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7.若关于$x$的一元二次方程$mx^2 - 4x + 4 = 0$有实数根，则$m$的值可能是 （
A.0
B.1
C.2
D.3
B
）A.0
B.1
C.2
D.3
答案
B
解析
【分析】
要解决这道题，需明确两个关键知识点：一是一元二次方程的定义（二次项系数不为0），二是一元二次方程有实数根的条件（判别式Δ≥0）。首先根据一元二次方程定义排除不符合的选项，再通过判别式计算m的取值范围，最后结合选项得出答案。
【解析】
1. 确定一元二次方程的条件：因为方程$mx^2 - 4x + 4 = 0$是关于$x$的一元二次方程，所以二次项系数$m≠0$，排除选项A。
2. 计算判别式并求解：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，有实数根的条件是$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$。本题中$a=m$，$b=-4$，$c=4$，代入得：
$\Delta = (-4)^2 - 4×m×4 = 16 - 16m ≥ 0$
解不等式：$16 - 16m ≥ 0 → m ≤ 1$，且$m≠0$。
3. 结合选项判断：选项中只有B（$m=1$）满足$m≤1$且$m≠0$，C、D均大于1，不符合要求。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的定义；根的判别式
【点评】
本题属于基础题，侧重考查一元二次方程的定义和根的判别式的应用，解题时需注意“一元二次方程二次项系数不能为0”这一易错点，整体难度较低，学生易掌握。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，需明确两个关键知识点：一是一元二次方程的定义（二次项系数不为0），二是一元二次方程有实数根的条件（判别式Δ≥0）。首先根据一元二次方程定义排除不符合的选项，再通过判别式计算m的取值范围，最后结合选项得出答案。
【解析】
1. 确定一元二次方程的条件：因为方程$mx^2 - 4x + 4 = 0$是关于$x$的一元二次方程，所以二次项系数$m≠0$，排除选项A。
2. 计算判别式并求解：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，有实数根的条件是$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$。本题中$a=m$，$b=-4$，$c=4$，代入得：
$\Delta = (-4)^2 - 4×m×4 = 16 - 16m ≥ 0$
解不等式：$16 - 16m ≥ 0 → m ≤ 1$，且$m≠0$。
3. 结合选项判断：选项中只有B（$m=1$）满足$m≤1$且$m≠0$，C、D均大于1，不符合要求。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的定义；根的判别式
【点评】
本题属于基础题，侧重考查一元二次方程的定义和根的判别式的应用，解题时需注意“一元二次方程二次项系数不能为0”这一易错点，整体难度较低，学生易掌握。
【难度系数】
0.7
8.宁波市积极推进绿色出行,某品牌共享电动车2023年注册用户为50万户,2025年预计增长至80万户。设这两年用户数的年平均增长率为$ x $,可列方程为 （
A.$ 50(1+x)=80 $
B.$ 50(1+x)^2=80 $
C.$ 80(1-x)^2=50 $
D.$ 50(1+x)+50(1+x)^2=80 $
B
）A.$ 50(1+x)=80 $
B.$ 50(1+x)^2=80 $
C.$ 80(1-x)^2=50 $
D.$ 50(1+x)+50(1+x)^2=80 $
答案
B
解析
【分析】
这道题考查增长率问题的方程建立，解题思路是：明确年平均增长率的含义，初始量为2023年的50万户，经过2年增长到2025年的80万户。对于增长率问题，若初始量为$a$，年平均增长率为$x$，经过$n$年后的量为$a(1+x)^n$，这里$n=2$，因此可根据2025年的用户数列出对应方程。
【解析】
解：设年平均增长率为$x$，
2023年注册用户为50万户，
则2024年的用户数为：$50(1+x)$万户，
2025年的用户数为：$50(1+x)(1+x)=50(1+x)^2$万户，
已知2025年预计用户数为80万户，因此可列方程：$50(1+x)^2=80$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的应用（增长率问题）
【点评】
本题是增长率问题的基础应用题，核心是掌握“经过$n$年增长后的量=初始量×(1+年平均增长率)^n”这一公式，属于初中数学的基础题型，难度较低。
【难度系数】
0.8
这道题考查增长率问题的方程建立，解题思路是：明确年平均增长率的含义，初始量为2023年的50万户，经过2年增长到2025年的80万户。对于增长率问题，若初始量为$a$，年平均增长率为$x$，经过$n$年后的量为$a(1+x)^n$，这里$n=2$，因此可根据2025年的用户数列出对应方程。
【解析】
解：设年平均增长率为$x$，
2023年注册用户为50万户，
则2024年的用户数为：$50(1+x)$万户，
2025年的用户数为：$50(1+x)(1+x)=50(1+x)^2$万户，
已知2025年预计用户数为80万户，因此可列方程：$50(1+x)^2=80$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的应用（增长率问题）
【点评】
本题是增长率问题的基础应用题，核心是掌握“经过$n$年增长后的量=初始量×(1+年平均增长率)^n”这一公式，属于初中数学的基础题型，难度较低。
【难度系数】
0.8
9. 如图,将菱形ABCD沿AE折叠,点B的对应点为F。若E,F,D刚好在同一直线上,设∠ABE=α,∠BAE=β,∠C=γ,则下列关系正确的是（
A.$\gamma=α+2β-180°$
B.$3β+\gamma=180°$
C.$3α+2β=360°$
D.$2α-\gamma=180°$
C
）A.$\gamma=α+2β-180°$
B.$3β+\gamma=180°$
C.$3α+2β=360°$
D.$2α-\gamma=180°$
答案
C
解析
【分析】
要解决本题，需结合菱形的性质、折叠的性质及等腰三角形的角度关系推导：先利用菱形的对边相等、邻角互补，折叠后对应边和对应角相等得到AF=AD，确定△AFD为等腰三角形，再结合平角、三角形内角和建立角度等式，最终推导得出正确关系。
【解析】
1. 菱形性质应用：在菱形ABCD中，AB=AD，邻角互补，即∠BAD + ∠B=180°，且∠B=∠ABE=α，因此∠BAD=180°−α；又菱形对角相等，∠C=∠BAD，故γ=∠BAD=180°−α。
2. 折叠性质应用：将△ABE沿AE折叠得到△AFE，根据折叠的全等性，AB=AF，∠BAE=∠FAE=β，∠AFE=∠B=α。
3. 等腰三角形角度计算：由AB=AD，结合折叠得AB=AF，故AF=AD，△AFD为等腰三角形；因E、F、D共线，∠AFD与∠AFE组成平角，即∠AFD=180°−∠AFE=180°−α；根据三角形内角和，△AFD中∠FAD=180°−2∠AFD=180°−2(180°−α)=2α−180°。
4. 角度等式推导：∠BAD由∠BAE、∠FAE、∠FAD组成，即∠BAD=β+β+(2α−180°)=2β+2α−180°；结合菱形∠BAD=180°−α，联立得：
2β+2α−180°=180°−α，整理后得3α+2β=360°。
【答案】
C
【知识点】
菱形的性质、折叠的性质、等腰三角形的性质
【点评】
本题综合考查菱形与折叠的几何性质，需逐步推导角度关系，是几何角度推导的典型题型，注重对图形性质的灵活运用。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需结合菱形的性质、折叠的性质及等腰三角形的角度关系推导：先利用菱形的对边相等、邻角互补，折叠后对应边和对应角相等得到AF=AD，确定△AFD为等腰三角形，再结合平角、三角形内角和建立角度等式，最终推导得出正确关系。
【解析】
1. 菱形性质应用：在菱形ABCD中，AB=AD，邻角互补，即∠BAD + ∠B=180°，且∠B=∠ABE=α，因此∠BAD=180°−α；又菱形对角相等，∠C=∠BAD，故γ=∠BAD=180°−α。
2. 折叠性质应用：将△ABE沿AE折叠得到△AFE，根据折叠的全等性，AB=AF，∠BAE=∠FAE=β，∠AFE=∠B=α。
3. 等腰三角形角度计算：由AB=AD，结合折叠得AB=AF，故AF=AD，△AFD为等腰三角形；因E、F、D共线，∠AFD与∠AFE组成平角，即∠AFD=180°−∠AFE=180°−α；根据三角形内角和，△AFD中∠FAD=180°−2∠AFD=180°−2(180°−α)=2α−180°。
4. 角度等式推导：∠BAD由∠BAE、∠FAE、∠FAD组成，即∠BAD=β+β+(2α−180°)=2β+2α−180°；结合菱形∠BAD=180°−α，联立得：
2β+2α−180°=180°−α，整理后得3α+2β=360°。
【答案】
C
【知识点】
菱形的性质、折叠的性质、等腰三角形的性质
【点评】
本题综合考查菱形与折叠的几何性质，需逐步推导角度关系，是几何角度推导的典型题型，注重对图形性质的灵活运用。
【难度系数】
0.5
10. 如图1,由5块图形拼成矩形ABCD(其中①②是正方形),截去①号正方形后,其余4块图形可拼成如图2的正方形EFGH,则下列说法错误的是
（
A.四边形ABCD是正方形
B.矩形ABCD的周长是②号正方形周长的2倍
C.③号图形的较长直角边是较短直角边的$\sqrt{3}$倍
D.矩形ABCD的周长是正方形EFGH周长的$\sqrt{3}$倍
（
D
）A.四边形ABCD是正方形
B.矩形ABCD的周长是②号正方形周长的2倍
C.③号图形的较长直角边是较短直角边的$\sqrt{3}$倍
D.矩形ABCD的周长是正方形EFGH周长的$\sqrt{3}$倍
答案
解析:如图,根据题意可得,两个图中⑤是同一个图形,即MO=ER,MN=EQ,NC=QT,PC=ST,PO=SR,因为①,②是正方形,所以AK=AJ=JL=KL,JL=JD=DN=LN,所以AJ=JD,即①与②是边长相等的两个正方形。又因为②是正方形,且两个图中②是同一个图形,故DN=HW=QT,所以DN=HW=QT=NC,即DN=NC,所以AD=DC,又因为多边形ABCD是矩形,故四边形ABCD是正方形,A正确。则正方形ABCD的周长为4AD=4×2JD=8JD,②号正方形周长为4JD,因为$\frac{8JD}{4JD}=2$,故矩形ABCD的周长是②号正方形周长的2倍,B正确。设AJ=x,则正方形ABCD的面积为$(2x)^2=4x^2$,①号正方形的面积为$x^2$,根据题意,可得正方形EFGH的面积为$4x^2-x^2=3x^2$,故正方形EFGH的边长为$\sqrt{3x^2}=\sqrt{3}x$,即$FG=\sqrt{3}x$,因为KB是图形③中较短的直角边,且两个图中③是同一个图形,故KB=RF=x,故在$Rt△RFG$中,$\frac{FG}{RF}=\frac{\sqrt{3}x}{x}=\sqrt{3}$,即③号图形的较长直角边是较短直角边的$\sqrt{3}$倍,C正确;设AJ=x,则正方形ABCD的周长为4AD=4×2AJ=8x,正方形EFGH的周长为$4\sqrt{3}x$,则$\frac{8x}{4\sqrt{3}x}=\frac{2}{3}\sqrt{3}$。故矩形ABCD的周长是正方形EFGH周长的$\frac{2}{3}\sqrt{3}$倍,D错误。故选D。
解析
【分析】
要解决本题，需利用两个图形拼接时对应图形边长相等、面积不变的性质，结合正方形、矩形的边长与周长关系分析。首先根据图1和图2中①、②为正方形且对应图形一致，推导①与②边长相等，进而判断矩形ABCD为正方形；再设①的边长为未知数，通过面积不变求出正方形EFGH的边长，最后逐一验证各选项结论是否正确。
【解析】
设①号正方形的边长为$ x $。
1. 判定四边形ABCD的形状：
由图1和图2中①、②为正方形且对应图形一致，可得①与②边长相等，因此$ AJ=JD=x $，则$ AD=AJ+JD=2x $；又因为ABCD是矩形，且$ AB=AD=2x $，故四边形ABCD是正方形，选项A正确。
2. 验证选项B：
正方形ABCD的周长为$ 4×AD=4×2x=8x $；②号正方形边长为$ x $，其周长为$ 4x $，则$ \frac{8x}{4x}=2 $，即矩形ABCD的周长是②号正方形周长的2倍，选项B正确。
3. 验证选项C：
正方形ABCD的面积为$ (2x)^2=4x^2 $，截去①号正方形（面积$ x^2 $）后，剩余4块拼成的正方形EFGH的面积为$ 4x^2 - x^2=3x^2 $，故正方形EFGH的边长为$ \sqrt{3x^2}=\sqrt{3}x $。
③号图形是直角三角形，其较短直角边等于①号正方形边长$ x $，较长直角边等于正方形EFGH的边长$ \sqrt{3}x $，因此较长直角边是较短直角边的$ \frac{\sqrt{3}x}{x}=\sqrt{3} $倍，选项C正确。
4. 验证选项D：
正方形ABCD的周长为$ 8x $，正方形EFGH的周长为$ 4×\sqrt{3}x=4\sqrt{3}x $，则$ \frac{8x}{4\sqrt{3}x}=\frac{2\sqrt{3}}{3} $，并非$ \sqrt{3} $倍，选项D错误。
【答案】
D
【知识点】
正方形性质、图形拼接、周长计算
【点评】
本题结合图形拼接考查几何图形的性质，需利用拼接前后对应图形边长相等、面积不变的特点，通过设未知数简化计算，关键是理清各图形边长的关系，难度中等。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需利用两个图形拼接时对应图形边长相等、面积不变的性质，结合正方形、矩形的边长与周长关系分析。首先根据图1和图2中①、②为正方形且对应图形一致，推导①与②边长相等，进而判断矩形ABCD为正方形；再设①的边长为未知数，通过面积不变求出正方形EFGH的边长，最后逐一验证各选项结论是否正确。
【解析】
设①号正方形的边长为$ x $。
1. 判定四边形ABCD的形状：
由图1和图2中①、②为正方形且对应图形一致，可得①与②边长相等，因此$ AJ=JD=x $，则$ AD=AJ+JD=2x $；又因为ABCD是矩形，且$ AB=AD=2x $，故四边形ABCD是正方形，选项A正确。
2. 验证选项B：
正方形ABCD的周长为$ 4×AD=4×2x=8x $；②号正方形边长为$ x $，其周长为$ 4x $，则$ \frac{8x}{4x}=2 $，即矩形ABCD的周长是②号正方形周长的2倍，选项B正确。
3. 验证选项C：
正方形ABCD的面积为$ (2x)^2=4x^2 $，截去①号正方形（面积$ x^2 $）后，剩余4块拼成的正方形EFGH的面积为$ 4x^2 - x^2=3x^2 $，故正方形EFGH的边长为$ \sqrt{3x^2}=\sqrt{3}x $。
③号图形是直角三角形，其较短直角边等于①号正方形边长$ x $，较长直角边等于正方形EFGH的边长$ \sqrt{3}x $，因此较长直角边是较短直角边的$ \frac{\sqrt{3}x}{x}=\sqrt{3} $倍，选项C正确。
4. 验证选项D：
正方形ABCD的周长为$ 8x $，正方形EFGH的周长为$ 4×\sqrt{3}x=4\sqrt{3}x $，则$ \frac{8x}{4\sqrt{3}x}=\frac{2\sqrt{3}}{3} $，并非$ \sqrt{3} $倍，选项D错误。
【答案】
D
【知识点】
正方形性质、图形拼接、周长计算
【点评】
本题结合图形拼接考查几何图形的性质，需利用拼接前后对应图形边长相等、面积不变的特点，通过设未知数简化计算，关键是理清各图形边长的关系，难度中等。
【难度系数】
0.5
11. 二次根式$\sqrt{x-3}$有意义的条件是________。
答案
$x≥3$
解析
【分析】
要确定二次根式$\sqrt{x-3}$有意义的条件，需依据二次根式的定义：二次根式的被开方数必须是非负数（即大于等于0）。因此只需让该二次根式的被开方数$x-3$满足非负，解对应的不等式即可得到$x$的取值范围。
【解析】
根据二次根式有意义的条件，被开方数需为非负数，因此列出不等式：$x - 3 ≥ 0$，解这个不等式，两边同时加3得：$x ≥ 3$。
【答案】
$x≥3$
【知识点】
二次根式有意义的条件
【点评】
本题是代数基础题，考查二次根式有意义的核心条件，只要牢记二次根式的定义就能轻松解答，主要用于巩固基础知识点。
【难度系数】
0.9
要确定二次根式$\sqrt{x-3}$有意义的条件，需依据二次根式的定义：二次根式的被开方数必须是非负数（即大于等于0）。因此只需让该二次根式的被开方数$x-3$满足非负，解对应的不等式即可得到$x$的取值范围。
【解析】
根据二次根式有意义的条件，被开方数需为非负数，因此列出不等式：$x - 3 ≥ 0$，解这个不等式，两边同时加3得：$x ≥ 3$。
【答案】
$x≥3$
【知识点】
二次根式有意义的条件
【点评】
本题是代数基础题，考查二次根式有意义的核心条件，只要牢记二次根式的定义就能轻松解答，主要用于巩固基础知识点。
【难度系数】
0.9
