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8.(2025·金华市义乌市期末)茅洲河经过治理,实现了水清、岸绿、景美。某工程队承担茅洲河某段3 000米河道的清淤任务,为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响,实际施工时每天的工效比原计划增加25%,结果提前30天完成这一任务。设原计划每天完成x米的清淤任务,则所列方程正确的是 (
A.$\dfrac{3\,000}{x}+30=\dfrac{3\,000}{(1+25\%)x}$
B.$\dfrac{3\,000}{x}+30=\dfrac{3\,000}{(1-25\%)x}$
C.$\dfrac{3\,000}{x}=\dfrac{3\,000}{(1-25\%)x}+30$
D.$\dfrac{3\,000}{x}=\dfrac{3\,000}{(1+25\%)x}+30$
D
)A.$\dfrac{3\,000}{x}+30=\dfrac{3\,000}{(1+25\%)x}$
B.$\dfrac{3\,000}{x}+30=\dfrac{3\,000}{(1-25\%)x}$
C.$\dfrac{3\,000}{x}=\dfrac{3\,000}{(1-25\%)x}+30$
D.$\dfrac{3\,000}{x}=\dfrac{3\,000}{(1+25\%)x}+30$
答案
D
解析
【分析】
解决这类工程问题的关键是明确工作时间、工作总量、工作效率的关系：工作时间=工作总量÷工作效率。本题中，总清淤任务为3000米，先分别表示出原计划和实际的工作时间，再根据“提前30天完成”的条件，理清两者的时间关系，进而列出方程。
【解析】
根据工作时间=工作总量÷工作效率：
1. 原计划每天完成x米，原计划完成任务的时间为$\frac{3000}{x}$天；
2. 实际工效比原计划增加25%，则实际每天效率为$(1+25\%)x$米，实际完成任务的时间为$\frac{3000}{(1+25\%)x}$天；
3. 因提前30天完成，说明原计划时间比实际时间多30天，因此列方程：$\frac{3000}{x} = \frac{3000}{(1+25\%)x} + 30$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
分式方程的应用；工程问题
【点评】
本题是工程背景下的分式方程应用题，核心是准确构建原计划与实际的时间关系，避免混淆时间差的对应逻辑，属于基础题型，考查学生对工程问题数量关系的理解和方程构建能力。
【难度系数】
0.7
解决这类工程问题的关键是明确工作时间、工作总量、工作效率的关系：工作时间=工作总量÷工作效率。本题中，总清淤任务为3000米，先分别表示出原计划和实际的工作时间，再根据“提前30天完成”的条件，理清两者的时间关系，进而列出方程。
【解析】
根据工作时间=工作总量÷工作效率：
1. 原计划每天完成x米，原计划完成任务的时间为$\frac{3000}{x}$天；
2. 实际工效比原计划增加25%，则实际每天效率为$(1+25\%)x$米，实际完成任务的时间为$\frac{3000}{(1+25\%)x}$天；
3. 因提前30天完成，说明原计划时间比实际时间多30天，因此列方程：$\frac{3000}{x} = \frac{3000}{(1+25\%)x} + 30$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
分式方程的应用；工程问题
【点评】
本题是工程背景下的分式方程应用题，核心是准确构建原计划与实际的时间关系，避免混淆时间差的对应逻辑，属于基础题型，考查学生对工程问题数量关系的理解和方程构建能力。
【难度系数】
0.7
9. (2025·绍兴市绍初教育集团期末)已知关于$x$的分式方程$\dfrac{x+m}{x-3}-1=\dfrac{1}{x}$无解，则$m$的值是（
A.$-2$或$-3$
B.$0$或$3$
C.$-3$或$3$
D.$-3$或$0$
A
）A.$-2$或$-3$
B.$0$或$3$
C.$-3$或$3$
D.$-3$或$0$
答案
【解析】方程的两边同乘$x(x-3)$,得$x(x+m)-x(x-3)=x-3$,整理,得$(m+2)x=-3$,解得$x=-\dfrac{3}{m+2}$。①当$m+2=0$,即$m=-2$时,整式方程无解,即分式方程无解;②因为关于$x$的分式方程$\dfrac{x+m}{x-3}-1=\dfrac{1}{x}$无解,所以$-\dfrac{3}{m+2}=0$或$-\dfrac{3}{m+2}=3$,解得$m=-3$。综上所述,$m$的值是$-2$或$-3$。
解析
【分析】
要解决分式方程无解的问题，需明确分式方程无解的两种核心情形：①去分母后得到的整式方程本身无解；②整式方程的解是原分式方程的增根（即使原分式方程分母为0的x值）。解题时先将分式方程转化为整式方程，再分上述两种情况讨论，计算对应的m值即可。
【解析】
解：给分式方程$\dfrac{x+m}{x-3}-1=\dfrac{1}{x}$两边同乘最简公分母$x(x-3)$，去分母得：
$x(x+m) - x(x-3) = x - 3$
展开并整理左边：$x^2 + mx - x^2 + 3x = (m+2)x$，因此整式方程为：
$(m+2)x = -3$
接下来分情况讨论：
1. 当整式方程本身无解时，即系数为0，此时$m+2=0$，解得$m=-2$，此时整式方程无解，故原分式方程无解；
2. 当整式方程有解，但该解是原分式方程的增根时，原分式方程的增根为使分母为0的x值，即$x=0$或$x=3$。
若$x=0$，代入整式方程得：$(m+2)×0=-3$，显然不成立，故$x=0$不可能是增根；
若$x=3$，代入整式方程得：$(m+2)×3=-3$，解得$m=-3$，此时整式方程的解为$x=3$，是原方程的增根，故原分式方程无解。
综上，$m$的值为$-2$或$-3$。
【答案】A
【知识点】分式方程无解的条件，分式方程的解法
【点评】本题考查分式方程无解的两种情况，需注意区分“整式方程无解”和“整式方程的解为增根”两种情形，避免漏解，是分式方程相关的典型考题。
【难度系数】0.5
要解决分式方程无解的问题，需明确分式方程无解的两种核心情形：①去分母后得到的整式方程本身无解；②整式方程的解是原分式方程的增根（即使原分式方程分母为0的x值）。解题时先将分式方程转化为整式方程，再分上述两种情况讨论，计算对应的m值即可。
【解析】
解：给分式方程$\dfrac{x+m}{x-3}-1=\dfrac{1}{x}$两边同乘最简公分母$x(x-3)$，去分母得：
$x(x+m) - x(x-3) = x - 3$
展开并整理左边：$x^2 + mx - x^2 + 3x = (m+2)x$，因此整式方程为：
$(m+2)x = -3$
接下来分情况讨论：
1. 当整式方程本身无解时，即系数为0，此时$m+2=0$，解得$m=-2$，此时整式方程无解，故原分式方程无解；
2. 当整式方程有解，但该解是原分式方程的增根时，原分式方程的增根为使分母为0的x值，即$x=0$或$x=3$。
若$x=0$，代入整式方程得：$(m+2)×0=-3$，显然不成立，故$x=0$不可能是增根；
若$x=3$，代入整式方程得：$(m+2)×3=-3$，解得$m=-3$，此时整式方程的解为$x=3$，是原方程的增根，故原分式方程无解。
综上，$m$的值为$-2$或$-3$。
【答案】A
【知识点】分式方程无解的条件，分式方程的解法
【点评】本题考查分式方程无解的两种情况，需注意区分“整式方程无解”和“整式方程的解为增根”两种情形，避免漏解，是分式方程相关的典型考题。
【难度系数】0.5
10. (2024·杭州市钱塘区期末) 真实情境 甲、乙两人前后两次同时在同一家超市购买大米,前后两次购买大米的价格每千克分别为m元和n元(m,n为不相等的正数)。若甲每次购买p千克大米,乙每次花p元钱购买大米(p为正数),则甲、乙两人的购买方式,平均价格更低的是 (
A.甲
B.乙
C.甲、乙一样
D.不确定
B
)A.甲
B.乙
C.甲、乙一样
D.不确定
答案
【解析】由题意,得甲两次购买大米每千克的平均价格为$\dfrac{mp+np}{p+p}=\dfrac{m+n}{2}$元,乙两次购买大米每千克的平均价格为$\dfrac{p+p}{\dfrac{p}{m}+\dfrac{p}{n}}=2p×\dfrac{mn}{mp+np}=\dfrac{2mn}{m+n}$元。因为$\dfrac{m+n}{2}-\dfrac{2mn}{m+n}=\dfrac{(m+n)^2-4mn}{2(m+n)}=\dfrac{(m-n)^2}{2(m+n)}$,又因为$m≠ n$,所以$\dfrac{m+n}{2}-\dfrac{2mn}{m+n}=\dfrac{(m-n)^2}{2(m+n)}＞0$,即$\dfrac{m+n}{2}＞\dfrac{2mn}{m+n}$,所以乙的购买方式的平均价格更低。
解析
【分析】
要判断甲、乙谁的购买方式平均价格更低，需先根据“平均价格=总花费÷总重量”分别计算两人两次购买大米的平均价格，再通过作差法比较两个平均价格的大小，结合已知条件判断差的正负，进而得出结论。
【解析】
由题意，甲两次购买大米的总花费为$mp + np$元，总重量为$p + p = 2p$千克，因此甲的平均价格为：
$\frac{mp + np}{2p} = \frac{m + n}{2}$（元/千克）；
乙两次购买大米的总花费为$p + p = 2p$元，总重量为$\frac{p}{m} + \frac{p}{n}$千克，因此乙的平均价格为：
$\frac{2p}{\frac{p}{m} + \frac{p}{n}} = \frac{2p}{\frac{p(m + n)}{mn}} = \frac{2mn}{m + n}$（元/千克）；
比较两者大小，作差得：
$\frac{m + n}{2} - \frac{2mn}{m + n} = \frac{(m + n)^2 - 4mn}{2(m + n)} = \frac{(m - n)^2}{2(m + n)}$；
因为$m$、$n$为不相等的正数，所以$(m - n)^2 ＞ 0$，$2(m + n) ＞ 0$，因此$\frac{(m - n)^2}{2(m + n)} ＞ 0$，即$\frac{m + n}{2} ＞ \frac{2mn}{m + n}$，故乙的购买方式平均价格更低。
【答案】
B
【知识点】
分式运算、作差法比较大小、完全平方公式
【点评】
本题结合实际购物情境，考查平均价格的计算与代数式大小比较，核心是正确推导两人的平均价格并通过作差化简判断正负，属于代数应用的基础题型，需注意平均价格的计算逻辑。
【难度系数】
0.6
要判断甲、乙谁的购买方式平均价格更低，需先根据“平均价格=总花费÷总重量”分别计算两人两次购买大米的平均价格，再通过作差法比较两个平均价格的大小，结合已知条件判断差的正负，进而得出结论。
【解析】
由题意，甲两次购买大米的总花费为$mp + np$元，总重量为$p + p = 2p$千克，因此甲的平均价格为：
$\frac{mp + np}{2p} = \frac{m + n}{2}$（元/千克）；
乙两次购买大米的总花费为$p + p = 2p$元，总重量为$\frac{p}{m} + \frac{p}{n}$千克，因此乙的平均价格为：
$\frac{2p}{\frac{p}{m} + \frac{p}{n}} = \frac{2p}{\frac{p(m + n)}{mn}} = \frac{2mn}{m + n}$（元/千克）；
比较两者大小，作差得：
$\frac{m + n}{2} - \frac{2mn}{m + n} = \frac{(m + n)^2 - 4mn}{2(m + n)} = \frac{(m - n)^2}{2(m + n)}$；
因为$m$、$n$为不相等的正数，所以$(m - n)^2 ＞ 0$，$2(m + n) ＞ 0$，因此$\frac{(m - n)^2}{2(m + n)} ＞ 0$，即$\frac{m + n}{2} ＞ \frac{2mn}{m + n}$，故乙的购买方式平均价格更低。
【答案】
B
【知识点】
分式运算、作差法比较大小、完全平方公式
【点评】
本题结合实际购物情境，考查平均价格的计算与代数式大小比较，核心是正确推导两人的平均价格并通过作差化简判断正负，属于代数应用的基础题型，需注意平均价格的计算逻辑。
【难度系数】
0.6
二、填空题(每小题3分,共18分)
答案
解：
1. 由分式有意义的条件得分母不为0，即$x+3≠0$，解得$x≠-3$。
答案：$\boldsymbol{x≠-3}$
2. 由分式值为0的条件得$\begin{cases}x^2-1=0 \\ x-1≠0\end{cases}$，解得$x=-1$。
答案：$\boldsymbol{-1}$
3. 原式$=\frac{2a+2}{a+1}=\frac{2(a+1)}{a+1}=2$。
答案：$\boldsymbol{2}$
4. 分式的增根为$x-3=0$的解，即$x=3$。
方程两边同乘$x-3$去分母得：$x=2(x-3)+m$，将$x=3$代入得$m=3$。
答案：$\boldsymbol{3}$
5. 由$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=3$，通分得$\frac{b-a}{ab}=3$，即$a-b=-3ab$。
将$a-b=-3ab$代入原式：
$\frac{2(a-b)+3ab}{(a-b)-ab}=\frac{2×(-3ab)+3ab}{-3ab-ab}=\frac{-3ab}{-4ab}=\frac{3}{4}$。
答案：$\boldsymbol{\frac{3}{4}}$
6. 设现在平均每天生产$x$台机器，则原计划平均每天生产$(x-50)$台机器。
根据题意列方程：$\frac{600}{x}=\frac{450}{x-50}$
方程两边同乘$x(x-50)$得：$600(x-50)=450x$
解得$x=200$
检验：当$x=200$时，$x(x-50)≠0$，$x=200$是原分式方程的解，且符合实际意义。
答案：$\boldsymbol{200}$
1. 由分式有意义的条件得分母不为0，即$x+3≠0$，解得$x≠-3$。
答案：$\boldsymbol{x≠-3}$
2. 由分式值为0的条件得$\begin{cases}x^2-1=0 \\ x-1≠0\end{cases}$，解得$x=-1$。
答案：$\boldsymbol{-1}$
3. 原式$=\frac{2a+2}{a+1}=\frac{2(a+1)}{a+1}=2$。
答案：$\boldsymbol{2}$
4. 分式的增根为$x-3=0$的解，即$x=3$。
方程两边同乘$x-3$去分母得：$x=2(x-3)+m$，将$x=3$代入得$m=3$。
答案：$\boldsymbol{3}$
5. 由$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=3$，通分得$\frac{b-a}{ab}=3$，即$a-b=-3ab$。
将$a-b=-3ab$代入原式：
$\frac{2(a-b)+3ab}{(a-b)-ab}=\frac{2×(-3ab)+3ab}{-3ab-ab}=\frac{-3ab}{-4ab}=\frac{3}{4}$。
答案：$\boldsymbol{\frac{3}{4}}$
6. 设现在平均每天生产$x$台机器，则原计划平均每天生产$(x-50)$台机器。
根据题意列方程：$\frac{600}{x}=\frac{450}{x-50}$
方程两边同乘$x(x-50)$得：$600(x-50)=450x$
解得$x=200$
检验：当$x=200$时，$x(x-50)≠0$，$x=200$是原分式方程的解，且符合实际意义。
答案：$\boldsymbol{200}$
解析
【分析】
这组填空题围绕分式相关知识展开，共6小题，分别考查分式有意义的条件、分式值为0的条件、分式化简、分式方程的增根、分式求值、分式方程的实际应用。解题时需根据每个小题对应的分式规则，结合隐含条件（分母不为0）逐步推导，注意分式方程应用的检验步骤。
【解析】
1. 分式有意义的条件是分母不为0，因此$x+3≠0$，解得$x≠-3$；
2. 分式值为0需满足分子为0且分母不为0，即$\begin{cases}x^2-1=0 \\ x-1≠0\end{cases}$，解$x^2-1=0$得$x=±1$，结合$x-1≠0$得$x≠1$，故$x=-1$；
3. 对原式化简：$\frac{2a+2}{a+1}=\frac{2(a+1)}{a+1}=2$（$a≠-1$）；
4. 分式方程的增根是使分母为0的根，本题分母为$x-3$，故增根为$x=3$。方程两边同乘$x-3$去分母得$x=2(x-3)+m$，将$x=3$代入得$3=2×0+m$，解得$m=3$；
5. 由$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=3$，通分得$\frac{b-a}{ab}=3$，即$a-b=-3ab$。将其代入$\frac{2(a-b)+3ab}{(a-b)-ab}$，得$\frac{2×(-3ab)+3ab}{-3ab-ab}=\frac{-3ab}{-4ab}=\frac{3}{4}$；
6. 设现在平均每天生产$x$台，则原计划每天生产$(x-50)$台。根据生产时间相等列方程：$\frac{600}{x}=\frac{450}{x-50}$，去分母得$600(x-50)=450x$，解得$x=200$。检验：当$x=200$时，$x(x-50)=200×150≠0$，符合实际意义，故$x=200$。
【答案】
$x≠-3$；$-1$；$2$；$3$；$\frac{3}{4}$；$200$
【知识点】
分式有意义的条件、分式方程的增根、分式的化简求值
【点评】
本题考查分式的核心基础知识点，涵盖概念、运算及应用，题目难度适中，注重对分式相关规则的理解和应用，需要学生掌握分式隐含条件、增根处理、整体代入法及分式方程检验步骤。
【难度系数】
0.7
这组填空题围绕分式相关知识展开，共6小题，分别考查分式有意义的条件、分式值为0的条件、分式化简、分式方程的增根、分式求值、分式方程的实际应用。解题时需根据每个小题对应的分式规则，结合隐含条件（分母不为0）逐步推导，注意分式方程应用的检验步骤。
【解析】
1. 分式有意义的条件是分母不为0，因此$x+3≠0$，解得$x≠-3$；
2. 分式值为0需满足分子为0且分母不为0，即$\begin{cases}x^2-1=0 \\ x-1≠0\end{cases}$，解$x^2-1=0$得$x=±1$，结合$x-1≠0$得$x≠1$，故$x=-1$；
3. 对原式化简：$\frac{2a+2}{a+1}=\frac{2(a+1)}{a+1}=2$（$a≠-1$）；
4. 分式方程的增根是使分母为0的根，本题分母为$x-3$，故增根为$x=3$。方程两边同乘$x-3$去分母得$x=2(x-3)+m$，将$x=3$代入得$3=2×0+m$，解得$m=3$；
5. 由$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=3$，通分得$\frac{b-a}{ab}=3$，即$a-b=-3ab$。将其代入$\frac{2(a-b)+3ab}{(a-b)-ab}$，得$\frac{2×(-3ab)+3ab}{-3ab-ab}=\frac{-3ab}{-4ab}=\frac{3}{4}$；
6. 设现在平均每天生产$x$台，则原计划每天生产$(x-50)$台。根据生产时间相等列方程：$\frac{600}{x}=\frac{450}{x-50}$，去分母得$600(x-50)=450x$，解得$x=200$。检验：当$x=200$时，$x(x-50)=200×150≠0$，符合实际意义，故$x=200$。
【答案】
$x≠-3$；$-1$；$2$；$3$；$\frac{3}{4}$；$200$
【知识点】
分式有意义的条件、分式方程的增根、分式的化简求值
【点评】
本题考查分式的核心基础知识点，涵盖概念、运算及应用，题目难度适中，注重对分式相关规则的理解和应用，需要学生掌握分式隐含条件、增根处理、整体代入法及分式方程检验步骤。
【难度系数】
0.7
11. (2024·杭州市滨江区期末)计算：$ab÷(-\dfrac{3b^2}{a})=$
$-\dfrac{a^2}{3b}$
。答案
$-\dfrac{a^2}{3b}$
解析
【分析】本题考查分式的除法运算，解题思路是依据分式除法的运算法则，将除法转化为乘法，再通过约分简化计算，同时注意符号的处理，最终得到结果。
【解析】根据分式除法法则：除以一个分式等于乘以这个分式的倒数，可得：
$ab÷(-\dfrac{3b^2}{a}) = ab×(-\dfrac{a}{3b^2})$
计算分子与分母的乘积：
分子：$ab×(-a) = -a^2b$，分母：$3b^2$
约分（约去公因式$b$）：
$\dfrac{-a^2b}{3b^2} = -\dfrac{a^2}{3b}$
【答案】$-\dfrac{a^2}{3b}$
【知识点】分式的除法运算、分式的约分
【点评】本题属于分式运算的基础题，核心是掌握分式除法转化为乘法的规则，计算时需注意符号和公因式的约分，难度较低，适合巩固分式运算的基本方法。
【难度系数】0.8
【解析】根据分式除法法则：除以一个分式等于乘以这个分式的倒数，可得：
$ab÷(-\dfrac{3b^2}{a}) = ab×(-\dfrac{a}{3b^2})$
计算分子与分母的乘积：
分子：$ab×(-a) = -a^2b$，分母：$3b^2$
约分（约去公因式$b$）：
$\dfrac{-a^2b}{3b^2} = -\dfrac{a^2}{3b}$
【答案】$-\dfrac{a^2}{3b}$
【知识点】分式的除法运算、分式的约分
【点评】本题属于分式运算的基础题，核心是掌握分式除法转化为乘法的规则，计算时需注意符号和公因式的约分，难度较低，适合巩固分式运算的基本方法。
【难度系数】0.8
12.(2025·台州市路桥区期末)根据下表中的信息,请写出一个只含有字母$x$且符合表中要求的分式________(写出一个即可)。
答案
$\dfrac{x+2}{x+1}$(答案不唯一)
解析
【分析】
要构造符合要求的分式，需结合分式的两个关键性质：①分式无意义时，分母为0；②分式值为0时，分子为0且分母不为0。根据表格信息，当x=-1时分式无意义，说明分母在x=-1时为0，即分母含因式(x+1)；当x=-2时分式值为0，说明分子在x=-2时为0，即分子含因式(x+2)，据此可构造出符合要求的分式。
【解析】
根据分式的性质：
1. 分式无意义的条件：分母为0。当x=-1时，分式无意义，因此可设分母为$x+1$（此时$x=-1$时分母为0）；
2. 分式值为0的条件：分子为0且分母不为0。当x=-2时，分式值为0，此时分母$x+1$在$x=-2$时的值为$-1≠0$，满足分母不为0，因此可设分子为$x+2$（此时$x=-2$时分子为0）；
综上，符合要求的分式可以是$\dfrac{x+2}{x+1}$（答案不唯一）。
【答案】
$\dfrac{x+2}{x+1}$（答案不唯一）
【知识点】
分式的意义；分式值为0的条件
【点评】
本题考查分式的核心概念，需熟练掌握分式无意义、值为0的条件，通过表格信息构造符合要求的分式，答案不唯一，侧重考查对分式基本性质的理解与应用。
【难度系数】
0.5
要构造符合要求的分式，需结合分式的两个关键性质：①分式无意义时，分母为0；②分式值为0时，分子为0且分母不为0。根据表格信息，当x=-1时分式无意义，说明分母在x=-1时为0，即分母含因式(x+1)；当x=-2时分式值为0，说明分子在x=-2时为0，即分子含因式(x+2)，据此可构造出符合要求的分式。
【解析】
根据分式的性质：
1. 分式无意义的条件：分母为0。当x=-1时，分式无意义，因此可设分母为$x+1$（此时$x=-1$时分母为0）；
2. 分式值为0的条件：分子为0且分母不为0。当x=-2时，分式值为0，此时分母$x+1$在$x=-2$时的值为$-1≠0$，满足分母不为0，因此可设分子为$x+2$（此时$x=-2$时分子为0）；
综上，符合要求的分式可以是$\dfrac{x+2}{x+1}$（答案不唯一）。
【答案】
$\dfrac{x+2}{x+1}$（答案不唯一）
【知识点】
分式的意义；分式值为0的条件
【点评】
本题考查分式的核心概念，需熟练掌握分式无意义、值为0的条件，通过表格信息构造符合要求的分式，答案不唯一，侧重考查对分式基本性质的理解与应用。
【难度系数】
0.5
13. (2025·绍兴市嵊州市期末)若商品的进价为100元，毛利率为$20\%$$(毛利率=\dfrac{售价-进价}{售价})$，则该商品的售价是________元。
答案
125
解析
【分析】首先明确题目给出的毛利率计算公式，已知进价和毛利率，要求售价，因此设售价为未知数，将已知条件代入公式列出一元一次方程，通过解方程即可求出售价。
【解析】设该商品的售价为$ x $元，根据毛利率公式$ 毛利率=\dfrac{售价-进价}{售价} $，代入已知条件得：
$ 20\%=\dfrac{x - 100}{x} $
将百分数化为小数，方程变为：
$ 0.2=\dfrac{x - 100}{x} $
两边同乘$ x $（$ x≠0 $，售价不为0）得：
$ 0.2x = x - 100 $
移项合并同类项：
$ x - 0.2x = 100 $
$ 0.8x = 100 $
解得：
$ x = \dfrac{100}{0.8} = 125 $
【答案】125
【知识点】一元一次方程应用、百分比计算
【点评】本题属于基础代数应用题型，核心是准确理解并运用题目给出的毛利率公式，通过设未知数列方程求解，考查学生对公式的代入能力和一元一次方程的求解能力，难度适中。
【难度系数】0.6
【解析】设该商品的售价为$ x $元，根据毛利率公式$ 毛利率=\dfrac{售价-进价}{售价} $，代入已知条件得：
$ 20\%=\dfrac{x - 100}{x} $
将百分数化为小数，方程变为：
$ 0.2=\dfrac{x - 100}{x} $
两边同乘$ x $（$ x≠0 $，售价不为0）得：
$ 0.2x = x - 100 $
移项合并同类项：
$ x - 0.2x = 100 $
$ 0.8x = 100 $
解得：
$ x = \dfrac{100}{0.8} = 125 $
【答案】125
【知识点】一元一次方程应用、百分比计算
【点评】本题属于基础代数应用题型，核心是准确理解并运用题目给出的毛利率公式，通过设未知数列方程求解，考查学生对公式的代入能力和一元一次方程的求解能力，难度适中。
【难度系数】0.6
14.(2025·温州市龙湾区期末)为了践行“绿色生活”的理念,甲、乙两人每天骑自行车出行,甲匀速骑行40千米的时间与乙匀速骑行35千米的时间相同,已知甲每小时比乙多骑行2千米,设甲每小时骑行$x$千米,根据题意列出的方程是$\frac{40}{x}=\frac{35}{x-2}$。
答案
$\dfrac{40}{x}=\dfrac{35}{x-2}$
解析
【分析】
首先设甲每小时骑行$x$千米，根据“甲每小时比乙多骑行2千米”，可得出乙的速度为$(x-2)$千米/小时；题目中的关键等量关系是“甲骑行40千米的时间与乙骑行35千米的时间相同”，结合行程问题中“时间=路程÷速度”的公式，分别表示出甲、乙骑行的时间，令两者相等即可列出方程。
【解析】
解：设甲每小时骑行$x$千米，则乙每小时骑行$(x-2)$千米。
根据“甲骑行40千米的时间 = 乙骑行35千米的时间”，结合时间公式可得：
$\frac{40}{x}=\frac{35}{x-2}$
【答案】
$\frac{40}{x}=\frac{35}{x-2}$
【知识点】
分式方程应用、行程问题
【点评】
本题是分式方程应用的基础题型，核心是抓住“时间相等”的等量关系，利用路程、速度、时间的基本关系列方程，考查学生对行程问题数量关系的理解，难度较低。
【难度系数】
0.7
首先设甲每小时骑行$x$千米，根据“甲每小时比乙多骑行2千米”，可得出乙的速度为$(x-2)$千米/小时；题目中的关键等量关系是“甲骑行40千米的时间与乙骑行35千米的时间相同”，结合行程问题中“时间=路程÷速度”的公式，分别表示出甲、乙骑行的时间，令两者相等即可列出方程。
【解析】
解：设甲每小时骑行$x$千米，则乙每小时骑行$(x-2)$千米。
根据“甲骑行40千米的时间 = 乙骑行35千米的时间”，结合时间公式可得：
$\frac{40}{x}=\frac{35}{x-2}$
【答案】
$\frac{40}{x}=\frac{35}{x-2}$
【知识点】
分式方程应用、行程问题
【点评】
本题是分式方程应用的基础题型，核心是抓住“时间相等”的等量关系，利用路程、速度、时间的基本关系列方程，考查学生对行程问题数量关系的理解，难度较低。
【难度系数】
0.7
15. (2024·杭州市钱塘区期末)若关于$x$的分式方程$\dfrac{mx}{x - 1} = \dfrac{2}{x - 1} - 1$有增根,则$m$的值是$\underline{\hspace{5cm}}$。
答案
【解析】方程的两边同乘$(x-1)$,得$mx=2-(x-1)$。因为关于$x$的分式方程$\dfrac{mx}{x-1}=\dfrac{2}{x-1}-1$有增根,所以$x-1=0$,即增根为$x=1$。把$x=1$代入$mx=2-(x-1)$,得$m=2$。
解析
【分析】
要解决这个问题，需先明确分式方程增根的含义：增根是分式方程化为整式方程后，使原分式方程分母为0的根。解题步骤为：1. 确定增根：根据原方程的分母，得到增根满足的条件；2. 去分母：将分式方程转化为整式方程；3. 代入增根到整式方程中，求解参数m的值。
【解析】
方程两边同乘最简公分母$(x-1)$，去分母得整式方程：$mx = 2 - (x - 1)$。
因为分式方程有增根，所以分母$x-1=0$，即增根为$x=1$。
将$x=1$代入整式方程，得：$m×1 = 2 - (1 - 1)$，计算得$m=2$。
【答案】
2
【知识点】
分式方程的增根，解分式方程
【点评】
本题考查分式方程增根的应用，核心是理解增根的定义，通过去分母将分式方程转化为整式方程，再代入增根求解参数，属于分式方程的基础考点，难度适中。
【难度系数】
0.3
要解决这个问题，需先明确分式方程增根的含义：增根是分式方程化为整式方程后，使原分式方程分母为0的根。解题步骤为：1. 确定增根：根据原方程的分母，得到增根满足的条件；2. 去分母：将分式方程转化为整式方程；3. 代入增根到整式方程中，求解参数m的值。
【解析】
方程两边同乘最简公分母$(x-1)$，去分母得整式方程：$mx = 2 - (x - 1)$。
因为分式方程有增根，所以分母$x-1=0$，即增根为$x=1$。
将$x=1$代入整式方程，得：$m×1 = 2 - (1 - 1)$，计算得$m=2$。
【答案】
2
【知识点】
分式方程的增根，解分式方程
【点评】
本题考查分式方程增根的应用，核心是理解增根的定义，通过去分母将分式方程转化为整式方程，再代入增根求解参数，属于分式方程的基础考点，难度适中。
【难度系数】
0.3
$\{ \frac{a}{b} \ (a ＞ b), $
答案
解：
已知$a＞b＞0$，用作差法比较分式$\dfrac{a}{b}$与分子分母同时加正数$m$得到的新分式$\dfrac{a+m}{b+m}$的大小：
$\begin{aligned}\frac{a}{b} - \frac{a+m}{b+m} &= \frac{a(b+m) - b(a+m)}{b(b+m)} \\&= \frac{ab + am - ab - bm}{b(b+m)} \\&= \frac{m(a-b)}{b(b+m)}\end{aligned}$
由$a＞b＞0$，$m＞0$可得：
$a-b＞0$，$b＞0$，$b+m＞0$，
因此$\dfrac{m(a-b)}{b(b+m)}＞0$，即$\dfrac{a}{b} - \dfrac{a+m}{b+m}＞0$。
结论：当$a＞b＞0$，$m＞0$时，$\dfrac{a}{b} ＞ \dfrac{a+m}{b+m}$。
已知$a＞b＞0$，用作差法比较分式$\dfrac{a}{b}$与分子分母同时加正数$m$得到的新分式$\dfrac{a+m}{b+m}$的大小：
$\begin{aligned}\frac{a}{b} - \frac{a+m}{b+m} &= \frac{a(b+m) - b(a+m)}{b(b+m)} \\&= \frac{ab + am - ab - bm}{b(b+m)} \\&= \frac{m(a-b)}{b(b+m)}\end{aligned}$
由$a＞b＞0$，$m＞0$可得：
$a-b＞0$，$b＞0$，$b+m＞0$，
因此$\dfrac{m(a-b)}{b(b+m)}＞0$，即$\dfrac{a}{b} - \dfrac{a+m}{b+m}＞0$。
结论：当$a＞b＞0$，$m＞0$时，$\dfrac{a}{b} ＞ \dfrac{a+m}{b+m}$。
解析
【分析】要比较两个分式的大小，常用作差法，即计算两个分式的差，通过判断差的正负确定大小关系。本题已知$a＞b＞0$，$m＞0$，需先计算$\frac{a}{b}$与$\frac{a+m}{b+m}$的差，化简后结合已知条件判断差的符号，进而得出结论。
【解析】解：已知$a＞b＞0$，$m＞0$，用作差法比较$\frac{a}{b}$与$\frac{a+m}{b+m}$的大小：
$\begin{aligned}\frac{a}{b} - \frac{a+m}{b+m} &= \frac{a(b+m) - b(a+m)}{b(b+m)} \\&= \frac{ab + am - ab - bm}{b(b+m)} \\&= \frac{m(a-b)}{b(b+m)}\end{aligned}$
由$a＞b＞0$，$m＞0$可得：$a-b＞0$，$b＞0$，$b+m＞0$，因此$\frac{m(a-b)}{b(b+m)}＞0$，即$\frac{a}{b} - \frac{a+m}{b+m}＞0$。
结论：当$a＞b＞0$，$m＞0$时，$\frac{a}{b} ＞ \frac{a+m}{b+m}$。
【答案】当$a＞b＞0$，$m＞0$时，$\frac{a}{b} ＞ \frac{a+m}{b+m}$。
【知识点】分式大小比较、作差法
【点评】本题考查分式大小的比较，核心方法是作差法，通过化简差的表达式，结合已知条件判断符号，是代数中比较大小的常用技巧，属于基础题型。
【难度系数】0.5
【解析】解：已知$a＞b＞0$，$m＞0$，用作差法比较$\frac{a}{b}$与$\frac{a+m}{b+m}$的大小：
$\begin{aligned}\frac{a}{b} - \frac{a+m}{b+m} &= \frac{a(b+m) - b(a+m)}{b(b+m)} \\&= \frac{ab + am - ab - bm}{b(b+m)} \\&= \frac{m(a-b)}{b(b+m)}\end{aligned}$
由$a＞b＞0$，$m＞0$可得：$a-b＞0$，$b＞0$，$b+m＞0$，因此$\frac{m(a-b)}{b(b+m)}＞0$，即$\frac{a}{b} - \frac{a+m}{b+m}＞0$。
结论：当$a＞b＞0$，$m＞0$时，$\frac{a}{b} ＞ \frac{a+m}{b+m}$。
【答案】当$a＞b＞0$，$m＞0$时，$\frac{a}{b} ＞ \frac{a+m}{b+m}$。
【知识点】分式大小比较、作差法
【点评】本题考查分式大小的比较，核心方法是作差法，通过化简差的表达式，结合已知条件判断符号，是代数中比较大小的常用技巧，属于基础题型。
【难度系数】0.5
16. (2024·绍兴市诸暨市期末)定义运算“⊕”：$a\oplus b=\begin{cases}a - b\\\dfrac{b}{b - a}&(a ＜ b)\end{cases}$
当$x≠4$时，满足$4\oplus x = 2$，则$x$的值为________。
当$x≠4$时，满足$4\oplus x = 2$，则$x$的值为________。
答案
【解析】当$x＜4$时,$\dfrac{4}{4-x}=2$,解得$x=2$。检验:当$x=2$时,$4-x≠0$,所以$x=2$符合题意;当$x＞4$时,$\dfrac{x}{x-4}=2$,解得$x=8$。检验:当$x=8$时,$x-4≠0$,所以$x=8$符合题意。综上所述,$x$的值为2或8。
解析
【分析】
本题属于定义新运算的题型，需先明确新运算的分段规则：当a＜b时，运算为$\dfrac{b}{b - a}$；当a≥b时，运算为a - b。由于本题中a=4，b=x，因此需分x＜4和x＞4两种情况讨论，分别代入对应运算式得到方程，解方程并检验解的合理性（确保分母不为0），即可求出x的值。
【解析】
根据新运算“⊕”的定义，分两种情况求解：
1. 当x＜4时，此时4≥x，对应运算式为a - b，因此$4\oplus x = 4 - x$。令$4\oplus x = 2$，得方程：$4 - x = 2$，解得$x = 2$。检验：当$x = 2$时，$x≠4$，符合题意；
2. 当x＞4时，此时4＜x，对应运算式为$\dfrac{b}{b - a}$，因此$4\oplus x = \dfrac{x}{x - 4}$。令$4\oplus x = 2$，得方程：$\dfrac{x}{x - 4} = 2$，去分母得$x = 2(x - 4)$，展开得$x = 2x - 8$，解得$x = 8$。检验：当$x = 8$时，$x - 4 = 4≠0$，且$x≠4$，符合题意；
综上，x的值为2或8。
【答案】
2或8
【知识点】
定义新运算、分式方程、一元一次方程
【点评】
本题考查定义新运算的应用，核心是根据新运算的分段规则进行分类讨论，解分式方程时必须检验分母不为0，体现了分类讨论和方程思想，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.5
本题属于定义新运算的题型，需先明确新运算的分段规则：当a＜b时，运算为$\dfrac{b}{b - a}$；当a≥b时，运算为a - b。由于本题中a=4，b=x，因此需分x＜4和x＞4两种情况讨论，分别代入对应运算式得到方程，解方程并检验解的合理性（确保分母不为0），即可求出x的值。
【解析】
根据新运算“⊕”的定义，分两种情况求解：
1. 当x＜4时，此时4≥x，对应运算式为a - b，因此$4\oplus x = 4 - x$。令$4\oplus x = 2$，得方程：$4 - x = 2$，解得$x = 2$。检验：当$x = 2$时，$x≠4$，符合题意；
2. 当x＞4时，此时4＜x，对应运算式为$\dfrac{b}{b - a}$，因此$4\oplus x = \dfrac{x}{x - 4}$。令$4\oplus x = 2$，得方程：$\dfrac{x}{x - 4} = 2$，去分母得$x = 2(x - 4)$，展开得$x = 2x - 8$，解得$x = 8$。检验：当$x = 8$时，$x - 4 = 4≠0$，且$x≠4$，符合题意；
综上，x的值为2或8。
【答案】
2或8
【知识点】
定义新运算、分式方程、一元一次方程
【点评】
本题考查定义新运算的应用，核心是根据新运算的分段规则进行分类讨论，解分式方程时必须检验分母不为0，体现了分类讨论和方程思想，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.5
