12. 关于$ x $的一元二次方程$ x^2 + 5x - 2p = 0 $的一个根为2，则$ p $的值是。

7

【分析】首先明确一元二次方程根的定义：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值就是该方程的根。已知方程的一个根为2，因此将x=2代入原方程，可得到关于p的一元一次方程，解此方程即可求出p的值。
【解析】因为x=2是方程$x^2 +5x -2p=0$的根，所以将x=2代入方程得：
$2^2 +5×2 -2p=0$
计算左边：$4 +10 -2p=0$，即$14 -2p=0$
移项得：$2p=14$，解得$p=7$。
【答案】7
【知识点】一元二次方程的根、代入求值
【点评】本题是一元二次方程的基础题型，核心考察方程根的定义，只需将已知根代入方程转化为一元一次方程求解，计算过程简单，属于易得分的基础题。
【难度系数】0.9

13.数据组$\{12,14\},\{15,17,16,18\}$的组内离差平方和为________。

7

【分析】
要计算组内离差平方和，需先分别计算每个数据组的组内离差平方和，再求和。步骤为：1. 计算每组的均值；2. 计算每组内各数据与本组均值的差的平方；3. 求和得到每组的组内离差平方和；4. 将两组结果相加，得到总的组内离差平方和。
【解析】
1. 计算第一组$\{12,14\}$的组内离差平方和：
组均值$\bar{x}_1=\frac{12+14}{2}=13$，
组内离差平方和$S_1=(12-13)^2+(14-13)^2=(-1)^2+1^2=1+1=2$。
2. 计算第二组$\{15,17,16,18\}$的组内离差平方和：
组均值$\bar{x}_2=\frac{15+17+16+18}{4}=16.5$，
组内离差平方和$S_2=(15-16.5)^2+(17-16.5)^2+(16-16.5)^2+(18-16.5)^2=2.25+0.25+0.25+2.25=5$。
3. 总的组内离差平方和$S=S_1+S_2=2+5=7$。
【答案】
7
【知识点】
组内离差平方和、均值计算
【点评】
本题考查组内离差平方和的基本计算，核心是明确其定义为组内数据与本组均值的差的平方和，分步骤计算即可，属于基础统计计算题。
【难度系数】
0.3

14.如图,在$△ ABC$中,D是AB的中点,E是AC上一点,连结DE并延长交BC的延长线于点F,若$DE=EF$,$BC=10$,则CF的长为________。

5

【分析】
要解决这道题，我们可以通过作辅助线构造三角形中位线和全等三角形，利用相关性质推导CF的长度。首先，过AB中点D作DG平行于BC交AC于G，根据中位线性质得到DG与BC的关系；再结合已知DE=EF，利用平行线的内错角相等证明三角形全等，将DG转化为CF，进而求出结果。
【解析】
过点D作$DG// BC$，交AC于点G。
∵ D是AB的中点，且$DG// BC$，
∴ DG是$△ ABC$的中位线，
∴ $DG=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×10=5$，且G为AC中点。
∵ $DG// BC$，即$DG// CF$，
∴ $∠ GDE=∠ F$，$∠ DGE=∠ FCE$。
在$△ DGE$和$△ FCE$中：
$\{\begin{array}{l}∠ GDE=∠ F \\∠ DGE=∠ FCE \\DE=EF\end{array} $
∴ $△ DGE≌△ FCE$（AAS），
∴ $DG=CF$，
又
∵ $DG=5$，
∴ $CF=5$。
【答案】
5
【知识点】
三角形中位线、全等三角形判定
【点评】
本题综合考查三角形中位线性质与全等三角形的应用，通过作辅助线搭建解题桥梁是关键，属于中等难度的几何题，多数学生可通过合理推导完成解答。
【难度系数】
0.6

15.某次乒乓球友谊赛采用单循环赛制(即每位选手与其他选手各赛1场),参赛总人数少于10人,一位选手已参加了部分比赛,中途因伤退出比赛,比赛结束统计共赛25场,则受伤选手未参加的比赛场数为。

3

【分析】
首先明确单循环赛制的总比赛场数公式：n个选手的总场次为组合数$ C(n,2)=\frac{n(n-1)}{2} $，其中参赛人数$ n＜10 $。需先确定符合条件的参赛总人数，再通过总场次与实际场次的差值，得到受伤选手未参加的比赛场数。步骤如下：1. 计算$ n＜10 $时各可能$ n $对应的总场次；2. 对比实际总场次25，筛选出符合条件的$ n $；3. 总场次与实际场次的差值即为受伤选手未参加的场数。
【解析】
设参赛总人数为$ n $（$ n＜10 $，$ n $为正整数），单循环赛总场次为$ C(n,2)=\frac{n(n-1)}{2} $。
分别计算$ n=7,8,9 $时的总场次：
$ n=7 $时，总场次$ C(7,2)=\frac{7×6}{2}=21 $，$ 21＜25 $，不符合；
$ n=8 $时，总场次$ C(8,2)=\frac{8×7}{2}=28 $，与实际25场的差值为$ 28-25=3 $；
$ n=9 $时，总场次$ C(9,2)=\frac{9×8}{2}=36 $，差值为$ 36-25=11 $，远大于受伤选手最多未赛的场次（$ n=8 $时受伤选手最多赛7场，未赛最多7场），不符合；
故参赛总人数为8人，受伤选手未参加的比赛场数为3。
【答案】
3
【知识点】
组合数应用、单循环赛问题
【点评】
本题结合单循环赛制与组合数公式，需先确定参赛总人数，再通过总场次与实际场次的差值得出结果，关键在于准确运用组合数公式并结合人数限制筛选$ n $值。
【难度系数】
0.5

16.如图,在矩形ABCD中,AD=8,CD=4,点E在AD上,且AE=5,点P在对角线AC上,作点A关于PE的对称点F,当点F恰好落在矩形ABCD的边上时,AF的长为。

解析:①若点F落在CD边上,如图1,连结EF。因为点A关于PE的对称点是F,所以AE=EF=5,又已知AD=8,AE=5,则DE=AD-AE=8-5=3。在Rt△DEF中,根据勾股定理,得$DF=\sqrt{EF^2-DE^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$。因为CD=4,所以点F与点C重合。在Rt△ADC中,AD=8,CD=4,根据勾股定理可得$AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{8^2+4^2}=4\sqrt{5}$,所以$AF=AC=4\sqrt{5}$。②若点F落在BC边上,如图2,过点F作FG⊥AD于点G,连结EF,AF,因为点A关于PE的对称点是F,所以EA=EF=5,且易得FG=CD=4,所以在Rt△FGE中,有$GE=\sqrt{EF^2-FG^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$,所以AG=EA-GE=5-3=2,所以在Rt△AFG中,FG=4,AG=2,根据勾股定理得$AF=\sqrt{AG^2+FG^2}=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$。综上所述,AF的长为$2\sqrt{5}或4\sqrt{5}$。

【分析】
要解决该问题，需根据点F落在矩形的不同边上进行分类讨论：矩形的边中A点在AD和AB上，故F只能落在BC或CD边上。利用轴对称的性质（对称点到对应点的距离相等，即AE=EF），结合矩形的边长，通过勾股定理分别计算两种情况下AF的长度。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当点F落在CD边上时：
连接EF，因为点A关于PE的对称点是F，根据轴对称的性质，得AE=EF=5。
已知AD=8，AE=5，所以DE=AD - AE=8 - 5=3。
在Rt△DEF中，由勾股定理得：DF=√(EF² - DE²)=√(5² - 3²)=4。
又因为CD=4，所以点F与点C重合。
在Rt△ADC中，AD=8，CD=4，由勾股定理得：AC=√(AD² + CD²)=√(8² + 4²)=4√5，故AF=AC=4√5。
2. 当点F落在BC边上时：
过点F作FG⊥AD于点G，连接EF、AF。
因为四边形ABCD是矩形，FG⊥AD，所以FG=CD=4，且AG=BF，GE=FC。
由轴对称性质得EA=EF=5。
在Rt△FGE中，由勾股定理得：GE=√(EF² - FG²)=√(5² - 4²)=3，所以AG=AE - GE=5 - 3=2。
在Rt△AFG中，AG=2，FG=4，由勾股定理得：AF=√(AG² + FG²)=√(2² + 4²)=2√5。
综上，AF的长为2√5或4√5。
【答案】
2√5或4√5
【知识点】
矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理
【点评】
本题是矩形与轴对称结合的计算问题，需通过分类讨论确定对称点F的位置，再利用勾股定理求解，关键是掌握轴对称的性质和矩形的边长关系，避免漏解。
【难度系数】
0.4

三、解答题(本题有8小题,共52分)
17.(6分)计算:
(1)$\sqrt{60}÷\sqrt{5}-\sqrt{3}$。
(2)$(3+\sqrt{2})×(3-\sqrt{2})$。

(1)原式$=2\sqrt{3}-\sqrt{3}=\sqrt{3}$。
(2)原式$=9-2=7$。

【分析】
本题考查二次根式的混合运算，第(1)题先利用二次根式除法法则计算除法，再合并同类二次根式；第(2)题利用平方差公式简化计算。
【解析】
(1) 先计算二次根式除法：$\sqrt{60}÷\sqrt{5}=\sqrt{60÷5}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，再合并同类二次根式：$2\sqrt{3}-\sqrt{3}=\sqrt{3}$；
(2) 利用平方差公式：$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，代入得：$(3+\sqrt{2})(3-\sqrt{2})=3^2-(\sqrt{2})^2=9-2=7$。
【答案】
(1)$\sqrt{3}$；(2)$7$
【知识点】
二次根式混合运算，平方差公式
【点评】
本题为基础二次根式运算题，考查二次根式除法、化简及平方差公式的应用，属于常规题型，侧重基础运算能力的考查。
【难度系数】
0.8

18.(6分)解方程：
(1)$3x^2 + 2x = 0$。
(2)$x^2 + 2x - 3 = 0$。

(1)$x(3x+2)=0$,解得$x_1=0,x_2=-\frac{2}{3}$。
(2)$(x+3)(x-1)=0$,解得$x_1=-3,x_2=1$。

【分析】解一元二次方程时，优先选用因式分解法，将方程转化为两个一次因式乘积等于0的形式，再利用“若两个因式的积为0，则至少一个因式为0”的性质求解。第(1)题可通过提取公因式分解，第(2)题用十字相乘法分解因式。
【解析】(1)对$3x^2 + 2x = 0$提取公因式$x$，得$x(3x + 2) = 0$，则$x = 0$或$3x + 2 = 0$，解得$x_1 = 0$，$x_2 = -\frac{2}{3}$；(2)对$x^2 + 2x - 3 = 0$用十字相乘法分解，得$(x + 3)(x - 1) = 0$，则$x + 3 = 0$或$x - 1 = 0$，解得$x_1 = -3$，$x_2 = 1$。
【答案】(1)$x_1=0,x_2=-\frac{2}{3}$；(2)$x_1=-3,x_2=1$
【知识点】一元二次方程的解法（因式分解法），因式分解（提取公因式、十字相乘法）
【点评】本题考查一元二次方程的基础解法，核心是掌握因式分解法解一元二次方程，属于初中数学必掌握的基础内容，难度较低。
【难度系数】0.8