24. (12分)(2024·杭州市临平区期末)如果一个多项式不是完全平方式,我们常做如下变形:先添加一个适当的项,使式子中出现完全平方式,再减去这个项,使整个式子的值不变,这种方法叫作配方法。配方法是一种重要的解决问题的数学方法,能解决一些与非负数有关的问题。如:求代数式的最大值或最小值等。求代数式$x^2+2x+2$的最小值,同学们经过探究、合作、交流,最后得到如下解法:
解 : $x^2+2x+2=(x^2+2x+1^2-1^2)+2=(x+1)^2+1$。因为$(x+1)^2$是非负数,所以当$(x+1)^2=0$时,$(x+1)^2+1$的值最小,最小值为1,所以$x^2+2x+2$的最小值是1。
请你根据上述方法,解答下列问题:
(1)求代数式$y^2-6y+11$的最小值。
(2)求代数式$2a^2+8a+5$的最小值。
(3)若$x-y=1$,求$-x^2-3x-y$的最大值。

24.(1)解:原式$= y^2 - 6y + 9 + 2 = (y - 3)^2 + 2$。因为$(y - 3)^2$是非负数,所以当$(y - 3)^2 = 0$时,$(y - 3)^2 + 2$的值最小,最小值是2,所以$y^2 - 6y + 11$的最小值是2。
(2)解:原式$= 2(a^2 + 4a) + 5 = 2(a^2 + 4a + 4 - 4) + 5 = 2(a + 2)^2 - 8 + 5 = 2(a + 2)^2 - 3$。因为$2(a + 2)^2$是非负数,所以$2(a + 2)^2 - 3$的最小值是$-3$,所以$2a^2 + 8a + 5$的最小值是$-3$。
(3)解:因为$x - y = 1$,所以$y = x - 1$,所以原式$= -x^2 - 3x - x + 1 = -x^2 - 4x + 1 = -(x^2 + 4x) + 1 = -(x^2 + 4x + 4) + 4 + 1 = -(x + 2)^2 + 5$。因为$-(x + 2)^2 ≤ 0$,所以$-(x + 2)^2 + 5 ≤ 5$,所以$-x^2 - 3x - y$的最大值是5。

【分析】
本题核心是利用配方法将二次多项式转化为“完全平方式±常数”的形式，结合完全平方式的非负性求代数式的最值。具体思路：①二次项系数为1时，直接添加一次项系数一半的平方完成配方；②二次项系数不为1时，先提取二次项系数再配方；③含两个变量时，先通过已知条件消元转化为单变量二次式，再结合完全平方式性质求最值。
【解析】
(1) 对$y^2 - 6y + 11$配方：
原式$= y^2 - 6y + 9 + 2 = (y - 3)^2 + 2$。
因为$(y - 3)^2 ≥ 0$，当$(y - 3)^2 = 0$时，$(y - 3)^2 + 2$取最小值$2$，故该代数式最小值为$2$。
(2) 对$2a^2 + 8a + 5$配方：
原式$= 2(a^2 + 4a) + 5 = 2[(a^2 + 4a + 4) - 4] + 5 = 2(a + 2)^2 - 8 + 5 = 2(a + 2)^2 - 3$。
因为$2(a + 2)^2 ≥ 0$，当$(a + 2)^2 = 0$时，$2(a + 2)^2 - 3$取最小值$-3$，故该代数式最小值为$-3$。
(3) 由$x - y = 1$得$y = x - 1$，代入代数式：
原式$= -x^2 - 3x - (x - 1) = -x^2 - 4x + 1 = -(x^2 + 4x) + 1 = -[(x + 2)^2 - 4] + 1 = -(x + 2)^2 + 5$。
因为$-(x + 2)^2 ≤ 0$，当$(x + 2)^2 = 0$时，$-(x + 2)^2 + 5$取最大值$5$，故该代数式最大值为$5$。
【答案】
(1) 最小值是2；(2) 最小值是-3；(3) 最大值是5。
【知识点】
配方法求代数式最值、完全平方式的非负性
【点评】
本题是配方法的典型应用，考察配方步骤的掌握及利用完全平方式性质求最值的能力，第三小问结合代入消元，是初中代数的基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6