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22. (10分)(2025·衢州市柯城区期末)已知$P=2a - b - \dfrac{b}{a}$。
(1)当$b=2a$时,求$P$的值。
(2)对于实数$m$,当$m≠1$时,设$a=1 - m$,$b=\dfrac{1 - 2m + m^2}{m}$。
①用含$m$的最简分式表示$\dfrac{b}{a}$。
②当$P=0$时,求$m$的值。
(1)当$b=2a$时,求$P$的值。
(2)对于实数$m$,当$m≠1$时,设$a=1 - m$,$b=\dfrac{1 - 2m + m^2}{m}$。
①用含$m$的最简分式表示$\dfrac{b}{a}$。
②当$P=0$时,求$m$的值。
答案
(1)解:因为$b=2a$,所以$P=2a-2a-\dfrac{2a}{a}=-2$。
(2)解:①因为$a=1-m$,$b=\dfrac{1-2m+m^2}{m}=\dfrac{(1-m)^2}{m}$,所以$\dfrac{b}{a}=\dfrac{(1-m)^2}{m}·\dfrac{1}{1-m}=\dfrac{1-m}{m}$。
②因为$P=0$,所以$2a-b-\dfrac{b}{a}=0$,即$2(1-m)-\dfrac{(1-m)^2}{m}-\dfrac{1-m}{m}=0$,解得$m_1=\dfrac{2}{3}$,$m_2=1$(舍去)。所以$m$的值为$\dfrac{2}{3}$。
(2)解:①因为$a=1-m$,$b=\dfrac{1-2m+m^2}{m}=\dfrac{(1-m)^2}{m}$,所以$\dfrac{b}{a}=\dfrac{(1-m)^2}{m}·\dfrac{1}{1-m}=\dfrac{1-m}{m}$。
②因为$P=0$,所以$2a-b-\dfrac{b}{a}=0$,即$2(1-m)-\dfrac{(1-m)^2}{m}-\dfrac{1-m}{m}=0$,解得$m_1=\dfrac{2}{3}$,$m_2=1$(舍去)。所以$m$的值为$\dfrac{2}{3}$。
解析
【分析】
本题分两部分求解：第(1)问直接将b=2a代入P的表达式，通过替换化简计算；第(2)问①先对b的分子因式分解，再用分式除法法则计算b/a；②将a、b代入P=0的等式得到分式方程，求解后需检验增根，舍去不符合条件的解。
【解析】
(1) 已知b=2a，代入P=2a - b - b/a得：
P = 2a - 2a - (2a)/a = -2；
(2) ① 对b的分子因式分解：b=(1-2m+m²)/m=(1-m)²/m，又a=1-m，根据分式除法法则：
b/a = [(1-m)²/m] ÷ (1-m) = (1-m)/m；
② 当P=0时，代入P的表达式：
2a - b - b/a = 0，将a=1-m、b=(1-m)²/m、b/a=(1-m)/m代入得：
2(1-m) - [(1-m)²/m] - [(1-m)/m] = 0，
两边同乘m（m≠0）消分母：
2m(1-m) - (1-m)² - (1-m) = 0，
提取公因式(1-m)化简得：(1-m)(3m -2)=0，
解得m=1或m=2/3；
因题目要求m≠1，且分母不能为0，故舍去m=1，得m=2/3。
【答案】
(1) -2；
(2) ① (1-m)/m；② 2/3。
【知识点】
分式的运算，分式方程的求解
【点评】
本题考查分式化简求值及分式方程的解法，结合完全平方公式分解因式，需注意分式运算的约分条件和分式方程解的验根，是初中期末常规题型，难度适中，易出错点为增根的舍去。
【难度系数】
0.5
本题分两部分求解：第(1)问直接将b=2a代入P的表达式，通过替换化简计算；第(2)问①先对b的分子因式分解，再用分式除法法则计算b/a；②将a、b代入P=0的等式得到分式方程，求解后需检验增根，舍去不符合条件的解。
【解析】
(1) 已知b=2a，代入P=2a - b - b/a得：
P = 2a - 2a - (2a)/a = -2；
(2) ① 对b的分子因式分解：b=(1-2m+m²)/m=(1-m)²/m，又a=1-m，根据分式除法法则：
b/a = [(1-m)²/m] ÷ (1-m) = (1-m)/m；
② 当P=0时，代入P的表达式：
2a - b - b/a = 0，将a=1-m、b=(1-m)²/m、b/a=(1-m)/m代入得：
2(1-m) - [(1-m)²/m] - [(1-m)/m] = 0，
两边同乘m（m≠0）消分母：
2m(1-m) - (1-m)² - (1-m) = 0，
提取公因式(1-m)化简得：(1-m)(3m -2)=0，
解得m=1或m=2/3；
因题目要求m≠1，且分母不能为0，故舍去m=1，得m=2/3。
【答案】
(1) -2；
(2) ① (1-m)/m；② 2/3。
【知识点】
分式的运算，分式方程的求解
【点评】
本题考查分式化简求值及分式方程的解法，结合完全平方公式分解因式，需注意分式运算的约分条件和分式方程解的验根，是初中期末常规题型，难度适中，易出错点为增根的舍去。
【难度系数】
0.5
23.(10分)(2025·台州市临海市期末)在生产生活中,经常需要把两种溶液进行混合,得到新的溶液。例如,把咸淡不同的两碗汤混合;在已有盐水中加水配制生理盐水等等。
(1)要用含盐9%的盐水100克加水配制含盐0.9%的生理盐水,需要加水多少克?
(2)用咸淡程度不同的两碗汤甲和乙混合(甲汤比乙汤咸),得到丙汤。
①请根据生活经验比较甲汤、乙汤、丙汤的咸淡程度。
②请设出必要的字母,用代数式表示甲汤、乙汤、丙汤的咸淡程度,通过计算证明①中的结论。
(1)要用含盐9%的盐水100克加水配制含盐0.9%的生理盐水,需要加水多少克?
(2)用咸淡程度不同的两碗汤甲和乙混合(甲汤比乙汤咸),得到丙汤。
①请根据生活经验比较甲汤、乙汤、丙汤的咸淡程度。
②请设出必要的字母,用代数式表示甲汤、乙汤、丙汤的咸淡程度,通过计算证明①中的结论。
答案
(1)解:设需要加水$x$克。由题意,得$\dfrac{9\%×100}{x+100}=0.9\%$,解得$x=900$。经检验,$x=900$是原分式方程的解,且符合题意。答:需要加水900克。
(2)解:①甲汤最咸,其次是丙汤,乙汤最淡。
②设甲汤中盐的质量为$m$克,汤的质量为$a$克;乙汤中盐的质量为$n$克,汤的质量为$b$克,则丙汤中盐的质量为$(m+n)$克,汤的质量为$(a+b)$克。因为甲汤比乙汤咸,所以$\dfrac{m}{a}-\dfrac{n}{b}＞0$,整理得$\dfrac{bm-an}{ab}＞0$。因为$a＞0$,$b＞0$,所以$ab＞0$,所以$bm-an＞0$,所以$an-bm＜0$。因为$\dfrac{m+n}{a+b}-\dfrac{m}{a}=\dfrac{a(m+n)-m(a+b)}{a(a+b)}=\dfrac{am+an-am-bm}{a(a+b)}=\dfrac{an-bm}{a(a+b)}＜0$,所以$\dfrac{m+n}{a+b}＜\dfrac{m}{a}$。因为$\dfrac{m+n}{a+b}-\dfrac{n}{b}=\dfrac{b(m+n)-n(a+b)}{b(a+b)}=\dfrac{bm+bn-an-bn}{b(a+b)}=\dfrac{bm-an}{b(a+b)}＞0$,所以$\dfrac{n}{b}＜\dfrac{m+n}{a+b}$,所以$\dfrac{n}{b}＜\dfrac{m+n}{a+b}＜\dfrac{m}{a}$,所以甲汤最咸,其次是丙汤,乙汤最淡。
(2)解:①甲汤最咸,其次是丙汤,乙汤最淡。
②设甲汤中盐的质量为$m$克,汤的质量为$a$克;乙汤中盐的质量为$n$克,汤的质量为$b$克,则丙汤中盐的质量为$(m+n)$克,汤的质量为$(a+b)$克。因为甲汤比乙汤咸,所以$\dfrac{m}{a}-\dfrac{n}{b}＞0$,整理得$\dfrac{bm-an}{ab}＞0$。因为$a＞0$,$b＞0$,所以$ab＞0$,所以$bm-an＞0$,所以$an-bm＜0$。因为$\dfrac{m+n}{a+b}-\dfrac{m}{a}=\dfrac{a(m+n)-m(a+b)}{a(a+b)}=\dfrac{am+an-am-bm}{a(a+b)}=\dfrac{an-bm}{a(a+b)}＜0$,所以$\dfrac{m+n}{a+b}＜\dfrac{m}{a}$。因为$\dfrac{m+n}{a+b}-\dfrac{n}{b}=\dfrac{b(m+n)-n(a+b)}{b(a+b)}=\dfrac{bm+bn-an-bn}{b(a+b)}=\dfrac{bm-an}{b(a+b)}＞0$,所以$\dfrac{n}{b}＜\dfrac{m+n}{a+b}$,所以$\dfrac{n}{b}＜\dfrac{m+n}{a+b}＜\dfrac{m}{a}$,所以甲汤最咸,其次是丙汤,乙汤最淡。
解析
【分析】
本题分为两小问，第(1)问是溶液稀释问题，核心是稀释前后盐（溶质）的质量不变，需利用浓度公式列分式方程求解；第(2)问中咸淡程度对应溶液浓度，浓度越大越咸，需通过设字母表示各汤的盐和汤的质量，用分式表示浓度，再通过作差法比较浓度大小，结合已知条件推导咸淡顺序。
【解析】
(1)解:设需要加水$x$克。
由稀释前后盐的质量不变，根据浓度公式（浓度=溶质质量/溶液质量），得：
$\dfrac{9\%×100}{x+100}=0.9\%$
解得$x=900$。
经检验，$x=900$是原分式方程的解，且符合题意。
答:需要加水900克。
(2)解:①根据生活经验，甲汤最咸，其次是丙汤，乙汤最淡。
②设甲汤中盐的质量为$m$克，汤的质量为$a$克；乙汤中盐的质量为$n$克，汤的质量为$b$克，则丙汤中盐的质量为$(m+n)$克，汤的质量为$(a+b)$克。
因为甲汤比乙汤咸，所以甲汤浓度大于乙汤浓度，即：
$\dfrac{m}{a}-\dfrac{n}{b}＞0$，整理得$\dfrac{bm-an}{ab}＞0$。
因为$a＞0$，$b＞0$，所以$ab＞0$，故$bm-an＞0$，即$an-bm＜0$。
比较丙汤与甲汤的浓度：
$\dfrac{m+n}{a+b}-\dfrac{m}{a}=\dfrac{a(m+n)-m(a+b)}{a(a+b)}=\dfrac{am+an-am-bm}{a(a+b)}=\dfrac{an-bm}{a(a+b)}$
因为$an-bm＜0$，$a(a+b)＞0$，所以$\dfrac{an-bm}{a(a+b)}＜0$，即$\dfrac{m+n}{a+b}＜\dfrac{m}{a}$。
比较丙汤与乙汤的浓度：
$\dfrac{m+n}{a+b}-\dfrac{n}{b}=\dfrac{b(m+n)-n(a+b)}{b(a+b)}=\dfrac{bm+bn-an-bn}{b(a+b)}=\dfrac{bm-an}{b(a+b)}$
因为$bm-an＞0$，$b(a+b)＞0$，所以$\dfrac{bm-an}{b(a+b)}＞0$，即$\dfrac{n}{b}＜\dfrac{m+n}{a+b}$。
综上，$\dfrac{n}{b}＜\dfrac{m+n}{a+b}＜\dfrac{m}{a}$，故甲汤最咸，其次是丙汤，乙汤最淡。
【答案】
(1)需要加水900克；
(2)①甲汤最咸，其次是丙汤，乙汤最淡；②证明如上，结论同①。
【知识点】
溶液浓度计算、分式方程应用、分式的大小比较
【点评】
本题结合生活实际，将浓度概念与分式运算结合，既考察基础的溶液稀释计算，又要求通过代数推导证明浓度大小关系，体现了数学的实用性，需掌握作差法比较分式大小的逻辑。
【难度系数】
0.6
本题分为两小问，第(1)问是溶液稀释问题，核心是稀释前后盐（溶质）的质量不变，需利用浓度公式列分式方程求解；第(2)问中咸淡程度对应溶液浓度，浓度越大越咸，需通过设字母表示各汤的盐和汤的质量，用分式表示浓度，再通过作差法比较浓度大小，结合已知条件推导咸淡顺序。
【解析】
(1)解:设需要加水$x$克。
由稀释前后盐的质量不变，根据浓度公式（浓度=溶质质量/溶液质量），得：
$\dfrac{9\%×100}{x+100}=0.9\%$
解得$x=900$。
经检验，$x=900$是原分式方程的解，且符合题意。
答:需要加水900克。
(2)解:①根据生活经验，甲汤最咸，其次是丙汤，乙汤最淡。
②设甲汤中盐的质量为$m$克，汤的质量为$a$克；乙汤中盐的质量为$n$克，汤的质量为$b$克，则丙汤中盐的质量为$(m+n)$克，汤的质量为$(a+b)$克。
因为甲汤比乙汤咸，所以甲汤浓度大于乙汤浓度，即：
$\dfrac{m}{a}-\dfrac{n}{b}＞0$，整理得$\dfrac{bm-an}{ab}＞0$。
因为$a＞0$，$b＞0$，所以$ab＞0$，故$bm-an＞0$，即$an-bm＜0$。
比较丙汤与甲汤的浓度：
$\dfrac{m+n}{a+b}-\dfrac{m}{a}=\dfrac{a(m+n)-m(a+b)}{a(a+b)}=\dfrac{am+an-am-bm}{a(a+b)}=\dfrac{an-bm}{a(a+b)}$
因为$an-bm＜0$，$a(a+b)＞0$，所以$\dfrac{an-bm}{a(a+b)}＜0$，即$\dfrac{m+n}{a+b}＜\dfrac{m}{a}$。
比较丙汤与乙汤的浓度：
$\dfrac{m+n}{a+b}-\dfrac{n}{b}=\dfrac{b(m+n)-n(a+b)}{b(a+b)}=\dfrac{bm+bn-an-bn}{b(a+b)}=\dfrac{bm-an}{b(a+b)}$
因为$bm-an＞0$，$b(a+b)＞0$，所以$\dfrac{bm-an}{b(a+b)}＞0$，即$\dfrac{n}{b}＜\dfrac{m+n}{a+b}$。
综上，$\dfrac{n}{b}＜\dfrac{m+n}{a+b}＜\dfrac{m}{a}$，故甲汤最咸，其次是丙汤，乙汤最淡。
【答案】
(1)需要加水900克；
(2)①甲汤最咸，其次是丙汤，乙汤最淡；②证明如上，结论同①。
【知识点】
溶液浓度计算、分式方程应用、分式的大小比较
【点评】
本题结合生活实际，将浓度概念与分式运算结合，既考察基础的溶液稀释计算，又要求通过代数推导证明浓度大小关系，体现了数学的实用性，需掌握作差法比较分式大小的逻辑。
【难度系数】
0.6
