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20.(8分)(2025·衢州市柯城区期末)小红计算$\frac{2x}{x-2}+\frac{3-x}{2-x}$和小明解方程$\frac{2x}{x-2}+\frac{3-x}{2-x}=1$的过程如下：
(1)在上述两位同学的解答中,有一位同学有错误,这位同学是(填“小红”或“小明”)。
(2)请你写出正确的解答过程。
(1)在上述两位同学的解答中,有一位同学有错误,这位同学是(填“小红”或“小明”)。
(2)请你写出正确的解答过程。
答案
(1)小红
(2)解:原式$=\dfrac{2x-3+x}{x-2}=\dfrac{3x-3}{x-2}$。
(2)解:原式$=\dfrac{2x-3+x}{x-2}=\dfrac{3x-3}{x-2}$。
解析
【分析】
要判断两位同学的解答是否正确，需分别分析：小红计算分式加法时，分式加减需先通分，将异分母分式化为同分母分式后再运算，她错误地直接去掉分母进行分子加减，且符号处理错误，导致计算结果错误；小明解分式方程时，正确运用了分式方程的解法，去分母时注意了符号变化，还进行了检验，步骤正确。因此错误的是小红。正确计算时，先利用分式的符号法则将$\frac{3-x}{2-x}$变形为$\frac{x-3}{x-2}$，再与$\frac{2x}{x-2}$通分后相加，合并分子即可得到结果。
【解析】
(1) 小红在计算分式加法时，未正确通分，错误地直接去掉分母计算，符号处理也出错，故错误的同学是小红。
(2) 正确计算过程：
$\frac{2x}{x-2} + \frac{3-x}{2-x} = \frac{2x}{x-2} - \frac{3-x}{x-2} = \frac{2x - (3 - x)}{x-2} = \frac{2x - 3 + x}{x-2} = \frac{3x - 3}{x-2}$。
【答案】
(1)小红；(2)$\frac{3x-3}{x-2}$
【知识点】
分式的加减运算、分式的符号法则
【点评】
本题考查分式的加减运算，关键在于掌握异分母分式加减需先通分，注意分式变形时的符号变化，避免直接去掉分母的错误，是基础的分式运算题。
【难度系数】
0.5
要判断两位同学的解答是否正确，需分别分析：小红计算分式加法时，分式加减需先通分，将异分母分式化为同分母分式后再运算，她错误地直接去掉分母进行分子加减，且符号处理错误，导致计算结果错误；小明解分式方程时，正确运用了分式方程的解法，去分母时注意了符号变化，还进行了检验，步骤正确。因此错误的是小红。正确计算时，先利用分式的符号法则将$\frac{3-x}{2-x}$变形为$\frac{x-3}{x-2}$，再与$\frac{2x}{x-2}$通分后相加，合并分子即可得到结果。
【解析】
(1) 小红在计算分式加法时，未正确通分，错误地直接去掉分母计算，符号处理也出错，故错误的同学是小红。
(2) 正确计算过程：
$\frac{2x}{x-2} + \frac{3-x}{2-x} = \frac{2x}{x-2} - \frac{3-x}{x-2} = \frac{2x - (3 - x)}{x-2} = \frac{2x - 3 + x}{x-2} = \frac{3x - 3}{x-2}$。
【答案】
(1)小红；(2)$\frac{3x-3}{x-2}$
【知识点】
分式的加减运算、分式的符号法则
【点评】
本题考查分式的加减运算，关键在于掌握异分母分式加减需先通分，注意分式变形时的符号变化，避免直接去掉分母的错误，是基础的分式运算题。
【难度系数】
0.5
21.(8分)某危险品工厂使用甲型、乙型两种机器人代替人力搬运产品。甲型机器人比乙型机器人每小时多搬运10 kg,甲型机器人搬运800 kg所用时间与乙型机器人搬运600 kg所用时间相等。问乙型机器人每小时搬运多少千克产品?
根据以上信息,解答下列问题。
(1)小华同学设乙型机器人每小时搬运$x$kg产品,则甲型机器人每小时搬运kg产品,根据“甲型机器人搬运800 kg所用时间与乙型机器人搬运600 kg所用时间相等”,可列方程为。
(2)小惠同学设甲型机器人搬运800 kg所用时间为$y$小时,则甲型机器人每小时搬运kg产品,根据“甲型机器人比乙型机器人每小时多搬运10 kg”,可列方程为。
(3)请你按照(1)中小华同学的解题思路,写出完整的解答过程。
根据以上信息,解答下列问题。
(1)小华同学设乙型机器人每小时搬运$x$kg产品,则甲型机器人每小时搬运kg产品,根据“甲型机器人搬运800 kg所用时间与乙型机器人搬运600 kg所用时间相等”,可列方程为。
(2)小惠同学设甲型机器人搬运800 kg所用时间为$y$小时,则甲型机器人每小时搬运kg产品,根据“甲型机器人比乙型机器人每小时多搬运10 kg”,可列方程为。
(3)请你按照(1)中小华同学的解题思路,写出完整的解答过程。
答案
(1)$(x+10)$ $\dfrac{800}{x+10}=\dfrac{600}{x}$
(2)$\dfrac{800}{y}$ $\dfrac{800}{y}-\dfrac{600}{y}=10$
(3)解:设乙型机器人每小时搬运$x$kg产品,则甲型机器人每小时搬运$(x+10)$kg产品。由题意,得$\dfrac{800}{x+10}=\dfrac{600}{x}$,解得$x=30$。经检验,$x=30$是原分式方程的解,且符合题意。答:乙型机器人每小时搬运30千克产品。
(2)$\dfrac{800}{y}$ $\dfrac{800}{y}-\dfrac{600}{y}=10$
(3)解:设乙型机器人每小时搬运$x$kg产品,则甲型机器人每小时搬运$(x+10)$kg产品。由题意,得$\dfrac{800}{x+10}=\dfrac{600}{x}$,解得$x=30$。经检验,$x=30$是原分式方程的解,且符合题意。答:乙型机器人每小时搬运30千克产品。
解析
【分析】
这道题是分式方程在实际问题中的应用，解题核心是找准等量关系。第(1)问中，已知乙型机器人每小时搬运量为$x$kg，结合甲型比乙型每小时多10kg，可直接表示甲型速度；再根据“时间=总量÷速度”，利用两者搬运时间相等列方程。第(2)问设甲型搬运800kg的时间为$y$小时，先表示甲型速度，再结合速度差为10kg列方程。第(3)问按第(1)问思路，设未知数后列分式方程，求解并检验解的合理性即可。
【解析】
(1) 甲型机器人每小时搬运量 = 乙型每小时搬运量 + 10kg，故为$(x+10)$kg；甲型搬运800kg的时间为$\frac{800}{x+10}$小时，乙型搬运600kg的时间为$\frac{600}{x}$小时，两者相等，列方程$\frac{800}{x+10}=\frac{600}{x}$。
(2) 甲型速度 = 总量÷时间，故为$\frac{800}{y}$kg；乙型速度为$\frac{600}{y}$kg，根据速度差为10kg，列方程$\frac{800}{y}-\frac{600}{y}=10$。
(3) 完整解答：设乙型机器人每小时搬运$x$kg产品，则甲型机器人每小时搬运$(x+10)$kg产品。根据题意，得$\frac{800}{x+10}=\frac{600}{x}$，
解方程：两边同乘$x(x+10)$，得$800x=600(x+10)$，
展开得$800x=600x+6000$，
移项合并得$200x=6000$，
解得$x=30$。
检验：当$x=30$时，$x(x+10)=30×40=1200≠0$，故$x=30$是原分式方程的解，且符合实际意义。
答：乙型机器人每小时搬运30千克产品。
【答案】
(1) $(x+10)$；$\dfrac{800}{x+10}=\dfrac{600}{x}$
(2) $\dfrac{800}{y}$；$\dfrac{800}{y}-\dfrac{600}{y}=10$
(3) 乙型机器人每小时搬运30千克产品。
【知识点】分式方程的应用，列代数式，解分式方程
【点评】本题是分式方程应用的基础题型，通过不同设元方式考查等量关系的理解，重点训练分式方程的求解及实际解的检验，是初中方程应用的典型练习。
【难度系数】0.6
这道题是分式方程在实际问题中的应用，解题核心是找准等量关系。第(1)问中，已知乙型机器人每小时搬运量为$x$kg，结合甲型比乙型每小时多10kg，可直接表示甲型速度；再根据“时间=总量÷速度”，利用两者搬运时间相等列方程。第(2)问设甲型搬运800kg的时间为$y$小时，先表示甲型速度，再结合速度差为10kg列方程。第(3)问按第(1)问思路，设未知数后列分式方程，求解并检验解的合理性即可。
【解析】
(1) 甲型机器人每小时搬运量 = 乙型每小时搬运量 + 10kg，故为$(x+10)$kg；甲型搬运800kg的时间为$\frac{800}{x+10}$小时，乙型搬运600kg的时间为$\frac{600}{x}$小时，两者相等，列方程$\frac{800}{x+10}=\frac{600}{x}$。
(2) 甲型速度 = 总量÷时间，故为$\frac{800}{y}$kg；乙型速度为$\frac{600}{y}$kg，根据速度差为10kg，列方程$\frac{800}{y}-\frac{600}{y}=10$。
(3) 完整解答：设乙型机器人每小时搬运$x$kg产品，则甲型机器人每小时搬运$(x+10)$kg产品。根据题意，得$\frac{800}{x+10}=\frac{600}{x}$，
解方程：两边同乘$x(x+10)$，得$800x=600(x+10)$，
展开得$800x=600x+6000$，
移项合并得$200x=6000$，
解得$x=30$。
检验：当$x=30$时，$x(x+10)=30×40=1200≠0$，故$x=30$是原分式方程的解，且符合实际意义。
答：乙型机器人每小时搬运30千克产品。
【答案】
(1) $(x+10)$；$\dfrac{800}{x+10}=\dfrac{600}{x}$
(2) $\dfrac{800}{y}$；$\dfrac{800}{y}-\dfrac{600}{y}=10$
(3) 乙型机器人每小时搬运30千克产品。
【知识点】分式方程的应用，列代数式，解分式方程
【点评】本题是分式方程应用的基础题型，通过不同设元方式考查等量关系的理解，重点训练分式方程的求解及实际解的检验，是初中方程应用的典型练习。
【难度系数】0.6
