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三、解答题(本大题有8小题,共72分)
17.(8分)解方程:
(1)$\frac{3}{1-y}=\frac{y}{y-1}-5$;
(2)$\frac{2}{x-1}+1=\frac{4}{3-3x}$。
17.(8分)解方程:
(1)$\frac{3}{1-y}=\frac{y}{y-1}-5$;
(2)$\frac{2}{x-1}+1=\frac{4}{3-3x}$。
答案
(1)解:方程的两边同乘$(1-y)$,得$3=-y-5(1-y)$,解得$y=2$。检验:当$y=2$时,$1-y=1-2=-1≠0$,所以$y=2$是原方程的根。
(2)解:方程的两边同乘$3(x-1)$,得$6+3x-3=-4$,解得$x=-\dfrac{7}{3}$。检验:当$x=-\dfrac{7}{3}$时,$3(x-1)=3×(-\dfrac{7}{3}-1)=-10≠0$,所以$x=-\dfrac{7}{3}$是原方程的根。
(2)解:方程的两边同乘$3(x-1)$,得$6+3x-3=-4$,解得$x=-\dfrac{7}{3}$。检验:当$x=-\dfrac{7}{3}$时,$3(x-1)=3×(-\dfrac{7}{3}-1)=-10≠0$,所以$x=-\dfrac{7}{3}$是原方程的根。
解析
【分析】
解分式方程的核心思路是将分式方程转化为整式方程求解，关键步骤为去分母（两边同乘最简公分母），且必须检验解是否使原分母不为0，排除增根。对于(1)，注意到$y-1$与$1-y$互为相反数，去分母时需注意符号；对于(2)，先将右边分母变形为$-3(x-1)$，确定最简公分母为$3(x-1)$，再转化为整式方程。
【解析】
(1) 原方程为$\frac{3}{1-y}=\frac{y}{y-1}-5$，
因为$y-1=-(1-y)$，方程两边同乘最简公分母$(1-y)$，得：
$3=-y-5(1-y)$，
展开右边：$3=-y-5+5y$，
合并同类项：$3=4y-5$，
移项得：$4y=8$，
解得：$y=2$。
检验：当$y=2$时，$1-y=1-2=-1≠0$，故$y=2$是原方程的解。
(2) 原方程为$\frac{2}{x-1}+1=\frac{4}{3-3x}$，
将右边分母变形：$3-3x=-3(x-1)$，最简公分母为$3(x-1)$，方程两边同乘$3(x-1)$，得：
$2×3 + 1×3(x-1)=-4$，
计算左边：$6+3x-3=3x+3$，
方程变为：$3x+3=-4$，
移项得：$3x=-7$，
解得：$x=-\frac{7}{3}$。
检验：当$x=-\frac{7}{3}$时，$3(x-1)=3×(-\frac{7}{3}-1)=-10≠0$，故$x=-\frac{7}{3}$是原方程的解。
【答案】
(1)$y=2$；(2)$x=-\frac{7}{3}$
【知识点】
分式方程的解法、增根的检验
【点评】
本题考查分式方程的基础求解，需严格遵循“去分母→解整式方程→检验”的步骤，尤其要注意去分母时的符号处理，以及必须检验解的有效性，避免增根。
【难度系数】
0.5
解分式方程的核心思路是将分式方程转化为整式方程求解，关键步骤为去分母（两边同乘最简公分母），且必须检验解是否使原分母不为0，排除增根。对于(1)，注意到$y-1$与$1-y$互为相反数，去分母时需注意符号；对于(2)，先将右边分母变形为$-3(x-1)$，确定最简公分母为$3(x-1)$，再转化为整式方程。
【解析】
(1) 原方程为$\frac{3}{1-y}=\frac{y}{y-1}-5$，
因为$y-1=-(1-y)$，方程两边同乘最简公分母$(1-y)$，得：
$3=-y-5(1-y)$，
展开右边：$3=-y-5+5y$，
合并同类项：$3=4y-5$，
移项得：$4y=8$，
解得：$y=2$。
检验：当$y=2$时，$1-y=1-2=-1≠0$，故$y=2$是原方程的解。
(2) 原方程为$\frac{2}{x-1}+1=\frac{4}{3-3x}$，
将右边分母变形：$3-3x=-3(x-1)$，最简公分母为$3(x-1)$，方程两边同乘$3(x-1)$，得：
$2×3 + 1×3(x-1)=-4$，
计算左边：$6+3x-3=3x+3$，
方程变为：$3x+3=-4$，
移项得：$3x=-7$，
解得：$x=-\frac{7}{3}$。
检验：当$x=-\frac{7}{3}$时，$3(x-1)=3×(-\frac{7}{3}-1)=-10≠0$，故$x=-\frac{7}{3}$是原方程的解。
【答案】
(1)$y=2$；(2)$x=-\frac{7}{3}$
【知识点】
分式方程的解法、增根的检验
【点评】
本题考查分式方程的基础求解，需严格遵循“去分母→解整式方程→检验”的步骤，尤其要注意去分母时的符号处理，以及必须检验解的有效性，避免增根。
【难度系数】
0.5
18.(8分)计算化简:
答案
(1)解:原式$=(\dfrac{a+1}{a+1}-\dfrac{1}{a+1})·\dfrac{a+1}{a-1}=\dfrac{a}{a+1}·\dfrac{a+1}{a-1}=\dfrac{a}{a-1}$。
(2)解:原式$=\dfrac{3-(x+3)}{(x+3)(x-3)}·\dfrac{(x-3)^2}{x(x-3)}=\dfrac{-x}{(x+3)(x-3)}·\dfrac{x-3}{x}=-\dfrac{1}{x+3}$。
(2)解:原式$=\dfrac{3-(x+3)}{(x+3)(x-3)}·\dfrac{(x-3)^2}{x(x-3)}=\dfrac{-x}{(x+3)(x-3)}·\dfrac{x-3}{x}=-\dfrac{1}{x+3}$。
解析
【分析】
分式混合运算需遵循“先算括号内，再算乘除”的顺序：括号内是异分母分式加减，需先通分转化为同分母分式再计算；除法运算要转化为乘法（除以分式等于乘其倒数），最后通过约分约去分子分母的公因式，得到最简结果，注意符号和因式分解的正确性。
【解析】
(1) 先计算括号内的部分，对$1 - \frac{1}{a+1}$通分，最简公分母为$a+1$：
原式$=(\frac{a+1}{a+1} - \frac{1}{a+1}) ÷ \frac{a-1}{a+1}$
$=\frac{(a+1)-1}{a+1} × \frac{a+1}{a-1}$
$=\frac{a}{a+1} × \frac{a+1}{a-1}$
约分后得$\frac{a}{a-1}$。
(2) 先处理括号内的$\frac{3}{x^2 -9} - \frac{1}{x-3}$，其中$x^2 -9=(x+3)(x-3)$，最简公分母为$(x+3)(x-3)$：
原式$=[\frac{3}{(x+3)(x-3)} - \frac{x+3}{(x+3)(x-3)}] ÷ \frac{x^2 -3x}{x^2 -6x +9}$
括号内计算：$\frac{3 - (x+3)}{(x+3)(x-3)} = \frac{-x}{(x+3)(x-3)}$
再将除法转化为乘法，且$x^2 -3x=x(x-3)$，$x^2 -6x +9=(x-3)^2$：
$=\frac{-x}{(x+3)(x-3)} × \frac{(x-3)^2}{x(x-3)}$
约分后得$-\frac{1}{x+3}$。
【答案】
(1)$\frac{a}{a-1}$；(2)$-\frac{1}{x+3}$
【知识点】
分式混合运算，通分，约分
【点评】
本题是分式化简的基础题型，考查分式混合运算的顺序、通分和约分法则，解题时需注意因式分解的应用，避免符号错误和约分不彻底的问题。
【难度系数】
0.6
分式混合运算需遵循“先算括号内，再算乘除”的顺序：括号内是异分母分式加减，需先通分转化为同分母分式再计算；除法运算要转化为乘法（除以分式等于乘其倒数），最后通过约分约去分子分母的公因式，得到最简结果，注意符号和因式分解的正确性。
【解析】
(1) 先计算括号内的部分，对$1 - \frac{1}{a+1}$通分，最简公分母为$a+1$：
原式$=(\frac{a+1}{a+1} - \frac{1}{a+1}) ÷ \frac{a-1}{a+1}$
$=\frac{(a+1)-1}{a+1} × \frac{a+1}{a-1}$
$=\frac{a}{a+1} × \frac{a+1}{a-1}$
约分后得$\frac{a}{a-1}$。
(2) 先处理括号内的$\frac{3}{x^2 -9} - \frac{1}{x-3}$，其中$x^2 -9=(x+3)(x-3)$，最简公分母为$(x+3)(x-3)$：
原式$=[\frac{3}{(x+3)(x-3)} - \frac{x+3}{(x+3)(x-3)}] ÷ \frac{x^2 -3x}{x^2 -6x +9}$
括号内计算：$\frac{3 - (x+3)}{(x+3)(x-3)} = \frac{-x}{(x+3)(x-3)}$
再将除法转化为乘法，且$x^2 -3x=x(x-3)$，$x^2 -6x +9=(x-3)^2$：
$=\frac{-x}{(x+3)(x-3)} × \frac{(x-3)^2}{x(x-3)}$
约分后得$-\frac{1}{x+3}$。
【答案】
(1)$\frac{a}{a-1}$；(2)$-\frac{1}{x+3}$
【知识点】
分式混合运算，通分，约分
【点评】
本题是分式化简的基础题型，考查分式混合运算的顺序、通分和约分法则，解题时需注意因式分解的应用，避免符号错误和约分不彻底的问题。
【难度系数】
0.6
19. (8分)先化简,再求值:$(\dfrac{2x - 3}{x - 2} - 1) ÷ \dfrac{x^2 - 2x + 1}{x - 2}$,然后再从1,2,3中选一个你喜欢的数,求式子的值。
答案
解:原式$=\dfrac{2x-3-(x-2)}{x-2}·\dfrac{x-2}{(x-1)^2}=\dfrac{x-1}{x-2}·\dfrac{x-2}{(x-1)^2}=\dfrac{1}{x-1}$。因为$x≠1$且$x≠2$,所以当$x=3$时,原式$=\dfrac{1}{3-1}=\dfrac{1}{2}$。
解析
【分析】
本题是分式的化简求值题，解题思路如下：第一步，先计算括号内的分式减法，需将1转化为与括号内分式同分母的形式，再进行分子的减法运算；第二步，将除法运算转化为乘法运算，同时对除式的分子（二次三项式）进行因式分解；第三步，通过约分得到最简分式；第四步，根据分式有意义的条件（分母不为0）确定x的可取值，最后代入计算结果。
【解析】
解：原式$=(\dfrac{2x - 3}{x - 2} - \dfrac{x - 2}{x - 2}) ÷ \dfrac{(x - 1)^2}{x - 2}$
$=\dfrac{2x - 3 - (x - 2)}{x - 2} · \dfrac{x - 2}{(x - 1)^2}$
$=\dfrac{2x - 3 - x + 2}{x - 2} · \dfrac{x - 2}{(x - 1)^2}$
$=\dfrac{x - 1}{x - 2} · \dfrac{x - 2}{(x - 1)^2}$
约分后得：$\dfrac{1}{x - 1}$。
根据分式有意义的条件，分母不能为0，因此$x - 2 ≠ 0$且$x - 1 ≠ 0$，即$x ≠ 1$且$x ≠ 2$，故只能选取$x = 3$代入。
当$x = 3$时，原式$=\dfrac{1}{3 - 1} = \dfrac{1}{2}$。
【答案】
$\dfrac{1}{2}$
【知识点】
分式的化简求值，分式有意义的条件
【点评】
本题考查分式的化简求值，重点考查分式的通分、因式分解、约分等基本运算，同时需注意分式有意义的取值限制，避免选取使分母为0的数值，属于基础运算题，难度适中，只要掌握分式运算的基本规则即可正确解答。
【难度系数】
0.6
本题是分式的化简求值题，解题思路如下：第一步，先计算括号内的分式减法，需将1转化为与括号内分式同分母的形式，再进行分子的减法运算；第二步，将除法运算转化为乘法运算，同时对除式的分子（二次三项式）进行因式分解；第三步，通过约分得到最简分式；第四步，根据分式有意义的条件（分母不为0）确定x的可取值，最后代入计算结果。
【解析】
解：原式$=(\dfrac{2x - 3}{x - 2} - \dfrac{x - 2}{x - 2}) ÷ \dfrac{(x - 1)^2}{x - 2}$
$=\dfrac{2x - 3 - (x - 2)}{x - 2} · \dfrac{x - 2}{(x - 1)^2}$
$=\dfrac{2x - 3 - x + 2}{x - 2} · \dfrac{x - 2}{(x - 1)^2}$
$=\dfrac{x - 1}{x - 2} · \dfrac{x - 2}{(x - 1)^2}$
约分后得：$\dfrac{1}{x - 1}$。
根据分式有意义的条件，分母不能为0，因此$x - 2 ≠ 0$且$x - 1 ≠ 0$，即$x ≠ 1$且$x ≠ 2$，故只能选取$x = 3$代入。
当$x = 3$时，原式$=\dfrac{1}{3 - 1} = \dfrac{1}{2}$。
【答案】
$\dfrac{1}{2}$
【知识点】
分式的化简求值，分式有意义的条件
【点评】
本题考查分式的化简求值，重点考查分式的通分、因式分解、约分等基本运算，同时需注意分式有意义的取值限制，避免选取使分母为0的数值，属于基础运算题，难度适中，只要掌握分式运算的基本规则即可正确解答。
【难度系数】
0.6
