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1. (2024·绍兴市柯桥区期末)分式$\dfrac{1}{3y^2}$和$\dfrac{1}{2y}$的最简公分母是 （
A.$\dfrac{1}{6y^2}$
B.$3y^2$
C.$6y^2$
D.$6y^3$
C
）A.$\dfrac{1}{6y^2}$
B.$3y^2$
C.$6y^2$
D.$6y^3$
答案
C
解析
【分析】求两个分式的最简公分母，需按规则分步确定：先取各分母系数的最小公倍数，再取相同字母的最高次幂，最后将两者相乘得到结果。本题中两个分式的分母分别为$3y^2$和$2y$，按上述规则计算即可得出答案。
【解析】要确定分式$\dfrac{1}{3y^2}$和$\dfrac{1}{2y}$的最简公分母：
1. 计算分母系数的最小公倍数：分母系数为3和2，最小公倍数是6；
2. 确定相同字母的最高次幂：两个分母都含字母$y$，$y$的最高次幂是2次；
3. 组合得到最简公分母：$6 × y^2 = 6y^2$，对应选项C。
【答案】C
【知识点】分式的最简公分母
【点评】本题考查分式最简公分母的确定方法，属于基础题型，核心是掌握系数最小公倍数和字母最高次幂的选取规则，难度较低。
【难度系数】0.8
【解析】要确定分式$\dfrac{1}{3y^2}$和$\dfrac{1}{2y}$的最简公分母：
1. 计算分母系数的最小公倍数：分母系数为3和2，最小公倍数是6；
2. 确定相同字母的最高次幂：两个分母都含字母$y$，$y$的最高次幂是2次；
3. 组合得到最简公分母：$6 × y^2 = 6y^2$，对应选项C。
【答案】C
【知识点】分式的最简公分母
【点评】本题考查分式最简公分母的确定方法，属于基础题型，核心是掌握系数最小公倍数和字母最高次幂的选取规则，难度较低。
【难度系数】0.8
2. (2025·杭州市上城区期末)下列各式从左到右的变形中,正确的是
(
A.$\dfrac{1}{x} + 1 = 1 + x^2$
B.$\dfrac{x}{y} = \dfrac{x + 1}{y + 1}$
C.$\dfrac{x}{y} = \dfrac{3x}{3y}$
D.$\dfrac{-3x + 2}{4y - 2} = -\dfrac{3x + 2}{4y - 2}$
(
C
)A.$\dfrac{1}{x} + 1 = 1 + x^2$
B.$\dfrac{x}{y} = \dfrac{x + 1}{y + 1}$
C.$\dfrac{x}{y} = \dfrac{3x}{3y}$
D.$\dfrac{-3x + 2}{4y - 2} = -\dfrac{3x + 2}{4y - 2}$
答案
C
解析
【分析】本题考查分式的基本性质，需依据“分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变”这一规则，逐一判断各选项的变形是否正确，排除错误选项即可得到答案。
【解析】根据分式的基本性质逐一分析选项：
选项A：左边$\frac{1}{x}+1=\frac{1+x}{x}$，与右边$1+x^2$不相等，变形错误；
选项B：分式的分子分母同时加1，不符合分式基本性质，例如取$x=1,y=2$，左边$\frac{1}{2}$，右边$\frac{2}{3}$，不相等，变形错误；
选项C：分子分母同时乘以不为0的整式3，符合分式基本性质，$\frac{x}{y}=\frac{3x}{3y}$，变形正确；
选项D：分子提取负号应为$\frac{-3x+2}{4y-2}=-\frac{3x-2}{4y-2}$，与右边$-\frac{3x+2}{4y-2}$不相等，变形错误。
【答案】C
【知识点】分式的基本性质
【点评】本题是分式基本性质的基础应用题，易错点在于混淆分式变形规则（如分子分母同加一个数、符号处理错误），需牢记分式变形仅能同乘/除不为0的整式，属于易得分的基础题。
【难度系数】0.8
【解析】根据分式的基本性质逐一分析选项：
选项A：左边$\frac{1}{x}+1=\frac{1+x}{x}$，与右边$1+x^2$不相等，变形错误；
选项B：分式的分子分母同时加1，不符合分式基本性质，例如取$x=1,y=2$，左边$\frac{1}{2}$，右边$\frac{2}{3}$，不相等，变形错误；
选项C：分子分母同时乘以不为0的整式3，符合分式基本性质，$\frac{x}{y}=\frac{3x}{3y}$，变形正确；
选项D：分子提取负号应为$\frac{-3x+2}{4y-2}=-\frac{3x-2}{4y-2}$，与右边$-\frac{3x+2}{4y-2}$不相等，变形错误。
【答案】C
【知识点】分式的基本性质
【点评】本题是分式基本性质的基础应用题，易错点在于混淆分式变形规则（如分子分母同加一个数、符号处理错误），需牢记分式变形仅能同乘/除不为0的整式，属于易得分的基础题。
【难度系数】0.8
3. (2025·绍兴市嵊州市期末)将关于$x$的方程$\dfrac{x+1}{x-3}=\dfrac{2}{3-x}-1$去分母后可得 （
A.$x+1=2-1$
B.$x+1=2-x-3$
C.$x+1=-2-1$
D.$x+1=-2-x+3$
D
）A.$x+1=2-1$
B.$x+1=2-x-3$
C.$x+1=-2-1$
D.$x+1=-2-x+3$
答案
D
解析
【分析】要解决这道题，需掌握分式方程去分母的方法：首先确定最简公分母，注意分母的符号变换（$3-x$与$x-3$互为相反数），再根据等式的性质，给方程两边每一项都乘以最简公分母，同时处理好各项符号，避免漏乘或符号错误。
【解析】原方程为$\dfrac{x+1}{x-3}=\dfrac{2}{3-x}-1$，先将右边分母$3-x$变形为$-(x-3)$，方程变为$\dfrac{x+1}{x-3}=-\dfrac{2}{x-3}-1$。去分母时，方程两边同时乘以最简公分母$(x-3)$，每一项都需乘：
左边：$\dfrac{x+1}{x-3} × (x-3) = x+1$；
右边第一项：$-\dfrac{2}{x-3} × (x-3) = -2$；
右边第二项：$-1 × (x-3) = -x + 3$；
因此去分母后可得$x+1=-2 -x +3$，对应选项D。
【答案】D
【知识点】分式方程去分母、等式的性质
【点评】本题考查分式方程去分母的基础操作，核心是处理分母的符号变换和去分母时的漏乘问题，属于分式方程的基础题型，需细心计算避免符号错误。
【难度系数】0.7
【解析】原方程为$\dfrac{x+1}{x-3}=\dfrac{2}{3-x}-1$，先将右边分母$3-x$变形为$-(x-3)$，方程变为$\dfrac{x+1}{x-3}=-\dfrac{2}{x-3}-1$。去分母时，方程两边同时乘以最简公分母$(x-3)$，每一项都需乘：
左边：$\dfrac{x+1}{x-3} × (x-3) = x+1$；
右边第一项：$-\dfrac{2}{x-3} × (x-3) = -2$；
右边第二项：$-1 × (x-3) = -x + 3$；
因此去分母后可得$x+1=-2 -x +3$，对应选项D。
【答案】D
【知识点】分式方程去分母、等式的性质
【点评】本题考查分式方程去分母的基础操作，核心是处理分母的符号变换和去分母时的漏乘问题，属于分式方程的基础题型，需细心计算避免符号错误。
【难度系数】0.7
4. (2025·绍兴市嵊州市期末)已知$\dfrac{x}{y}=\dfrac{1}{3}$，则分式$\dfrac{x^2+y^2}{y^2}$的值是（
A.$10$
B.$\dfrac{4}{3}$
C.$\dfrac{10}{9}$
D.$4$
C
）A.$10$
B.$\dfrac{4}{3}$
C.$\dfrac{10}{9}$
D.$4$
答案
C
解析
【分析】
要解决这个问题，已知两个变量的比值，求分式的值，可先对目标分式拆分变形，利用已知比例关系直接代入计算，简化求解过程。具体思路：将分式$\dfrac{x^2+y^2}{y^2}$拆分为$(\dfrac{x}{y})^2 +1$，再代入$\dfrac{x}{y}=\dfrac{1}{3}$即可算出结果。
【解析】
对目标分式进行化简变形：
$\dfrac{x^2+y^2}{y^2} = \dfrac{x^2}{y^2} + \dfrac{y^2}{y^2} = (\dfrac{x}{y})^2 +1$
已知$\dfrac{x}{y}=\dfrac{1}{3}$，代入上式得：
$(\dfrac{1}{3})^2 +1 = \dfrac{1}{9} +1 = \dfrac{10}{9}$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
分式化简求值、比例的性质
【点评】
本题是分式求值的基础题，核心是利用已知比例关系拆分分式，避免复杂计算，解题思路清晰，适合巩固分式化简的基本方法。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，已知两个变量的比值，求分式的值，可先对目标分式拆分变形，利用已知比例关系直接代入计算，简化求解过程。具体思路：将分式$\dfrac{x^2+y^2}{y^2}$拆分为$(\dfrac{x}{y})^2 +1$，再代入$\dfrac{x}{y}=\dfrac{1}{3}$即可算出结果。
【解析】
对目标分式进行化简变形：
$\dfrac{x^2+y^2}{y^2} = \dfrac{x^2}{y^2} + \dfrac{y^2}{y^2} = (\dfrac{x}{y})^2 +1$
已知$\dfrac{x}{y}=\dfrac{1}{3}$，代入上式得：
$(\dfrac{1}{3})^2 +1 = \dfrac{1}{9} +1 = \dfrac{10}{9}$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
分式化简求值、比例的性质
【点评】
本题是分式求值的基础题，核心是利用已知比例关系拆分分式，避免复杂计算，解题思路清晰，适合巩固分式化简的基本方法。
【难度系数】
0.8
5. 如果将分式$\dfrac{x}{x+y}$中的字母$x,y$的值分别扩大为原来的3倍，那么分式的值 （
A.不改变
B.扩大为原来的3倍
C.缩小为原来的6倍
D.缩小为原来的3倍
A
）A.不改变
B.扩大为原来的3倍
C.缩小为原来的6倍
D.缩小为原来的3倍
答案
A
解析
【分析】
本题考查分式的基本性质，解题思路是：根据题意将扩大3倍后的x、y代入原分式，通过化简新分式，对比原分式的值，判断分式的变化情况。
【解析】
原分式为$\dfrac{x}{x+y}$，当x、y分别扩大为原来的3倍时，新的分子为$3x$，新的分母为$3x + 3y$，则新分式为：
$\dfrac{3x}{3x + 3y} = \dfrac{3x}{3(x + y)} = \dfrac{x}{x + y}$
新分式与原分式的值相等，因此分式的值不改变。
【答案】
A
【知识点】
分式的基本性质
【点评】
本题是分式基本性质的基础应用，核心是掌握“分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变”，属于易得分的基础题。
【难度系数】
0.9
本题考查分式的基本性质，解题思路是：根据题意将扩大3倍后的x、y代入原分式，通过化简新分式，对比原分式的值，判断分式的变化情况。
【解析】
原分式为$\dfrac{x}{x+y}$，当x、y分别扩大为原来的3倍时，新的分子为$3x$，新的分母为$3x + 3y$，则新分式为：
$\dfrac{3x}{3x + 3y} = \dfrac{3x}{3(x + y)} = \dfrac{x}{x + y}$
新分式与原分式的值相等，因此分式的值不改变。
【答案】
A
【知识点】
分式的基本性质
【点评】
本题是分式基本性质的基础应用，核心是掌握“分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变”，属于易得分的基础题。
【难度系数】
0.9
6.某人从A地到B地的速度为$v_1$，从B地返回A地的速度为$v_2$，若$v_1 ≠ v_2$，则此人从A地到B地往返一次的平均速度是 （
A.$\dfrac{v_1 + v_2}{2v_1v_2}$
B.$\dfrac{v_1 + v_2}{2}$
C.$\dfrac{2v_1v_2}{v_1 + v_2}$
D.以上都不对
C
）A.$\dfrac{v_1 + v_2}{2v_1v_2}$
B.$\dfrac{v_1 + v_2}{2}$
C.$\dfrac{2v_1v_2}{v_1 + v_2}$
D.以上都不对
答案
C
解析
【分析】
要解决往返平均速度的问题，需牢记平均速度的定义：平均速度等于总路程与总时间的比值，而非速度的算术平均值。解题时先设A、B两地的路程为$ s $，分别计算往返的时间，再代入平均速度公式计算，最后对比选项得出答案。
【解析】
设A地到B地的路程为$ s $，则往返一次的总路程为$ 2s $。
从A到B的时间：$ t_1 = \frac{s}{v_1} $，从B返回A的时间：$ t_2 = \frac{s}{v_2} $，
往返总时间：$ t = t_1 + t_2 = \frac{s}{v_1} + \frac{s}{v_2} = s · \frac{v_1 + v_2}{v_1v_2} $，
根据平均速度公式$ \bar{v} = \frac{总路程}{总时间} $，代入得：
$ \bar{v} = \frac{2s}{s · \frac{v_1 + v_2}{v_1v_2}} = \frac{2v_1v_2}{v_1 + v_2} $，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
平均速度计算、分式运算
【点评】
本题考查平均速度的核心概念，易错点在于误将速度的算术平均值当作往返平均速度，需严格依据“总路程÷总时间”的公式计算，是基础题型，需准确掌握公式应用。
【难度系数】
0.6
要解决往返平均速度的问题，需牢记平均速度的定义：平均速度等于总路程与总时间的比值，而非速度的算术平均值。解题时先设A、B两地的路程为$ s $，分别计算往返的时间，再代入平均速度公式计算，最后对比选项得出答案。
【解析】
设A地到B地的路程为$ s $，则往返一次的总路程为$ 2s $。
从A到B的时间：$ t_1 = \frac{s}{v_1} $，从B返回A的时间：$ t_2 = \frac{s}{v_2} $，
往返总时间：$ t = t_1 + t_2 = \frac{s}{v_1} + \frac{s}{v_2} = s · \frac{v_1 + v_2}{v_1v_2} $，
根据平均速度公式$ \bar{v} = \frac{总路程}{总时间} $，代入得：
$ \bar{v} = \frac{2s}{s · \frac{v_1 + v_2}{v_1v_2}} = \frac{2v_1v_2}{v_1 + v_2} $，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
平均速度计算、分式运算
【点评】
本题考查平均速度的核心概念，易错点在于误将速度的算术平均值当作往返平均速度，需严格依据“总路程÷总时间”的公式计算，是基础题型，需准确掌握公式应用。
【难度系数】
0.6
7.对于分式$\frac{x^2 - 9}{x + 3}$，下列说法错误的是 （
A.当$x=\pm 3$时，分式的值为0
B.当$x=-3$时，分式无意义
C.当$x=-4$时，分式的值为$-7$
D.当$x＞3$时，分式的值为正数
A
）A.当$x=\pm 3$时，分式的值为0
B.当$x=-3$时，分式无意义
C.当$x=-4$时，分式的值为$-7$
D.当$x＞3$时，分式的值为正数
答案
A
解析
【分析】
要解决本题，需掌握分式的核心概念：分式有意义的条件是分母不为0，分式值为0需同时满足分子为0且分母不为0，同时可先对分式化简（注意分母的限制），再逐个分析选项判断对错，找出错误选项。
【解析】
先对分式化简：$\frac{x^2 -9}{x+3} = \frac{(x+3)(x-3)}{x+3} = x-3$（$x≠-3$，分母不能为0）。
逐个分析选项：
选项A：当$x=3$时，分子$3^2 -9=0$，分母$3+3=6≠0$，分式值为0；但当$x=-3$时，分母为0，分式无意义，不存在值，因此“当$x=±3$时，分式的值为0”说法错误。
选项B：当$x=-3$时，分母为0，分式无意义，说法正确。
选项C：当$x=-4$时，代入原式，分子$(-4)^2 -9=7$，分母$-4+3=-1$，分式值为$7÷(-1)=-7$，说法正确。
选项D：当$x＞3$时，化简后分式为$x-3$，$x＞3$则$x-3＞0$，分式值为正数，说法正确。
综上，错误的说法是A。
【答案】
A
【知识点】
分式的值为0的条件、分式有意义的条件、分式的化简
【点评】
本题考查分式的基础概念，关键是明确分式值为0需同时满足分子为0且分母不为0，易忽略$x=-3$时分式无意义而误判A选项，属于概念辨析类基础题。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需掌握分式的核心概念：分式有意义的条件是分母不为0，分式值为0需同时满足分子为0且分母不为0，同时可先对分式化简（注意分母的限制），再逐个分析选项判断对错，找出错误选项。
【解析】
先对分式化简：$\frac{x^2 -9}{x+3} = \frac{(x+3)(x-3)}{x+3} = x-3$（$x≠-3$，分母不能为0）。
逐个分析选项：
选项A：当$x=3$时，分子$3^2 -9=0$，分母$3+3=6≠0$，分式值为0；但当$x=-3$时，分母为0，分式无意义，不存在值，因此“当$x=±3$时，分式的值为0”说法错误。
选项B：当$x=-3$时，分母为0，分式无意义，说法正确。
选项C：当$x=-4$时，代入原式，分子$(-4)^2 -9=7$，分母$-4+3=-1$，分式值为$7÷(-1)=-7$，说法正确。
选项D：当$x＞3$时，化简后分式为$x-3$，$x＞3$则$x-3＞0$，分式值为正数，说法正确。
综上，错误的说法是A。
【答案】
A
【知识点】
分式的值为0的条件、分式有意义的条件、分式的化简
【点评】
本题考查分式的基础概念，关键是明确分式值为0需同时满足分子为0且分母不为0，易忽略$x=-3$时分式无意义而误判A选项，属于概念辨析类基础题。
【难度系数】
0.5
