登录
19.(6分)某社区开展“垃圾分类小卫士”积分活动，随机抽取甲、乙两个志愿小组，6月份记录的8次积分数据如下(单位:分)，根据以下信息解答问题。
甲志愿小组:89,91,88,92,95,87,88,90
乙志愿小组:79,97,84,100,88,92,89,91
(1)请将表格补充完整：
(2)若社区按积分波动大小进行评奖，积分波动小的志愿小组评选为“稳定贡献奖”，你认为评选哪组更合适？请作出判断，并说明理由。
甲志愿小组:89,91,88,92,95,87,88,90
乙志愿小组:79,97,84,100,88,92,89,91
(1)请将表格补充完整：
(2)若社区按积分波动大小进行评奖，积分波动小的志愿小组评选为“稳定贡献奖”，你认为评选哪组更合适？请作出判断，并说明理由。
答案
(1)
| | 平均数/分 | 中位数/分 | 方差 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 甲志愿小组 | 90 | 89.5 | 6 |
| 乙志愿小组 | 90 | 90 | 39.5 |
(2)甲志愿小组评选为“稳定贡献奖”更合适。理由如下:因为甲、乙两组的平均分相同,而$S_甲^2=6,S_乙^2=39.5$,所以$S_甲^2＜S_乙^2$。所以甲志愿小组积分波动小,评选甲志愿小组为“稳定贡献奖”。
| | 平均数/分 | 中位数/分 | 方差 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 甲志愿小组 | 90 | 89.5 | 6 |
| 乙志愿小组 | 90 | 90 | 39.5 |
(2)甲志愿小组评选为“稳定贡献奖”更合适。理由如下:因为甲、乙两组的平均分相同,而$S_甲^2=6,S_乙^2=39.5$,所以$S_甲^2＜S_乙^2$。所以甲志愿小组积分波动小,评选甲志愿小组为“稳定贡献奖”。
解析
【分析】
本题需要先分别计算甲、乙两组数据的平均数、中位数和方差，再根据方差的意义判断积分波动大小，从而确定哪个小组更适合获得“稳定贡献奖”。计算平均数时，用所有数据之和除以数据个数；中位数需先将数据排序，偶数个数据时取中间两个数的平均数；方差用于衡量数据波动，方差越小，数据波动越小、稳定性越好。
【解析】
(1) 计算甲志愿小组的统计量：
甲的8次积分和为：$89+91+88+92+95+87+88+90=720$，平均数为：$720÷8=90$（分）；
将甲的积分排序：$87,88,88,89,90,91,92,95$，共8个数据，中位数为第4、5个数的平均数：$(89+90)÷2=89.5$（分）；
方差计算：$\frac{1}{8}[(89-90)^2+(91-90)^2+(88-90)^2+(92-90)^2+(95-90)^2+(87-90)^2+(88-90)^2+(90-90)^2]=\frac{1}{8}(1+1+4+4+25+9+4+0)=6$。
计算乙志愿小组的统计量：
将乙的积分排序：$79,84,88,89,91,92,97,100$，共8个数据，中位数为第4、5个数的平均数：$(89+91)÷2=90$（分），题目已给出平均数90、方差39.5。
(2) 判断“稳定贡献奖”归属：
甲、乙两组平均分相同，均为90分，方差越小数据波动越小。因为$S_甲^2=6$，$S_乙^2=39.5$，所以$S_甲^2 ＜ S_乙^2$，甲小组积分波动更小，稳定性更好。
【答案】
(1) 补充后的表格：
| | 平均数/分 | 中位数/分 | 方差 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 甲志愿小组 | 90 | 89.5 | 6 |
| 乙志愿小组 | 90 | 90 | 39.5 |
(2) 甲志愿小组评选为“稳定贡献奖”更合适，理由：甲、乙两组平均分相同，$S_甲^2=6$，$S_乙^2=39.5$，$S_甲^2 ＜ S_乙^2$，甲小组积分波动更小，稳定性更好。
【知识点】
平均数、中位数、方差、数据波动程度
【点评】
本题考查统计量的计算与实际应用，核心是掌握平均数、中位数、方差的计算方法，理解方差反映数据稳定性的意义，属于基础统计应用题，难度适中。
【难度系数】
0.5
本题需要先分别计算甲、乙两组数据的平均数、中位数和方差，再根据方差的意义判断积分波动大小，从而确定哪个小组更适合获得“稳定贡献奖”。计算平均数时，用所有数据之和除以数据个数；中位数需先将数据排序，偶数个数据时取中间两个数的平均数；方差用于衡量数据波动，方差越小，数据波动越小、稳定性越好。
【解析】
(1) 计算甲志愿小组的统计量：
甲的8次积分和为：$89+91+88+92+95+87+88+90=720$，平均数为：$720÷8=90$（分）；
将甲的积分排序：$87,88,88,89,90,91,92,95$，共8个数据，中位数为第4、5个数的平均数：$(89+90)÷2=89.5$（分）；
方差计算：$\frac{1}{8}[(89-90)^2+(91-90)^2+(88-90)^2+(92-90)^2+(95-90)^2+(87-90)^2+(88-90)^2+(90-90)^2]=\frac{1}{8}(1+1+4+4+25+9+4+0)=6$。
计算乙志愿小组的统计量：
将乙的积分排序：$79,84,88,89,91,92,97,100$，共8个数据，中位数为第4、5个数的平均数：$(89+91)÷2=90$（分），题目已给出平均数90、方差39.5。
(2) 判断“稳定贡献奖”归属：
甲、乙两组平均分相同，均为90分，方差越小数据波动越小。因为$S_甲^2=6$，$S_乙^2=39.5$，所以$S_甲^2 ＜ S_乙^2$，甲小组积分波动更小，稳定性更好。
【答案】
(1) 补充后的表格：
| | 平均数/分 | 中位数/分 | 方差 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 甲志愿小组 | 90 | 89.5 | 6 |
| 乙志愿小组 | 90 | 90 | 39.5 |
(2) 甲志愿小组评选为“稳定贡献奖”更合适，理由：甲、乙两组平均分相同，$S_甲^2=6$，$S_乙^2=39.5$，$S_甲^2 ＜ S_乙^2$，甲小组积分波动更小，稳定性更好。
【知识点】
平均数、中位数、方差、数据波动程度
【点评】
本题考查统计量的计算与实际应用，核心是掌握平均数、中位数、方差的计算方法，理解方差反映数据稳定性的意义，属于基础统计应用题，难度适中。
【难度系数】
0.5
20.(6分)作图题:如图,在方格纸中,请按要求画出以 AB 为边的格点四边形。
(1)在图1中画出一个$□ ABCD$,使得格点 P 为$□ ABCD$的对称中心。
(2)在图2中画出一个$□ ABCD$,使得$□ ABCD$的周长为整数且邻边不垂直。
(1)在图1中画出一个$□ ABCD$,使得格点 P 为$□ ABCD$的对称中心。
(2)在图2中画出一个$□ ABCD$,使得$□ ABCD$的周长为整数且邻边不垂直。
答案
(1)如图。
(2)如图。
解析
【分析】
(1) 平行四边形的对称中心是两条对角线的交点，即对角线互相平分，因此点P是AC和BD的中点。据此，通过延长AP到C使PC=AP，延长BP到D使PD=BP，顺次连接四点即可得到符合要求的平行四边形。
(2) 平行四边形周长公式为$2(AB + AD)$，要周长为整数，AB是整数，故AD需为整数；同时邻边不垂直，即AD不能与AB垂直。结合格点特点，找到满足条件的格点D，再根据平行四边形对边平行且相等确定点C，即可画出图形。
【解析】
(1) 作图步骤：
① 连接AP并延长，使$PC=AP$，得到点C；
② 连接BP并延长，使$PD=BP$，得到点D；
③ 顺次连接A、B、C、D，四边形ABCD即为所求的平行四边形。
(2) 作图步骤：
① 确定AB长度为4，选取格点D，使AD长度为整数（如AD=5，由勾股定理，横向差4、纵向差3，长度为5），且AD为斜线（不与竖直方向重合，保证邻边不垂直）；
② 过点B作BC平行且等于AD，过点D作DC平行且等于AB，两线交点为C；
③ 顺次连接A、B、C、D，四边形ABCD即为所求（周长$=2×(4+5)=18$，为整数，邻边不垂直）。
【答案】
(1)；(2)
【知识点】
平行四边形的性质、格点作图
【点评】
本题结合平行四边形性质考查格点作图，需利用对角线平分的性质和周长计算确定点的位置，是基础作图题，注重对平行四边形核心性质的应用。
【难度系数】
0.5
(1) 平行四边形的对称中心是两条对角线的交点，即对角线互相平分，因此点P是AC和BD的中点。据此，通过延长AP到C使PC=AP，延长BP到D使PD=BP，顺次连接四点即可得到符合要求的平行四边形。
(2) 平行四边形周长公式为$2(AB + AD)$，要周长为整数，AB是整数，故AD需为整数；同时邻边不垂直，即AD不能与AB垂直。结合格点特点，找到满足条件的格点D，再根据平行四边形对边平行且相等确定点C，即可画出图形。
【解析】
(1) 作图步骤：
① 连接AP并延长，使$PC=AP$，得到点C；
② 连接BP并延长，使$PD=BP$，得到点D；
③ 顺次连接A、B、C、D，四边形ABCD即为所求的平行四边形。
(2) 作图步骤：
① 确定AB长度为4，选取格点D，使AD长度为整数（如AD=5，由勾股定理，横向差4、纵向差3，长度为5），且AD为斜线（不与竖直方向重合，保证邻边不垂直）；
② 过点B作BC平行且等于AD，过点D作DC平行且等于AB，两线交点为C；
③ 顺次连接A、B、C、D，四边形ABCD即为所求（周长$=2×(4+5)=18$，为整数，邻边不垂直）。
【答案】
(1)
；(2) 【知识点】
平行四边形的性质、格点作图
【点评】
本题结合平行四边形性质考查格点作图，需利用对角线平分的性质和周长计算确定点的位置，是基础作图题，注重对平行四边形核心性质的应用。
【难度系数】
0.5
