序数对是().

A.$(10,8)$
B.$(10,16)$
C.$(9,14)$
D.$(9,12)$

13.A

【分析】
解决这道题首先要总结出自然数的排列规律：观察可得第n行的最后一个数是$n^2$，且第n行共有$2n-1$个数。解题时第一步先通过平方数确定89所在的行数：找到小于89的最大平方数，对应的就是上一行的最后一个数，即可确定89的行号n；第二步再计算89在该行从左到右的位置m，就能得到对应的有序数对。
【解析】
步骤1：找排列规律
观察每行末尾的数：第1行末尾是$1=1^2$，第2行末尾是$4=2^2$，第3行末尾是$9=3^2$，以此类推，可得第n行的最后一个数为$n^2$。
步骤2：确定89所在的行数
计算相邻整数的平方：$9^2=81$，$10^2=100$，因为$81＜89＜100$，所以89在第10行。
步骤3：计算89在第10行的位置
第9行最后一个数是81，因此第10行第一个数是$81+1=82$。
从82开始数，89对应的位置是$89-82+1=8$，即第10行从左到右第8个数。
所以表示89的有序数对是$(10,8)$。
【答案】
A
【知识点】
1. 数字排列规律探究
2. 平方数的应用
【点评】
本题属于规律探究类基础题，核心是通过观察归纳出每行末尾数为行数平方的规律，先定位数所在的行，再计算具体位置，侧重考察学生的观察能力和归纳推理能力。
【难度系数】
0.7

14. 如图是由一些火柴棒摆成的图案，按照这种方式摆下去，摆第2025个图案用根火柴棒。 (第14题)

14.8 101

【分析】
首先观察前3个图案的火柴棒数量：第1个图案有5根火柴棒，第2个图案有9根火柴棒，第3个图案有13根火柴棒。可以发现每多1个五边形，火柴棒就增加4根，即图案序号每加1，火柴棒数量加4，由此推导第n个图案的火柴棒数量表达式，再将n=2025代入表达式计算即可得到结果。
【解析】
解：观察图形可得：
第1个图案的火柴棒根数：$ 5 = 4 × 1 + 1 $
第2个图案的火柴棒根数：$ 9 = 4 × 2 + 1 $
第3个图案的火柴棒根数：$ 13 = 4 × 3 + 1 $
……
按此规律，第$ n $个图案的火柴棒根数为$ 4n + 1 $。
当$ n = 2025 $时，$ 4 × 2025 + 1 = 8100 + 1 = 8101 $。
【答案】
8101
【知识点】
图形规律探究，代数式求值
【点评】
本题是典型的图形类规律探究题，解题的核心是通过对前几个简单图形的数量分析，总结出通用的数量变化规律，再代入目标序号计算，掌握规律探究的基本方法即可顺利解答。
【难度系数】
0.7

15. 如图,已知△ABC的面积为1,分别倍长(延长一倍)边AB,BC,CA得到△A₁B₁C₁,再分别倍长边A₁B₁,B₁C₁,C₁A₁得到△A₂B₂C₂,…,按此规律,倍长2025次后得到的△A₂₀₂₅B₂₀₂₅C₂₀₂₅的面积为。

$15.7^2025$

【分析】
要解决这道题，我们可以从简单情况入手推导规律：先利用等底等高的三角形面积相等的性质，求出第一次倍长后三角形的面积，再对比每次倍长前后的面积关系，总结出通用规律，最后代入次数计算结果。
【解析】
已知初始△ABC的面积$S_0=1$。
1. 计算第一次倍长后$△ A_1B_1C_1$的面积：
连接$AB_1$、$BC_1$、$CA_1$，由于是倍长三角形的边，所以相邻的小三角形均和$△ ABC$等底等高，面积都为1。计数可得$△ A_1B_1C_1$共包含7个面积为1的三角形，即$S_1=7=7^1$。
2. 总结面积变化规律：
同理，第二次倍长得到$△ A_2B_2C_2$时，它的面积是$△ A_1B_1C_1$面积的7倍，即$S_2=7× S_1=7^2$。
由此可推出规律：每倍长1次，新三角形的面积是前一个三角形面积的7倍，倍长$n$次后，三角形面积$S_n=7^n$。
3. 代入$n=2025$：
倍长2025次后，$△ A_{2025}B_{2025}C_{2025}$的面积为$7^{2025}$。
【答案】
$7^{2025}$
【知识点】
等底等高三角形面积相等，规律探究，三角形面积计算
【点评】
本题是典型的图形规律探究题，解题关键是先求出前几次倍长后的面积，找到每次面积扩大为原来7倍的规律，再套用规律求解，侧重考查归纳推理能力。
【难度系数】
0.6

16. 如图(1),OC平分∠AOB,OD是∠BOC内部从点O出发的一条射线,OE平分∠AOD.
[基础尝试](1)如图(2),若∠AOB=120°,∠COD=10°,求∠DOE的度数;
[画图探究](2)设∠COE=x°,用含x的代数式表示∠BOD的度数;
[拓展运用](3)若∠COE与∠BOD互余,∠AOB与∠COD互补,求∠AOB的度数.

16.(1)
∵OC平分∠AOB，∠AOB=120°，
∴∠AOC=∠COB=60°。
∵∠COD=10°，
∴∠AOD=60°+10°=70°。
∵OE平分∠AOD，
∴∠DOE=1/2∠AOD=35°。
(2)
∵OC平分∠AOB，OE平分∠AOD，
∴∠AOC=1/2∠AOB，∠AOE=1/2∠AOD。
∵∠COE=x°，
∴∠AOC−∠AOE=1/2(∠AOB−∠AOD)=x°，
即1/2∠BOD=x°，
∴∠BOD=2x°。
(3)由(2)，得∠BOD=2∠COE。
∵∠COE与∠BOD互余，即∠COE+∠BOD=90°，
∴∠COE=30°，∠BOD=60°。
∵∠AOB与∠COD互补，
∴∠AOB+∠COD=180°。
∵∠COD=1/2∠AOB−∠BOD=1/2∠AOB−60°，
∴∠AOB+1/2∠AOB−60°=180°，
∴∠AOB=160°。

【分析】
(1) 先利用角平分线的性质求出∠AOC的度数，再结合已知的∠COD度数，通过角的和差关系得到∠AOD的度数，最后再次利用角平分线的性质计算∠DOE即可。
(2) 先根据角平分线的定义，分别将∠AOC、∠AOE用∠AOB、∠AOD表示，再将∠COE转化为∠AOC与∠AOE的差，整理后即可找到∠BOD和x的数量关系。
(3) 先借助第(2)问的结论，结合互余的定义求出∠COE和∠BOD的度数，再根据互补的定义，把∠COD用含∠AOB的式子表示，列方程求解即可得到∠AOB的度数。
【解析】
(1)
∵OC平分∠AOB，∠AOB=120°，
∴∠AOC=∠COB=$\frac{1}{2}$∠AOB=60°。
∵∠COD=10°，
∴∠AOD=∠AOC+∠COD=60°+10°=70°。
∵OE平分∠AOD，
∴∠DOE=$\frac{1}{2}$∠AOD=$\frac{1}{2}$×70°=35°。
(2)
∵OC平分∠AOB，OE平分∠AOD，
∴∠AOC=$\frac{1}{2}$∠AOB，∠AOE=$\frac{1}{2}$∠AOD。
∵∠COE=∠AOC - ∠AOE=x°，
∴$\frac{1}{2}$∠AOB - $\frac{1}{2}$∠AOD = $\frac{1}{2}$(∠AOB - ∠AOD)=x°，
又
∵∠AOB - ∠AOD=∠BOD，
∴$\frac{1}{2}$∠BOD=x°，即∠BOD=2x°。
(3) 由(2)的结论可得∠BOD=2∠COE，
∵∠COE与∠BOD互余，
∴∠COE + ∠BOD=90°，
将∠BOD=2∠COE代入得：∠COE + 2∠COE=90°，
解得∠COE=30°，∠BOD=60°。
∵∠AOB与∠COD互补，
∴∠AOB + ∠COD=180°。
又
∵OC平分∠AOB，
∴∠BOC=$\frac{1}{2}$∠AOB，
∴∠COD=∠BOC - ∠BOD=$\frac{1}{2}$∠AOB - 60°，
代入互补的等式得：∠AOB + $\frac{1}{2}$∠AOB - 60°=180°，
合并同类项得：$\frac{3}{2}$∠AOB=240°，
解得∠AOB=160°。
【答案】
(1) $\boxed{35°}$；(2) $\boxed{∠BOD=2x°}$；(3) $\boxed{160°}$
【知识点】
角平分线定义，余角补角定义，角的和差运算
【点评】
本题属于角的计算综合题，设问由浅入深，从基础的角度计算到规律探究，再到结合数量关系列方程求解，既考查了角相关性质的基础运用，也锻炼了逻辑推理和数形结合的解题能力。
【难度系数】
0.65