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24. (12分)(2024·绍兴市柯桥区期末)新定义 如果两个分式M和N满足$M - N = k$($k$为整数),则称$M,N$为“兄弟分式”,整数$k$称$M$为$N$的“信度值”。例如:分式$M=\frac{2x}{x-1},N=\frac{2}{x-1}$,满足$M - N=\frac{2x}{x-1}-\frac{2}{x-1}=2$,则称$\frac{2x}{x-1},\frac{2}{x-1}$为“兄弟分式”,整数2称$\frac{2x}{x-1}$为$\frac{2}{x-1}$的“信度值”。
(1)已知分式$M=\frac{3x+2}{x+2},N=\frac{x-2}{x+2}$,判断$M,N$是否为“兄弟分式”,若不是,请说明理由;若是,请求出$M$为$N$的“信度值”$k$。
(2)已知$x,y$均为非零实数,分式$M=\frac{2x^2}{x^2 - 4y^2},N=\frac{x}{x + 2y}$为“兄弟分式”,且$M$为$N$的“信度值”是3,求分式$\frac{2x - y}{x + 2y}$的值。
(3)已知“兄弟分式”$M,N$,分式$M=\frac{P}{x^2 - 4}$为分式$N=\frac{2x}{x - 2}$的“信度值”是$-2$。
①求$P$(用含$x$的代数式表示)。
②若$M$的值为正整数,$x$为正整数,求$x$的值。
(1)已知分式$M=\frac{3x+2}{x+2},N=\frac{x-2}{x+2}$,判断$M,N$是否为“兄弟分式”,若不是,请说明理由;若是,请求出$M$为$N$的“信度值”$k$。
(2)已知$x,y$均为非零实数,分式$M=\frac{2x^2}{x^2 - 4y^2},N=\frac{x}{x + 2y}$为“兄弟分式”,且$M$为$N$的“信度值”是3,求分式$\frac{2x - y}{x + 2y}$的值。
(3)已知“兄弟分式”$M,N$,分式$M=\frac{P}{x^2 - 4}$为分式$N=\frac{2x}{x - 2}$的“信度值”是$-2$。
①求$P$(用含$x$的代数式表示)。
②若$M$的值为正整数,$x$为正整数,求$x$的值。
答案
(1)解:是。$M-N=\dfrac{3x+2}{x+2}-\dfrac{x-2}{x+2}=\dfrac{3x-x+2+2}{x+2}=\dfrac{2x+4}{x+2}=2$,所以M,N为“兄弟分式”,所以“信度值”$k=2$。
(2)解:由题意,得$\dfrac{2x^2}{x^2-4y^2}-\dfrac{x}{x+2y}=\dfrac{2x^2}{(x+2y)(x-2y)}-\dfrac{x(x-2y)}{(x+2y)(x-2y)}=\dfrac{2x^2-x^2+2xy}{(x+2y)(x-2y)}=\dfrac{x^2+2xy}{(x+2y)(x-2y)}=\dfrac{x}{x-2y}=3$,所以$x=3x-6y$,所以$x=3y$,所以$\dfrac{2x-y}{x+2y}=\dfrac{6y-y}{3y+2y}=1$。
(3)解:①由题意,得$M-N=\dfrac{P}{x^2-4}-\dfrac{2x}{x-2}=\dfrac{P}{(x+2)(x-2)}-\dfrac{2x(x+2)}{(x+2)(x-2)}=\dfrac{P-2x^2-4x}{(x+2)(x-2)}=-2$,所以$P-2x^2-4x=-2(x^2-4)$,所以$P=-2(x^2-4)+2x^2+4x=4x+8$。
②因为$P=4x+8$,所以$M=\dfrac{4x+8}{x^2-4}=\dfrac{4(x+2)}{(x+2)(x-2)}=\dfrac{4}{x-2}$。因为M为正整数,x为正整数,所以$x-2=1$或$x-2=2$或$x-2=4$,所以$x=3$或$x=4$或$x=6$。
(2)解:由题意,得$\dfrac{2x^2}{x^2-4y^2}-\dfrac{x}{x+2y}=\dfrac{2x^2}{(x+2y)(x-2y)}-\dfrac{x(x-2y)}{(x+2y)(x-2y)}=\dfrac{2x^2-x^2+2xy}{(x+2y)(x-2y)}=\dfrac{x^2+2xy}{(x+2y)(x-2y)}=\dfrac{x}{x-2y}=3$,所以$x=3x-6y$,所以$x=3y$,所以$\dfrac{2x-y}{x+2y}=\dfrac{6y-y}{3y+2y}=1$。
(3)解:①由题意,得$M-N=\dfrac{P}{x^2-4}-\dfrac{2x}{x-2}=\dfrac{P}{(x+2)(x-2)}-\dfrac{2x(x+2)}{(x+2)(x-2)}=\dfrac{P-2x^2-4x}{(x+2)(x-2)}=-2$,所以$P-2x^2-4x=-2(x^2-4)$,所以$P=-2(x^2-4)+2x^2+4x=4x+8$。
②因为$P=4x+8$,所以$M=\dfrac{4x+8}{x^2-4}=\dfrac{4(x+2)}{(x+2)(x-2)}=\dfrac{4}{x-2}$。因为M为正整数,x为正整数,所以$x-2=1$或$x-2=2$或$x-2=4$,所以$x=3$或$x=4$或$x=6$。
解析
【分析】
本题是新定义题型，需先明确“兄弟分式”和“信度值”的定义：若两个分式M、N满足$M - N = k$（k为整数），则它们是“兄弟分式”，整数k为M对N的“信度值”。解题思路为：
(1) 直接计算$M - N$，通分后化简，判断结果是否为整数，若是则为兄弟分式，结果即为信度值k；
(2) 根据信度值为3，列出$M - N = 3$的等式，对分式通分、化简，得到x与y的关系，再代入所求分式计算；
(3) ① 根据信度值为-2，列出$M - N = -2$的等式，通分后分子对应相等，解出P；② 化简M的表达式，结合M为正整数、x为正整数的条件，确定$x - 2$的正约数，进而求出x的值，注意分母不为0的隐含条件。
【解析】
(1) 计算$M - N$：
$M - N = \frac{3x + 2}{x + 2} - \frac{x - 2}{x + 2} = \frac{(3x + 2) - (x - 2)}{x + 2} = \frac{2x + 4}{x + 2} = \frac{2(x + 2)}{x + 2} = 2$，结果为整数，故M、N是“兄弟分式”，信度值$k = 2$。
(2) 由题意，$M - N = 3$，即：
$\frac{2x^2}{x^2 - 4y^2} - \frac{x}{x + 2y} = 3$，
通分（分母$x^2 - 4y^2 = (x + 2y)(x - 2y)$）：
$\frac{2x^2}{(x + 2y)(x - 2y)} - \frac{x(x - 2y)}{(x + 2y)(x - 2y)} = 3$，
分子化简：
$\frac{2x^2 - x^2 + 2xy}{(x + 2y)(x - 2y)} = \frac{x^2 + 2xy}{(x + 2y)(x - 2y)} = \frac{x(x + 2y)}{(x + 2y)(x - 2y)} = \frac{x}{x - 2y} = 3$，
得$x = 3(x - 2y)$，解得$x = 3y$，
代入$\frac{2x - y}{x + 2y}$：
$\frac{2×3y - y}{3y + 2y} = \frac{5y}{5y} = 1$。
(3) ① 由题意，$M - N = -2$，即：
$\frac{P}{x^2 - 4} - \frac{2x}{x - 2} = -2$，
通分（分母$x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)$）：
$\frac{P}{(x + 2)(x - 2)} - \frac{2x(x + 2)}{(x + 2)(x - 2)} = -2$，
分子相等：
$P - 2x(x + 2) = -2(x^2 - 4)$，
展开右边：$-2x^2 + 8$，
移项得$P = -2x^2 + 8 + 2x^2 + 4x = 4x + 8$。
② 化简M：
$M = \frac{4x + 8}{x^2 - 4} = \frac{4(x + 2)}{(x + 2)(x - 2)} = \frac{4}{x - 2}$（$x≠-2$，隐含条件），
因为M为正整数，x为正整数，所以$x - 2$是4的正约数，且$x - 2 ＞ 0$（否则M为负），
则$x - 2 = 1$或$x - 2 = 2$或$x - 2 = 4$，
解得$x = 3$或$x = 4$或$x = 6$（$x≠2$，已满足）。
【答案】
(1) 是，$k=2$；
(2) $1$；
(3) ① $P=4x+8$；② $x=3$或$4$或$6$。
【知识点】
分式的加减运算、新定义问题、分式的化简求值
【点评】
本题为新定义题型，核心是理解“兄弟分式”和“信度值”的定义，运用分式通分、加减、化简的知识解题，需注意隐含的分母不为0的条件，整体难度适中，考查学生的知识迁移能力和运算能力。
【难度系数】
0.5
本题是新定义题型，需先明确“兄弟分式”和“信度值”的定义：若两个分式M、N满足$M - N = k$（k为整数），则它们是“兄弟分式”，整数k为M对N的“信度值”。解题思路为：
(1) 直接计算$M - N$，通分后化简，判断结果是否为整数，若是则为兄弟分式，结果即为信度值k；
(2) 根据信度值为3，列出$M - N = 3$的等式，对分式通分、化简，得到x与y的关系，再代入所求分式计算；
(3) ① 根据信度值为-2，列出$M - N = -2$的等式，通分后分子对应相等，解出P；② 化简M的表达式，结合M为正整数、x为正整数的条件，确定$x - 2$的正约数，进而求出x的值，注意分母不为0的隐含条件。
【解析】
(1) 计算$M - N$：
$M - N = \frac{3x + 2}{x + 2} - \frac{x - 2}{x + 2} = \frac{(3x + 2) - (x - 2)}{x + 2} = \frac{2x + 4}{x + 2} = \frac{2(x + 2)}{x + 2} = 2$，结果为整数，故M、N是“兄弟分式”，信度值$k = 2$。
(2) 由题意，$M - N = 3$，即：
$\frac{2x^2}{x^2 - 4y^2} - \frac{x}{x + 2y} = 3$，
通分（分母$x^2 - 4y^2 = (x + 2y)(x - 2y)$）：
$\frac{2x^2}{(x + 2y)(x - 2y)} - \frac{x(x - 2y)}{(x + 2y)(x - 2y)} = 3$，
分子化简：
$\frac{2x^2 - x^2 + 2xy}{(x + 2y)(x - 2y)} = \frac{x^2 + 2xy}{(x + 2y)(x - 2y)} = \frac{x(x + 2y)}{(x + 2y)(x - 2y)} = \frac{x}{x - 2y} = 3$，
得$x = 3(x - 2y)$，解得$x = 3y$，
代入$\frac{2x - y}{x + 2y}$：
$\frac{2×3y - y}{3y + 2y} = \frac{5y}{5y} = 1$。
(3) ① 由题意，$M - N = -2$，即：
$\frac{P}{x^2 - 4} - \frac{2x}{x - 2} = -2$，
通分（分母$x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)$）：
$\frac{P}{(x + 2)(x - 2)} - \frac{2x(x + 2)}{(x + 2)(x - 2)} = -2$，
分子相等：
$P - 2x(x + 2) = -2(x^2 - 4)$，
展开右边：$-2x^2 + 8$，
移项得$P = -2x^2 + 8 + 2x^2 + 4x = 4x + 8$。
② 化简M：
$M = \frac{4x + 8}{x^2 - 4} = \frac{4(x + 2)}{(x + 2)(x - 2)} = \frac{4}{x - 2}$（$x≠-2$，隐含条件），
因为M为正整数，x为正整数，所以$x - 2$是4的正约数，且$x - 2 ＞ 0$（否则M为负），
则$x - 2 = 1$或$x - 2 = 2$或$x - 2 = 4$，
解得$x = 3$或$x = 4$或$x = 6$（$x≠2$，已满足）。
【答案】
(1) 是，$k=2$；
(2) $1$；
(3) ① $P=4x+8$；② $x=3$或$4$或$6$。
【知识点】
分式的加减运算、新定义问题、分式的化简求值
【点评】
本题为新定义题型，核心是理解“兄弟分式”和“信度值”的定义，运用分式通分、加减、化简的知识解题，需注意隐含的分母不为0的条件，整体难度适中，考查学生的知识迁移能力和运算能力。
【难度系数】
0.5
